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2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年湖南省岳阳市平江县颐华高级中学高二（上）入学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共11小题，第1-8题每小题5分，第9-11题每小题6分，共58分。
1.已知a=lg50.5，b=lg30.3，c=0.50.3，则( )
A. a2.设向量a=(cs23°,cs67°)，b=(cs53°,cs37°)，a⋅b=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
3.若p：|x|=x，q：x2+x≥0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；
乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=( )
A. 60B. 65C. 70D. 75
6.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下以下公式eix=csx+isinx(e是自然对数的底，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是( )．
A. eix+1=0B. 12+ 32i3=1
C. csx=eix+e−ix2D. sinx=eix−e−ix2
7.若一个圆柱的内切球(与圆柱的两底面以及每条母线均相切)的表面积为4π，则这个圆柱的体积为( )
A. πB. 2C. 2πD. 2π3
8.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 2
9.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若csA=csB，则△ABC为等腰三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若sin2A+sin2B10.已知函数f(x)=|lg2(x+a)|,0A. x1x2=1B. x4−x2=2
C. 211.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为4，M是侧面ADD′A′上的一个动点(含边界)，点P在棱CC′上，且|PC′|=1，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为4 5
B. 保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为3 2
C. 若保持|PM|=2 5，则点M的运动轨迹长度为4π3
D. 平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得截面为等腰梯形
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是______．
13.已知二次函数f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是______．
14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形；E为PD的中点.若AP=1，AD= 3，AB=34，当三棱锥P−ABCD的体积取到最大值时，点E到平面PBC的距离为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
16.（15分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin(2C−π2)=12且a2+b2(1)求角C的大小；
(2)求a+bc的取值范围．
17.（15分）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)若关于x的不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)恒成立，求实数k的取值范围．
18.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求三棱锥A−BDE的体积；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
19.（17分）某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表.规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面)，且抽签时每人胜利的概率均为12.假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13.丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为16,12,13.每场比赛结果相互独立．
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
答案解析
1.B
【解析】解：∵a=lg50.5=1+lg50.1=1+1lg0.15，b=lg30.3=1+lg30.1=1+1lg0.13，
又lg0.15∴1lg0.15>1lg0.13；
∴0>a>b，且c>0，
∴b故选：B．
可以得出a=1+1lg0.15,b=1+1lg0.13，并可判断lg0.150，从而得出a，b，c的大小关系．
考查对数的运算性质，以及对数函数的单调性，对数的换底公式．
2.A
【解析】解：∵向量a=(cs23°,cs67°)，b=(cs53°,cs37°)，
∴a⋅b=cs23°cs53°+cs67°cs37°
=cs23°cs53°+cs(90°−23°)cs(90°−53°)
=cs23°cs53°+sin23°sin53°
=cs(53°−23°)
=cs30°
= 32．
故选：A．
根据平面向量的数量积运算法则，由两向量的坐标列出三角函数关系式，把67°和37°分别变为90°−23°和90°−53°，然后利用诱导公式变形，再根据两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得出所求式子的结果．
