当阳市第一高级中学2024届高三模拟考试（六）数学试卷(含答案)

这是一份当阳市第一高级中学2024届高三模拟考试（六）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则( )
A.B.5C.D.
3．在二项式的展开式中，的系数为，则该二项式的展开式中所有项的系数之和为( )
A.B.C.D.1
4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则( )
A.B.C.D.
5．若偶函数在单调递减，，，，则a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．已知直线与圆相交于A，B两点，点M在圆C上，且，则实数k的值为( )
A.1B.0C.D.
7．若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．1836年，瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中，包围最大面积的图形一定是圆.据此，已知是边长为1的等边三角形，D，E分别为，上的动点.若长为l的曲线段将分为面积相等的两部分，则l的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.把函数的图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数
D.函数的图象的对称中心是
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦点到渐近线的距离为4，且过点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线的离心率B.双曲线的渐近线方程为
C.的面积为D.双曲线上的点到焦点的最短距离为2
11．如图，直三棱柱中，O是与的交点，M是线段上的一动点，，，则下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.三棱锥的体积是定值
C.存在点M，使平面
D.异面直线与所成角的正切值的最大值为2
12．已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则( )
A.
B.
C.方程的解所在的区间是
D.方程的解所在的区间是
三、填空题
13．已知非零向量，满足，则与的夹角为______.
14．如图，某小区一矩形空地被分割成了五块，工人师傅打算将5个区域铺种草坪，每个区域铺种一种草坪，且相邻的区域不铺种同一种草坪，现有5种草坪可供选用（5种草坪不一定全部使用），则不同的铺种方案共有_______种.
15．如图，球O的内接正方体的棱长为，M是的中点，则直线被球O截得的线段长为_______.
四、双空题
16．椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆的内接正方形面积为，离心率，则椭圆的标准方程为______；若点P在椭圆上，，则的最小值为_______.
五、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，，是首项为2，公比为的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，且.
（1）求角B；
（2）若的外接圆半径为，求的面积S的最大值.
19．四棱锥的底面是矩形，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，E，F分别为，的中点，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明理由.
20．为了治疗某种疾病，某科研机构研制了甲、乙两种新药，为此进行白鼠试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.4轮试验后，就停止试验，甲、乙两种药的治愈率分别是和.
（1）若，求2轮试验后乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只的概率；
（2）已知A公司打算投资甲、乙这两种新药的试验耗材费用，甲药和乙药一次试验耗材花费分别为3千元和千元，每轮试验若甲、乙两种药都治愈或都没有治愈，则该科研机构和A公司各承担该轮试验耗材总费用的50%；若甲药治愈，乙药未治愈，则A公司承担该轮试验耗材总费用的75%，其余由科研机构承担；若甲药未治愈，乙药治愈，则A公司承担该轮试验耗材总费用的25%，其余由科研机构承担.以A公司每轮支付试验耗材费用的期望为标准，求A公司4轮试验结束后支付试验耗材最少费用为多少元？
21．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点.
（1）若，求线段的中点到y轴的距离；
（2）已知点，且直线l的斜率存在，连接，并延长，分别交抛物线C于M，N两点，求证：为定值.
22．设，函数，.
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数在区间上有唯一零点，试求实数a的值.
参考答案
1．答案：D
解析：集合，，所以，故选D.
2．答案：C
解析：因为，所以，故选C.
3．答案：B
解析：的展开式的通项为，
令，得，故的系数，解得，所以展开式中所有项的系数之和为，故选B.
4．答案：A
解析：由题知六指为12厘米，，则，故选A.
5．答案：D
解析：因为，，
，所以，故选D.
6．答案：B
解析：因为，点M在圆C上，所以圆心O到直线的距离为半径的一半，即，解得，故选B.
7．答案：C
解析：因为，
所以，即，解得（舍）或，
所以，故选C.
8．答案：A
解析：因为的面积为，所以扇形的面积，可得，所以，
而l的最小值即为的长，故选A.
