2023宁夏六盘山高级中学高三年级第一次模拟考试理科数学Word含答案

第一次模拟理科数学答案  

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合,则等于（    ）

A．          B．      C．        D．

【答案】B

【分析】求出集合，利用交集运算可求得结果.

【详解】，，

.

2．设复数满足，则复数的虚部是（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】D

【分析】根据复数模的计算以及复数的除法运算，求得复数，即可得答案.

【详解】复数满足,即，

所以，

故复数的虚部是

3．已知平面向量，，且，则（    ）

A．1 B．14 C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.

【详解】因为，，=所以，所以

4．农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”．它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为天．由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：设数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，那么第级修正是“平均一年闰个月”．已知我国农历为“年共闰个月”，则它是（    ）

A．第6级修正 B．第5级修正

C．第4级修正 D．第3级修正

【答案】B

【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.

【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，

所以，，，，

，

所以“年共闰个月”为第5级修正，

5．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而得到，利用抛物线焦半径公式和抛物线方程可得点坐标，利用两点间距离公式可求得结果.

【详解】由抛物线方程得：，则，

设，，解得：，，

.

故选：A

6．执行如图所示的程序框图，如果输入的正整数，则输出的值是（　　）

A．5 B．7 C．8 D．13

【答案】C

【分析】根据循环框图的功能，一一循环验证即可.

【详解】解：第一次循环后；

第二次循环后；

第三次循环后；

第四次循环后；

此时，终止循环，输出C=8，

故选：C

7.．等比数列满足，设数列的前项和为，则=（    ）

A． B． C．5 D．11

【答案】A

【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.

【详解】设等比数列的公比为 由可得，又，，

所以，所以，因为，故数列也为等比数列，公比为

所以等比数列的公比为因此,

所以

8．如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点.则下列选项中错误的是（    ）

A．直线平面

B．在棱上存在一点，使得平面平面

C．三棱锥在平面上的正投影图的面积为4

D．若为棱的中点，则三棱锥的体积为

【答案】C

【详解】解：对于A：连接，交于点，连接、，显然为的中点，又，分别为，的中点

所以且，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B：取中点，连接，，，

显然，所以，又，所以

所以，

由正方体，可得平面，平面，

对于C：如图，连接，则四边形为三棱锥在平面上的正投影，

因为，故C错误；

对于D，

9．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.

【详解】由题意，此局分两种情况：

（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；

（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；

所以，所求事件概率为.

故选：D

10．在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C．  D．

【答案】A

【分析】分析出P,A,B,C四点在同一长方体的顶点上即可求解.

【详解】，，，所以,所以，

又,，所以,所以，

又，所以平面，所以,

所以，所以的外接球的表面积.故选：A

11．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出M，N两点的坐标，再利用余弦定理，求出a,c之间的关系，即可得了双曲线的离心率.

【详解】解：不妨设圆与相交，且点的坐标为，

则点的坐标为，

联立，

得，

又且，

所以，

所以由余弦定理得：，

化简得，所以，

所以.

故选：B

12．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）

A．40 B．32 C．30 D．36

【答案】D

【分析】本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值.

【详解】因为是偶函数，所以，

用代替可得：，所以，

所以函数关于直线对称，

又因为，所以，

所以，所以关于点中心对称，

所以函数的周期为，

因为当时，（且），且，

所以，解得：或，因为且，所以.

所以当时，，

所以，，，

，，，

，所以，

所以,

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

13．2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为__________．

【答案】##【分析】利用对立事件和古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】由题意可得：在3名女相航天员和3名男性航天员中选择3名航天员，

则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率，

14．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________.

【答案】

【详解】设圆心坐标为，半径为，则，

解得，所以该圆的标准方程为，

15．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于点对称，则当取最小值时，________.

【答案】

【分析】首先根据最小正周期为，结合求得的值，再根据对称中心公式得，求出关于的表达式；找出取最小值时对应的，即可求出的具体取值，写出的解析式然后计算得出结果.

【详解】第一步：求A的值

由题意可得，则，故.

第二步：求的最小值

由的图象关于点对称可得，故，即，又，所以当，取得最小值.

第三步：求的值.

此时，.

16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【分析】对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，，则，令，然后利用导数求出其最小值即可.

【详解】.

若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.

由，及方程根的情况，得，则，.

又，所以，要使恒成立，只需恒成立.

又，

令，则，

当时，，为减函数，

所以当时，.

由题意，要使恒成立，只需满足.

故答案为：

三、解答题:本题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）在中，角所对的边分别为，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，当角取得最大值时，求的面积.

【分析】（1）由题给条件利用两角和的正弦公式及正弦定理即可证得；

（2）先利用余弦定理求得角最大值为，进而求得的面积.