此题考查了平面向量的数量积的运算，诱导公式及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．
3.A
【解析】解：由|x|=x可得x≥0，由x2+x≥0可得x≥0或x≤−1，
则p可推出q，反之推不出，故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
判断p，q的关系，即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4.D
【解析】解：如图：连接B1G，EG
∵E，G分别是DD1，CC1的中点，
∴A1B1//EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形
∴A1E//B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角
在三角形B1GF中，B1G= B1C12+C1G2= 1+1= 2
FG= FC2+C G2= 2+1= 3
B1F= B1B2+BF2= 4+1= 5
∵B1G2+FG2=B1F2
∴∠B1GF=90°
∴异面直线A1E与GF所成角为90°
故选：D．
连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E//B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小
本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法
5.C
【解析】解：根据题意，甲、乙两组数据都按从小到大顺序排列，
甲乙都有6个数据，6×30%=1.8，
则甲组数据的第30百分位数为30，乙组数据的第30百分位数为b，则有b=30，
又由6×50%=3，
则甲组数据的第50百分位数为12(37+a)，乙组数据的第50百分位数为12(33+44)=772，
则有12(37+a)=772，解可得a=40，
故a+b=70．
故选：C．
根据题意，由百分位数的计算公式求出a、b的值，进而计算可得答案．
本题百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
6.CD
【解析】解：对于A，因为eix=csx+isinx，所以eix+1=0不一定成立，选项A错误；
对于B，(12+ 32i)3=(csπ3+isinπ3)3=(eπ3i)3=eπi=csπ+isinπ=−1，所以B错误；
对于C，由eix=csx+isinx，可得出e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，将上式联立可得eix+e−ix=2csx，得出csx=eix+e−ix2，选项C正确；
对于D，由上述公式可得出eix−e−ix=2sinx，得出sinx=eix−e−ix2，选项D正确．
故选：CD．
7.C
【解析】解：设球的半径为r，则4πr2=4π，解得r=1，
因半径为r的球是圆柱的内切球，则圆柱的高ℎ等于其内切球直径2r，圆柱底面圆直径等于球的直径2r，
于是得圆柱的底面圆半径为1，高ℎ=2，则V=π×12×2=2π，
所以这个圆柱的体积为2π．
故选：C．
根据给定条件求出球半径，再由圆柱的内切球与圆柱的关系可得圆柱的底面圆半径和高，然后代入体积公式计算即得．
本题考查了圆柱的内切球与圆柱的关系，属于基础题．
8.B
【解析】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)
设P(0,b)(0≤b≤a)
则PA=(2,−b)，PB=(1,a−b)，
∴PA+3PB=(5,3a−4b)
∴|PA+3PB|= 25+(3a−4b)2≥5，
即有当3a=4b时，取得最小值5．
故选B．
根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)，设P(0,b)(0≤b≤a)，求出PA，PB，根据向量模的计算公式，即可求得|PA+3PB|，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
9.ABD
【解析】解：若csA=csB，则A=B，一定为等腰三角形，A正确；
若A>B，则a>b，即2RsinA>2RsinB，
所以sinA>sinB，B正确；
若a=8，c=10，B=60°，由余弦定理得，b2=64+100−2×8×10×12=84，
所以b=2 21，故符合条件的△ABC有一个，C错误；
若sin2A+sin2B由余弦定理得csC<0，即C为钝角，D正确．
10.AB
【解析】解：因为f(x)=|lg2(x+a)|,0所以f(1)=|lg2(1+a)|=0，解得a=0，
所以f(x)=|lg2x|,0因为函数g(x)=m−f(x)从小到大的四个不同的零点依次为x1，x2，x3，x4，
所以关于x的方程f(x)=m从小到大的四个不同的实根依次为x1，x2，x3，x4，
即函数f(x)的图象与直线y=m有四个交点，四个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4．
作出函数f(x)的图象，如图中实线所示：
由图易知0所以lg2x1+lg2x2=0，所以lg2(x1x2)=0，所以x1x2=1，故A正确．
易知x4=x2+2，即x4−x2=2，故B正确．
因为x4=x2+2=1x1+2，所以x4−x1=1x1−x1+2(12≤x1<1)，
设φ(x)=1x−x+2(12≤x<1)，则函数φ(x)在[12,1)上单调递减，
所以1−1+2<φ(x)≤2−12+2，
所以2<φ(x)≤72，故C不正确．
x3+x4=2+x1+(2+x2)=4+x1+1x1(12≤x1<1)，
设ℎ(x)=4+x+1x(12≤x<1)，则函数ℎ(x)在[12,1)上单调递减，
所以4+1+1<ℎ(x)≤4+2+12，
所以6<ℎ(x)≤132，故D不正确．
故选：AB．
根据图象过(1,0)可得a=0，作出函数图象，根据对数的性质以及函数特征可得x1x2=1，x4=x2+2，x3=x1+2，进而根据函数的单调性即可结合选项逐一求解．
本题考查了函数的零点、对数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
11.BCD
【解析】解：对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，
