当阳市第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（五）数学试卷(含答案)

这是一份当阳市第一高级中学2024届高三下学期模拟考试（五）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．若，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．的展开式中的系数为56，则a的值为( )
A.B.C.2D.
4．在中，，，N是的中点，则( )
A.B.C.D.
5．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，“牟合方盖”的体积的计算则是利用南北朝时期祖暅提出的理论：“幂势既同，则积不容异”计算出来的，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3为底面边长为，高为的正四棱锥，由祖暅原理可知八分之一的正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，即图2和图3中的阴影部分的面积相等，则根据如图可知由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知函数则函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
7．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行.某校的甲、乙、丙、丁四名大学生被平均分成两组，分别做冰球、冰壶比赛项目的志愿者，则甲、乙不在同一组的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，，过作的外角平分线的垂线，垂足为M，则的长为( )
A.4B.5C.6D.8
二、多项选择题
9．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成300份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该药店某日积压400份订单未配货，预计第二天新订单超过500份的概率为0.03.志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.97，则需要的志愿者可以是( )
A.16名B.17名C.18名D.19名
10．下列结论正确的是( )
A.把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是
B.已知a，b，c，d均为实数，若，，则
C.函数，的最小值为4
D.已知，则的最大值为1
11．如图，在三棱锥中，，，且，下列说法正确的有( )
A.
B.三棱锥的外接球的体积为
C.若，则二面角的余弦值为
D.若，直线与所成的角与直线与所成的角相等
12．对于函数，下列说法正确的是( )
A.在处取得极小值B.存在单调递增区间
C.有且仅有一个零点D.在区间上有最大值
三、填空题
13．已知复数z满足，则___________.
14．蒙日圆涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.设椭圆的蒙日圆为圆C，直线与蒙日圆C相交于A，B两点，且，点D为圆C上的动点，则的面积的最大值为___________.
15．已知,分别为双曲线的左、右焦点，点Q为双曲线左支上一点，过的中点M作的垂线，与双曲线的右支交于点P，若与双曲线的渐近线垂直，且P,Q,三点共线，则双曲线C的渐近线方程为___________.
四、双空题
16．已知一个扇形的圆心角是，弧长是，面积也是，若，则___________，___________..
五、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，.
（1）求；
（2）如图，M为边AC上的一点，，，求的面积.
18．已知正项等差数列的公差不为0，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，的前n项和为，求数列的前n项和.
19．如图，在平行四边形和直角三角形中，，，，，点E，F，M分别为线段，，的中点.将绕向上翻折，使平面平面.
（1）求证：平面；
（2）设与平面交于点N，求二面角的正弦值.
20．已知抛物线的焦点为F，直线l：与抛物线交于M，N两点，且当时，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
21．已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如下表所示.
（1）将甲每天生产的次品数记为x(单位：件)，日利润记为y(单位：元)，写出y与x的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.
22．已知函数.
（1）若，求函数的所有零点；
（2）若，证明：函数不存在极值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得集合，，则，故选C.
2．答案：D
解析：由得，解得或，由得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
3．答案：B
解析：二项式的展开式的通项为，则展开式中的系数为，解得，故选B.
4．答案：A
解析：以A为原点建立平面直角坐标系，则，，，，，所以，，，故选A.
5．答案：D
解析：设图1、图2、图3中阴影部分的面积分别为，，，所以，则，所以，，则“牟合方盖”的体积为，故选D.
6．答案：C
解析：函数的图象可以看作是函数的图象关于直线对称的图象，当时，，当时，，当时，，画出函数的大致图象如图所示，再作其关于直线对称的图象，易知C选项正确，故选C.
7．答案：C
解析：甲、乙、丙、丁四名大学生被平均分成两组，分别做冰球、冰壶比赛项目的志愿者，共有种不同的分法，其中甲、乙在同一组的分法有种，所以甲、乙不在同一组的概率，故选C.
8．答案：B
解析：延长，交于点N，由可得，又，所以，所以，又为的中位线，所以，故选B.
9．答案：CD
解析：由题意可知，第二天需要完成的订单数为，
因为.所以需要的志愿者可以是18名，19名，故选CD.