【详解】（1）因为，所以................................1分

所以，

所以

所以.................................................................4分

所以，由正弦定理得................................................................6分

（2），（当且仅当时等号成立），.............8分

则当时，取得最小值，

又，所以角最大值为................................................................10分

此时为等边三角形，所以的面积为.................................................................12分

18.解：由题意． .............................2分     

令，设y关于t的线性回归方程为直线

则..............................................................5分      

则，        ................................................................7分

     ∴，又，

∴y关于x的回归方程为.................................................................8分

（2））仅从现有统计数据所得回归方程，可发现当推广时间越来越长时，即x越来越大时，y的值会逐渐降至接近于30，可知该省一直加大力度推广下去，网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件.................................10   分  

但在使用经验回归方程进行预测时，方程只适用于所研究的样本总体，一般具有时效性，不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，所以若加大力度一直推广下去，并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展，再加上相关部门对个人信息防护手段的加强，人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高，网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的．.................................12  分  

（第二问学生若回答不能接近于零，只要理由充分，也可酌情给分）

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为正三角形，，.

(1)求证：平面平面SBC；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，证明平面SAB后可得证面面垂直；

（2）以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，则且.

因为，，所以，

所以四边形OCDE为平行四边形，则.......................................................2分

因为，故，故.   ......................................................3分             

因为，故.  ......................................................4分

因为，SA，平面SAB，所以平面SAB. ......................................................5分

因为平面SBC，所以平面平面SBC.......................................................6分

（2）连接AO，因为△为正三角形，所以，

因为平面平面SBC，平面平面，面，

所以平面SBC，OC、OS在面SBC内，又，故OA，OS，OC两两垂直，

故以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示. ..................................8分

设，则，，，

所以，，，，

（难点：点D的坐标不易直接看出，可先求出点E的坐标，利用求解点D的坐标）

所以，，.

设面SAD的法向量为，由，令，得.

  ..................................10分

设面SAC的法向量为，则，令，得.........11分

则， 显然二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为...............................................12分

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

【答案】(1)

(2)点或

【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；

（2）设点，，由直线的方程即可求出点的坐标，由的方程即可求出点的坐标，由已知条件可知，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.

【详解】（1）∵△为等边三角形，且，

∴，

又∵，∴.................................................2分

设椭圆的方程为，

将点代入椭圆方程得，解得，................................................4分

所以椭圆E的方程为.......................................................5分

（2）由已知得，设，,

则直线的斜率为，直线的方程为，

即点坐标为，

直线的斜率为，直线的方程为，

即点坐标为,.....................................................6

∵,∴,∴，

又∵，，

∴，即，

整理得，.....................................................8

①若直线的斜率存在时,设直线的方程为，

将直线方程与椭圆方程联立得，

其中，

，，

即，，，

所以或，

当时，直线的方程为，此时直线恒过点，

当时，直线的方程为，此时直线恒过点，....................................................11分

②若直线的斜率不存在时，

由得，

即，解得或，

此时直线的方程为或，又直线与椭圆交于两点，（4，0）不符合

综上所述，直线恒过点.....................................................12分

21．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，探究在上的零点个数，并说明理由

【分析】（1）当时，利用切点和斜率求得切线方程.

（2）令，化简后构造函数，通过二次求导的方法研究，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】（1）由题意得，，则...........................................2分

而，...........................................3分

∴所求切线方程为；...........................................4分

（2）令，即，令，

当x∈时，...........................................6分

令，x∈，

则单调递增，且

，.

∴在上存在唯一零点，记为，且x∈时，；x∈时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，...........................................8分

∵，∴，，

∵，∴，

∴在上存在唯一零点，且在上恒小于0，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，且，

∴在，上至多只有一个零点............................................10分

令，x∈，则，

∴，∴，

取，则有，又，

∴由零点存在定理可得，在上存在零点，

∴函数f（x）在上的零点个数为1个...........................................12分

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，若直线与曲线交于A，两点，求的值．

【答案】(1)C：，直线l：

(2) 

【分析】（1）用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）化直线方程为点的标准参数方程，代入抛物线方程利用参数几何意义结合韦达定理求解．

【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数，），

所以，所以即曲线C的普通方程为．.....................3分

直线l的极坐标方程为，则，

转换为直角坐标方程为．................................5分

直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）................................6分

（2）令点A，B对应的参数分别为，，

由代入，得，则，，即t1、t2为负，..........8分

故．.......................................10分

23．已知函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．

【详解】（1）当时，，

当，，；

当，，；

当，，；

∴当时，的最小值为2．.......................................5分

（2），，当时，

可化为，.......................................6分

令，，，∴

∴，.......................................8分

当且仅当时取得等号；

又当时，，

故........................................10分