连接AP，则|AP|= 16+49= 65<4 5，故A错误；
对于B，如图：
∵DD′平面ABCD，AC⊂平面ABCD，DD′⊥AC，又AC⊥BD，
DD′⋂BD=D，DD′，BD⊂平面 DD′B，
∴AC⊥平面 DD′B，BD′⊂平面 DD′B．
∴AC⊥BD′′，同理可得BD′⊥AB′，AC∩AC′=A，AC，AB′⊂平面 ACB′．
∴BD′⊥平面 ACB′．
∴过点P作PG//C′D交CD交于G，过G作GF//AC交AD交于F，
由AB′//C′D，可得PG//AB′，PG⊄平面ACB′，AB′⊂平面ACB′，
∴PG//平面ACB′，同理可得GF//平面ACB′．
则平面PGF//平面ACB′．
设平面PEF交平面ADD′A′于EF，则M的运动轨迹为线段EF，
由点P在棱CC′上，且|PC′|=1，可得|DG|=|DF|=|AE|=1，
∴|EF|=34|A′D|=3 2，故B正确；
对于C，如图：
若|PM|=2 5，则M在以P为球心，2 5为半径的球面上，
过点P作PQ⊥平面ADD′A′，则|D′Q|=1，此时|QM|= |PM|2−|PQ|2=2．
∴点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．
点M的运动轨迹长度2π3×2=4π3，故C正确；
对于D，如图：
延长DC，D′P交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，
∴平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得的截面为AIPD′．
△PCH∼△D′DH，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．
△ICH∼△ADH，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，
∴|PH||D′H|=|IH||AH|=|PI||AD′|=34，∴PI//AD′，且|PI|≠|AD′|，
∴截面AIPD′为梯形，
|AI|=|PD′|= 16+1= 17，∴截面AIPD′为等腰梯形，故D正确．
故选：BCD．
根据平面展开即可判断A；过P做平面PEF//平面ACB′，即可判断B；根据点M的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体ABCD−A′B′C′D′被平面AD′P所截的截面即可判断D．
本题考查正方体中的线面，面面的位置关系，考查正方体的结构特征，多面体和旋转体表面上的最短距离问题，属于难题．
12.m≤3
【解析】
解：∵x2−3x−10≤0，∴(x+2)(x−5)≤0，解得−2≤x≤5.∴A={x|−2≤x≤5}．
∵B⊆A，∴B=⌀，或m满足m+1≥−22m−1≤5，解得m<2，或−3≤m≤3.即m≤3．
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
故答案为{m|m≤3}．
13.{a|a<0或0【解析】解：f(x)的对称轴是x=1a，
a<0时，f(x)开口向下，x=1a<0，
f(x)在[1,3]递减，符合题意，
a>0时，若f(x)在[1,3]单调，
只需1a≥3或0<1a≤1，
解得：a≥1或0综上，a∈{a|a<0或0故答案为：{a|a<0或0求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，判定函数的单调性，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
14.310
【解析】解：因为四边形ABCD为矩形，边长为定值，所以要使三棱锥P−ABCD的体积取到最大值，则PA⊥平面ABCD，
取PA的中点F，因为E为PD的中点，所以EF//AD，
而AD//BC，
所以EF//BC，
所以E，F到平面PBC的距离相等，
所以VE−PBC=VF−PBC=VC−PBF，
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD，
又因为平面PAB∩平面ABCD=AB，
BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，PB= PA2+AB2= 12+(34)2=54，
S△PBF=12S△PAB=12×12PA×AB=14×1×34=316，S△PBC=12PB⋅BC=12×54× 3=5 38，
所以VC−PBF=13S△PBF⋅BC=13×316× 3= 316，
设F到平面PBC的距离为ℎ，
则VC−PBF=VF−PBC=13S△PBC⋅ℎ，所以13×5 38×ℎ= 316，
解得ℎ=310．
故答案为：310．
三棱锥P−ABCD的体积取到最大值时PA⊥平面ABCD，取PA的中点F，由EF//AD，由等体积法，求出F到平面PBC的距离，即求出E到平面PBC的距离．
本题考查等体积法求点到平面的距离，及平行线到平面的距离相等的性质的应用，属于中档题．
15.解：(1)a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，
由f(x)=a→⋅b→=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；
(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],
当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,
故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．
【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．
16.解：(1)∵sin(2C−π2)=−sin(π2−2C)=−cs2C=12，
∴cs2C=2cs2C−1=−12，即cs2C=14，
∵a2+b2∴csC=a2+b2−c22ab<0，即C为钝角，
∴csC=−12，即C=120°；
(2)由正弦定理化简a+bc得：sinA+sinBsinC=sinA+sin(60°−A)sin120∘
=2sin12(A+60°−A)cs12(A−60°+A) 32=2 33cs(A−30°)，
∵ 32则a+bc的取值范围是(1,2 33].