10．答案：AD
解析：对于A，设矩形的一边长为x，面积为y，则，因为，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，当,,,时，满足，，但此时，故B错误；对于C，当时，，显然等号取不到，故C错误；因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选AD.
11．答案：ABC
解析：取的中点E，连接，，由得，，又因为，所以平面，所以，A正确；由条件可知，外接球的半径，所以外接球的体积为，B正确；若，因为，所以，以点E为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，易知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为，C正确；因为，所以直线与不垂直，又，所以直线与所成的角与直线与所成的角不相等，D错误.综上所述，故选ABC.
12．答案：BC
解析：由题意得，令，则，令，得，所以当时，，当时，，所以当时，函数取得最小值，即在R上恒成立，所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，存在单调递增区间，A错误，B正确；又因为，,由零点存在性定理可知，函数有且仅有一个零点，且，C正确；因为函数在R上单调递增，所以在区间上不存在最值，D错误.综上所述，故选BC.
13．答案：
解析：由题意得，则.
14．答案：
解析：由于过椭圆的右顶点，上顶点的两条椭圆的切线互相垂直，所以椭圆的蒙日圆方程为，即，则半径，又因为，所以圆心C到直线l的距离，则圆上的动点D到直线l的距离的最大值为，所以的面积的最大值为.
15．答案：
解析：由题意得，双曲线C的一条渐近线方程为，所以点到直线的距离，所以，因为点P在的中垂线上，所以，又因为，，所以，，在中，由余弦定理可得，
即，即，所以，解得(舍负)，所以双曲线C的渐近线方程为.
16．答案：1，
解析：设扇形的面积为S，弧长为l，则有，所以，，所以，又因为，所以，所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，由正弦定理得，
因为，所以，所以，因为，所以，所以，则，所以.
（2）设，易知，
因为，所以.在中，由余弦定理得，解得，所以，
在中，，，，所以，则，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为，由题意得，则，
解得所以.
（2）由（1）得，
所以，
所以，
所以
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为在平行四边形中，点E，F分别为线段，的中点，所以，又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，又，所以，
又因为，所以平面.
（2）因为与平面交于点N，所以E，F，M，N四点共面，所以平面与平面所成锐二面角即为二面角的平面角，
由（1）知平面，所以，，又因为，所以，，两两垂直，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设平面的法向量为，则即，取，
所以平面的一个法向量为，
因为在中，M，F分别为线段，的中点，所以，又因为，所以，
又因为，且，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，联立消去y得，
由韦达定理得，，
因此，
当时，解得，所以抛物线的标准方程为.
（2）由（1）得直线l的方程为，联立消去y得，从而，，
所以，
因为，所以点F到直线l的距离，
所以，解得，所以，
所以直线l的方程为.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为甲每天生产的次品数为x，所以损失元，
则其生产的正品数为，获得的利润为元，
因而y与x的函数关系式为，其中，.
（2）同理，对于乙来说，，，.由，得，
所以X是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以X的可能值为0，1，2，
又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为，
乙1天中生产的次品数不超过1的概率为，
所以，，
，
所以随机变量X的分布列为
所以.
22．答案：（1）函数的所有零点只有
（2）见解析
解析：（1）当时，，函数的定义域为，
且，设，
则.
当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，(当且仅当时取等号).
即当时，(当且仅当时取等号).
所以函数在单调递增，至多有一个零点，
因为，是函数唯一的零点，
所以若，则函数的所有零点只有.
（2）证法1：因为，
函数的定义域为，且.
当时，，由（1）知.
即当时，所以在上单调递增.
所以不存在极值.
证法2：因为，
函数的定义域为，且.
设，则.
设，则与同号.当时，由，
解得，.
可知当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增.
由(1)知.则.
所以，即在定义域上单调递增.所以不存在极值.
甲每天生产的次品数/件
0
1
2
3
4
对应的天数/天
40
20
20
10
10
乙每天生产的次品数/件
0
1
2
3
对应的天数/天
30
25
25
20
X
0
1
2
P