2024七下数学极速提分法第10招构造全等三角形的七种常用方法课件（北师大版）

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北师版七年级下第10招　构造全等三角形的七种常用方法在进行几何题的说明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线.辅助线能使题目中的条件集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有翻折法、补形法、旋转法、倍长中线法、截长(补短)法、作垂线法和作平行线法，目的都是构造全等三角形. 如图，已知AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上.试说明：BC＝AB＋CD. 说明线段的和差问题，常采用截长补短法，把两条较短线段中的一条补到另一条较短线段上，或把较长的线段截成两条线段.构造全等三角形说明线段相等是常用的方法，而用基础三角形(△ABE)法是作全等三角形最基本的方法之一.解：如图，在BC上取一点F，使BF＝BA，连接EF.因为CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，所以∠3＝∠4，∠1＝∠2.   翻折法1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.【解】如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BD)因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE.因为AD⊥BE，所以∠ADB＝∠BDF＝90°. 所以△ABD≌△FBD(ASA).所以∠2＝∠DFB.又因为∠DFB＝180°－∠AFC＝∠1＋∠C，所以∠2＝∠1＋∠C. 补形法2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.试说明：∠ADC＝∠BDF.【解】如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°.因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.所以∠1＋∠ACF＝90°.所以∠1＝∠2. 所以△ACD≌△CBG(ASA).所以∠ADC＝∠G，CD＝BG.因为点D为BC的中点，所以CD＝BD.所以BD＝BG.因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠DBF＝45°.又因为∠DBG＝90°，所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.所以∠DBF＝∠GBF. 所以△BDF≌△BGF(SAS).所以∠BDF＝∠G.所以∠ADC＝∠BDF. 旋转法3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数.【解】如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝90°，∠D＝90°，所以∠ABH＝∠D＝90°. 所以△ABH≌△ADF(SAS).所以AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF. 所以△AEH≌△AEF(SSS). 【点拨】图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH. 倍长中线法4.[2023·北京四中期中]在△ABC中，AB＝3，AC＝5，延长BC至D，使CD＝BC，连接AD，则AD的长度的取值范围是(　A　)A【点拨】如图，延长AC，使CE＝AC，连接DE. 所以△ABC≌△EDC(SAS).所以AB＝DE.因为AB＝3，AC＝5，所以AE＝2AC＝10，DE＝3.所以10－3＜AD＜10＋3，即7＜AD＜13. 截长(补短)法5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并加以说明.【解】EF＝BE＋FD.如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.因为∠B＝∠ADC＝90°，所以∠B＝∠ADG＝90°. 所以△ABE≌△ADG(SAS).所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.又因为∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，所以∠BAE＋∠FAD＝60°.所以∠DAG＋∠FAD＝60°，即∠GAF＝60°.所以∠EAF＝∠GAF. 所以△EAF≌△GAF(SAS).所以EF＝GF＝FD＋DG.所以EF＝FD＋BE. 作垂线法6.如图，P为OC上的一点，PD＝PE，∠ODP与∠OEP互补.试说明：OP平分∠AOB.(提示：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上)【解】如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，则∠PMD＝∠PNE＝90°.因为∠ODP与∠OEP互补，所以∠ODP＋∠OEP＝180°.又因为∠ODP＋∠PDA＝180°，所以∠OEP＝∠PDA. 所以△PMD≌△PNE(AAS).所以PM＝PN.所以OP平分∠AOB. 作平行线法7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q.试说明：AB＋BP＝BQ＋AQ.  所以AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC.②由①②可得AB＋BP＝BQ＋AQ.