【解析】(1)已知等式利用诱导公式化简求出cs2C的值，由已知不等式，利用余弦定理得到C为钝角，即可确定出C的度数；
(2)利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．
此题考查了余弦定理，诱导公式，和差化积公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17.解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，
则F(1)=2f(1)
∴f(1)=0； (5分)
证明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y)
可得f(yx)=f(y)−f(x)，
设x1>x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，x1x2>1，
∴f(x1x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0
∴f(x1)(3)因为f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)，
所以f(k⋅3x)≥f(9x−3x+1)，由(2)得k⋅3x≤9x−3x+1k⋅3x>0(∗)恒成立，
令t=3x>0，则(∗)可化为t2−(k+1)t+1≥0对任意t>0恒成立，且k>0，
∴(k+1)2−4≤0
∴0【解析】(1)令x=y=1，根据定义在(0,+∞)上的函数f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，我们易构造关于f(1)的方程，解方程即可求出求f(1)；
(2)根据已知中定义在(0,+∞)上的函数f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x>1时，f(x)<0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法(定义法)我们即可得到f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)结合(1)、(2)的结论，我们可将不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．
本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中(1)的关键是“凑配”思想的应用，(2)的关键是将f(xy)=f(x)+f(y)，变型为f(xy)−f(y)=f(x)，从而得到f(x1)−f(x2)=f(x2x1)，(3)的关键是利用(1)(2)的结论对不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)进行变形．
18.解：(1)取DC中点M，连接EM，如图所示：
在△PDC中，M、E分别为CD、CP中点，
∴EM为△PDC的中位线，
∴EM//PD，且EM=12PD，
又∵PD=2，
∴EM=1
∵PD⊥底面ABCD，
∴EM⊥底面ABCD，
∴VA−BDE=VE−ABD=13×12×2×2×1=23；
(2)∵PD⊥底面ABCD，且BC⊂面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂面PDC，
∴BC⊥面PDC，又DE⊂面PDC，
∴BC⊥DE，
∵PD=DC，且PD⊥DC，
∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC，
又PC∩BC=C，PC、BC⊂面PBC，
∴DE⊥面PBC，
∵PB⊂面PBC，
∴DE⊥PB，
∵PB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE、EF⊂面EFD，
∴PB⊥平面EFD；
(3)由(2)可知PB⊥DF，
故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，
∵PD=DC=2，
∴DE= 2，
在△PBD中，BD=2 2，PB=2 3，DF=2 63，
又DE⊥面PBC，
∵EF⊂面PBC，
∴DE⊥EF，
在Rt△EFD中，sin∠EFD=DEDF= 22 63= 32，
∴∠EFD=π3，
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小π3．
【解析】本题主要考查了三棱锥的体积公式，考查了直线与平面垂直的判定定理，以及求平面与平面的夹角，属于中档题．
(1)取DC中点M，连接EM，易知EM=1且EM⊥底面ABCD，由此即可求出答案；
(2)由题意易证DE⊥面PBC，则可得PB⊥DE，再结合PB⊥EF，利用线面垂直的判定定理即可得证；
(3)由题意易知∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，且DE⊥EF，分别求出DE、DF的值，利用sin∠EFD=DEDF，即可求出答案．
19.解：(1)丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学胜、平的事件分别为Ak，Bk，
丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，
则P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×(13)2×16=118，
即丁同学的总分为5分的概率为118．
(2)由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，
则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分，