9．答案：AC
解析：由函数的图象有，则，即，所以，则A正确；由图象可得，所以，，即，，由，所以，即，所以B错误；把函数的图象向左平移个单位后得到，所以C正确；由，，得，所以D错误；故选AC.
10．答案：BCD
解析：焦点到渐近线的距离，
又，所以，，所以双曲线C的离心率，
渐近线方程为，故A错误，B正确；，故C正确；双曲线上的点到焦点的最短距离为，故D正确，故选BCD.
11．答案：ABC
解析：由题意知，平面，所以，因为，，所以平面，所以平面平面，故A正确；因为平面，点M在线段上，所以M到平面的距离为定值，又因为的面积为是定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确；平面即平面，当M与C重合时，，可得平面，故C正确；取的中点N，连接，，，则有平面，所以，又异面直线与所成角的就是，所以，当M与C重合时，取最大值，所以的最大值为，故D错误；故选ABC.
12．答案：AC
解析：由题意知，为定值，令，则，又，所以，解得，则，所以，故A正确，B错误；因为，所以，，令，易知在上为增函数，因为，，所以函数的零点在区间内，即方程的解所在的区间是，故C正确，D错误，故选AC.
13．答案：
解析：因为，平方得，又，则有，所以与的夹角为.
14．答案：
解析：如图，按1到5的顺序铺种，当3与1的草坪相同时，铺种方案有，当3与1的草坪不相同时，铺种方案有，所以不同的铺种方案共有种.
15．答案：
解析：如图，，，，
因为，所以，球心O到的距离，
球O的半径，则直线被球O截得的线段长为.
16．答案：，
解析：由题意知，该内接正方形的边长为，则有，所以，椭圆的离心率，所以，，，所以椭圆的标准方程为.因为，所以，而点在椭圆外，所以，所以的最小值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，因为，
，解得，，所以.
（2），所以，
所以
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得，，
整理得，，由正弦定理得，，
由余弦定理得，，又因为，所以.
（2）由题意得，，所以，由（1）知，因为，（当且仅当时取“”），
所以，所以，则，
所以的面积S的最大值.
19．答案：（1）证明见解析
（2），二面角为直二面角
解析：（1）证明：因为底面是矩形，所以，又平面平面且交于，所以平面，所以，又是正三角形，F为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）如图，以F为坐标原点，，方向为x轴，y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，由题意.则，，，
，，，，
设平面的法向量，则有，
令，则，
由（1）可知为平面的一个法向量，
故，所以.
由（1）可知，，则为二面角的平面角，此时，，，
满足，则，所以二面角为直二面角.
20．答案：（1）
（2）14400
解析：（1）记事件A为“2轮试验后，乙药治愈的白鼠比甲药治愈的白鼠多1只”，
事件B为“2轮试验后，乙药治愈1只白鼠，甲药治愈0只白鼠”，
事件C为“2轮试验后，乙药治愈2只白鼠，甲药治愈1只白鼠”，
则，
，
.
（2）一次实验耗材总费用为千元，设随机变量X为每轮试验A公司需要支付的试验耗材费用的取值，则，，，
，，
.
，
令，.
函数的对称轴为：，所以在区间上单调递增，
（千元）.则A公司4轮试验结束后支付实验耗材最少费用为（千元），即14400元.
21．答案：（1）3
（2）证明见解析
解析：（1）因为点F为抛物线的焦点，所以点F的坐标为，
准线方程为，
设，则，所以，
则线段的中点到y轴的距离为.
（2）证明：，，设直线的方程为，联立得，，，
设直线，联立得，
故，则，同理可得，
又，
同理可得，
故，因为，所以，
即为定值2.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，
令，则，
令得，所以函数在上是增函数，
令得，所以函数在上是减函数，
故函数在处取得最小值，
因为恒成立，即恒成立，所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
（2）由，可得，令，
则，令，得，
，，
方程的解为（舍），；
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
若函数在区间上有唯一零点，则，
而满足，
，
即，
设，在是单调递增的，
至多只有一个零点，而，用代入，
得，解得.
X
P