若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，
甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率P1=13×13=19．
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，
第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率P2=13×13×(13+13)=227．
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，
第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率P3=13×13×13=127
第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，
需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率P4=13×13×(1−13)×12=127．
综上，甲同学能获得奖励的概率P=P1+P2+P3+P4=19+227+127+127=727．
【解析】(1)根据题意，若丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
(2)根据题意，分析甲获得奖励的情况，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解．
本题考查相互独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第一轮
甲—乙
丙—丁
第二轮
甲—丙
乙—丁
第三轮
甲—丁
乙—丙
一、选择题：本题共11小题，第1-8题每小题5分，第9-11题每小题6分，共58分。
1.已知a=lg50.5，b=lg30.3，c=0.50.3，则( )
A. a
A. 32B. 12C. − 32D. −12
3.若p：|x|=x，q：x2+x≥0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37，a，40，50；
乙组：24，b，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则a+b=( )
A. 60B. 65C. 70D. 75
6.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下以下公式eix=csx+isinx(e是自然对数的底，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是( )．
A. eix+1=0B. 12+ 32i3=1
C. csx=eix+e−ix2D. sinx=eix−e−ix2
7.若一个圆柱的内切球(与圆柱的两底面以及每条母线均相切)的表面积为4π，则这个圆柱的体积为( )
A. πB. 2C. 2πD. 2π3
8.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 2
9.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若csA=csB，则△ABC为等腰三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
D. 若sin2A+sin2B
C. 2
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为4 5
B. 保持PM与BD′垂直时，点M的运动轨迹长度为3 2
C. 若保持|PM|=2 5，则点M的运动轨迹长度为4π3
D. 平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得截面为等腰梯形
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m−1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是______．
13.已知二次函数f(x)=ax2−2x+1在区间[1,3]上是单调函数，那么实数a的取值范围是______．
14.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形；E为PD的中点.若AP=1，AD= 3，AB=34，当三棱锥P−ABCD的体积取到最大值时，点E到平面PBC的距离为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
16.（15分）已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin(2C−π2)=12且a2+b2
(2)求a+bc的取值范围．
17.（15分）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)若关于x的不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)恒成立，求实数k的取值范围．
18.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求三棱锥A−BDE的体积；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
19.（17分）某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表.规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名(抽签的胜者排在负者前面)，且抽签时每人胜利的概率均为12.假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13.丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为16,12,13.每场比赛结果相互独立．
(1)求丁同学的总分为5分的概率；
(2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
答案解析
1.B
【解析】解：∵a=lg50.5=1+lg50.1=1+1lg0.15，b=lg30.3=1+lg30.1=1+1lg0.13，
又lg0.15
∴0>a>b，且c>0，
∴b
可以得出a=1+1lg0.15,b=1+1lg0.13，并可判断lg0.15
考查对数的运算性质，以及对数函数的单调性，对数的换底公式．
2.A
【解析】解：∵向量a=(cs23°,cs67°)，b=(cs53°,cs37°)，
∴a⋅b=cs23°cs53°+cs67°cs37°
=cs23°cs53°+cs(90°−23°)cs(90°−53°)
=cs23°cs53°+sin23°sin53°
=cs(53°−23°)
=cs30°
= 32．
故选：A．
根据平面向量的数量积运算法则，由两向量的坐标列出三角函数关系式，把67°和37°分别变为90°−23°和90°−53°，然后利用诱导公式变形，再根据两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得出所求式子的结果．
此题考查了平面向量的数量积的运算，诱导公式及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换．
3.A
【解析】解：由|x|=x可得x≥0，由x2+x≥0可得x≥0或x≤−1，
则p可推出q，反之推不出，故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
判断p，q的关系，即可求解．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4.D
【解析】解：如图：连接B1G，EG
∵E，G分别是DD1，CC1的中点，
∴A1B1//EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形
∴A1E//B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角
在三角形B1GF中，B1G= B1C12+C1G2= 1+1= 2
FG= FC2+C G2= 2+1= 3
B1F= B1B2+BF2= 4+1= 5
∵B1G2+FG2=B1F2
∴∠B1GF=90°
∴异面直线A1E与GF所成角为90°
故选：D．
连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E//B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小
本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法
5.C
【解析】解：根据题意，甲、乙两组数据都按从小到大顺序排列，
甲乙都有6个数据，6×30%=1.8，
则甲组数据的第30百分位数为30，乙组数据的第30百分位数为b，则有b=30，
又由6×50%=3，
则甲组数据的第50百分位数为12(37+a)，乙组数据的第50百分位数为12(33+44)=772，
则有12(37+a)=772，解可得a=40，
故a+b=70．
故选：C．
根据题意，由百分位数的计算公式求出a、b的值，进而计算可得答案．
本题百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
6.CD
【解析】解：对于A，因为eix=csx+isinx，所以eix+1=0不一定成立，选项A错误；
对于B，(12+ 32i)3=(csπ3+isinπ3)3=(eπ3i)3=eπi=csπ+isinπ=−1，所以B错误；
对于C，由eix=csx+isinx，可得出e−ix=cs(−x)+isin(−x)=csx−isinx，将上式联立可得eix+e−ix=2csx，得出csx=eix+e−ix2，选项C正确；
对于D，由上述公式可得出eix−e−ix=2sinx，得出sinx=eix−e−ix2，选项D正确．
故选：CD．
7.C
【解析】解：设球的半径为r，则4πr2=4π，解得r=1，
因半径为r的球是圆柱的内切球，则圆柱的高ℎ等于其内切球直径2r，圆柱底面圆直径等于球的直径2r，
于是得圆柱的底面圆半径为1，高ℎ=2，则V=π×12×2=2π，
所以这个圆柱的体积为2π．
故选：C．
根据给定条件求出球半径，再由圆柱的内切球与圆柱的关系可得圆柱的底面圆半径和高，然后代入体积公式计算即得．
本题考查了圆柱的内切球与圆柱的关系，属于基础题．
8.B
【解析】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)
设P(0,b)(0≤b≤a)
则PA=(2,−b)，PB=(1,a−b)，
∴PA+3PB=(5,3a−4b)
∴|PA+3PB|= 25+(3a−4b)2≥5，
即有当3a=4b时，取得最小值5．
故选B．
根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,a)，C(0,a)，D(0,0)，设P(0,b)(0≤b≤a)，求出PA，PB，根据向量模的计算公式，即可求得|PA+3PB|，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．
此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
9.ABD
【解析】解：若csA=csB，则A=B，一定为等腰三角形，A正确；
若A>B，则a>b，即2RsinA>2RsinB，
所以sinA>sinB，B正确；
若a=8，c=10，B=60°，由余弦定理得，b2=64+100−2×8×10×12=84，
所以b=2 21，故符合条件的△ABC有一个，C错误；
若sin2A+sin2B
10.AB
【解析】解：因为f(x)=|lg2(x+a)|,0
所以f(x)=|lg2x|,0
所以关于x的方程f(x)=m从小到大的四个不同的实根依次为x1，x2，x3，x4，
即函数f(x)的图象与直线y=m有四个交点，四个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4．
作出函数f(x)的图象，如图中实线所示：
由图易知0
易知x4=x2+2，即x4−x2=2，故B正确．
因为x4=x2+2=1x1+2，所以x4−x1=1x1−x1+2(12≤x1<1)，
设φ(x)=1x−x+2(12≤x<1)，则函数φ(x)在[12,1)上单调递减，
所以1−1+2<φ(x)≤2−12+2，
所以2<φ(x)≤72，故C不正确．
x3+x4=2+x1+(2+x2)=4+x1+1x1(12≤x1<1)，
设ℎ(x)=4+x+1x(12≤x<1)，则函数ℎ(x)在[12,1)上单调递减，
所以4+1+1<ℎ(x)≤4+2+12，
所以6<ℎ(x)≤132，故D不正确．
故选：AB．
根据图象过(1,0)可得a=0，作出函数图象，根据对数的性质以及函数特征可得x1x2=1，x4=x2+2，x3=x1+2，进而根据函数的单调性即可结合选项逐一求解．
本题考查了函数的零点、对数的性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
11.BCD
【解析】解：对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，
连接AP，则|AP|= 16+49= 65<4 5，故A错误；
对于B，如图：
∵DD′平面ABCD，AC⊂平面ABCD，DD′⊥AC，又AC⊥BD，
DD′⋂BD=D，DD′，BD⊂平面 DD′B，
∴AC⊥平面 DD′B，BD′⊂平面 DD′B．
∴AC⊥BD′′，同理可得BD′⊥AB′，AC∩AC′=A，AC，AB′⊂平面 ACB′．
∴BD′⊥平面 ACB′．
∴过点P作PG//C′D交CD交于G，过G作GF//AC交AD交于F，
由AB′//C′D，可得PG//AB′，PG⊄平面ACB′，AB′⊂平面ACB′，
∴PG//平面ACB′，同理可得GF//平面ACB′．
则平面PGF//平面ACB′．
设平面PEF交平面ADD′A′于EF，则M的运动轨迹为线段EF，
由点P在棱CC′上，且|PC′|=1，可得|DG|=|DF|=|AE|=1，
∴|EF|=34|A′D|=3 2，故B正确；
对于C，如图：
若|PM|=2 5，则M在以P为球心，2 5为半径的球面上，
过点P作PQ⊥平面ADD′A′，则|D′Q|=1，此时|QM|= |PM|2−|PQ|2=2．
∴点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为2π3．
点M的运动轨迹长度2π3×2=4π3，故C正确；
对于D，如图：
延长DC，D′P交于点H，连接AH交BC于I，连接PI，
∴平面AD′P被正方体ABCD−A′B′C′D′截得的截面为AIPD′．
△PCH∼△D′DH，∴|PH||D′H|=|PC||DD′|=|HC||DH|=34．
△ICH∼△ADH，∴|CI||DA|=|HC||DH|=|IH||AH|=34，
∴|PH||D′H|=|IH||AH|=|PI||AD′|=34，∴PI//AD′，且|PI|≠|AD′|，
∴截面AIPD′为梯形，
|AI|=|PD′|= 16+1= 17，∴截面AIPD′为等腰梯形，故D正确．
故选：BCD．
根据平面展开即可判断A；过P做平面PEF//平面ACB′，即可判断B；根据点M的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体ABCD−A′B′C′D′被平面AD′P所截的截面即可判断D．
本题考查正方体中的线面，面面的位置关系，考查正方体的结构特征，多面体和旋转体表面上的最短距离问题，属于难题．
12.m≤3
【解析】
解：∵x2−3x−10≤0，∴(x+2)(x−5)≤0，解得−2≤x≤5.∴A={x|−2≤x≤5}．
∵B⊆A，∴B=⌀，或m满足m+1≥−22m−1≤5，解得m<2，或−3≤m≤3.即m≤3．
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
故答案为{m|m≤3}．
13.{a|a<0或0
a<0时，f(x)开口向下，x=1a<0，
f(x)在[1,3]递减，符合题意，
a>0时，若f(x)在[1,3]单调，
只需1a≥3或0<1a≤1，
解得：a≥1或0
本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
14.310
【解析】解：因为四边形ABCD为矩形，边长为定值，所以要使三棱锥P−ABCD的体积取到最大值，则PA⊥平面ABCD，
取PA的中点F，因为E为PD的中点，所以EF//AD，
而AD//BC，
所以EF//BC，
所以E，F到平面PBC的距离相等，
所以VE−PBC=VF−PBC=VC−PBF，
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD，
又因为平面PAB∩平面ABCD=AB，
BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，PB= PA2+AB2= 12+(34)2=54，
S△PBF=12S△PAB=12×12PA×AB=14×1×34=316，S△PBC=12PB⋅BC=12×54× 3=5 38，
所以VC−PBF=13S△PBF⋅BC=13×316× 3= 316，
设F到平面PBC的距离为ℎ，
则VC−PBF=VF−PBC=13S△PBC⋅ℎ，所以13×5 38×ℎ= 316，
解得ℎ=310．
故答案为：310．
三棱锥P−ABCD的体积取到最大值时PA⊥平面ABCD，取PA的中点F，由EF//AD，由等体积法，求出F到平面PBC的距离，即求出E到平面PBC的距离．
本题考查等体积法求点到平面的距离，及平行线到平面的距离相等的性质的应用，属于中档题．
15.解：(1)a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，
由f(x)=a→⋅b→=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；
(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],
当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,
故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．
【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．
16.解：(1)∵sin(2C−π2)=−sin(π2−2C)=−cs2C=12，
∴cs2C=2cs2C−1=−12，即cs2C=14，
∵a2+b2
∴csC=−12，即C=120°；
(2)由正弦定理化简a+bc得：sinA+sinBsinC=sinA+sin(60°−A)sin120∘
=2sin12(A+60°−A)cs12(A−60°+A) 32=2 33cs(A−30°)，
∵ 32
【解析】(1)已知等式利用诱导公式化简求出cs2C的值，由已知不等式，利用余弦定理得到C为钝角，即可确定出C的度数；
(2)利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围．
此题考查了余弦定理，诱导公式，和差化积公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17.解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
令x=y=1，
则F(1)=2f(1)
∴f(1)=0； (5分)
证明：(2)由f(xy)=f(x)+f(y)
可得f(yx)=f(y)−f(x)，
设x1>x2>0，f(x1)−f(x2)=f(x1x2)，x1x2>1，
∴f(x1x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0
∴f(x1)
所以f(k⋅3x)≥f(9x−3x+1)，由(2)得k⋅3x≤9x−3x+1k⋅3x>0(∗)恒成立，
令t=3x>0，则(∗)可化为t2−(k+1)t+1≥0对任意t>0恒成立，且k>0，
∴(k+1)2−4≤0
∴0
(2)根据已知中定义在(0,+∞)上的函数f(x)恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x>1时，f(x)<0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法(定义法)我们即可得到f(x)在(0,+∞)上单调递减；
(3)结合(1)、(2)的结论，我们可将不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．
本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中(1)的关键是“凑配”思想的应用，(2)的关键是将f(xy)=f(x)+f(y)，变型为f(xy)−f(y)=f(x)，从而得到f(x1)−f(x2)=f(x2x1)，(3)的关键是利用(1)(2)的结论对不等式f(k⋅3x)−f(9x−3x+1)≥f(1)进行变形．
18.解：(1)取DC中点M，连接EM，如图所示：
在△PDC中，M、E分别为CD、CP中点，
∴EM为△PDC的中位线，
∴EM//PD，且EM=12PD，
又∵PD=2，
∴EM=1
∵PD⊥底面ABCD，
∴EM⊥底面ABCD，
∴VA−BDE=VE−ABD=13×12×2×2×1=23；
(2)∵PD⊥底面ABCD，且BC⊂面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂面PDC，
∴BC⊥面PDC，又DE⊂面PDC，
∴BC⊥DE，
∵PD=DC，且PD⊥DC，
∴△PDC是等腰直角三角形，又DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC，
又PC∩BC=C，PC、BC⊂面PBC，
∴DE⊥面PBC，
∵PB⊂面PBC，
∴DE⊥PB，
∵PB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE、EF⊂面EFD，
∴PB⊥平面EFD；
(3)由(2)可知PB⊥DF，
故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，
∵PD=DC=2，
∴DE= 2，
在△PBD中，BD=2 2，PB=2 3，DF=2 63，
又DE⊥面PBC，
∵EF⊂面PBC，
∴DE⊥EF，
在Rt△EFD中，sin∠EFD=DEDF= 22 63= 32，
∴∠EFD=π3，
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小π3．
【解析】本题主要考查了三棱锥的体积公式，考查了直线与平面垂直的判定定理，以及求平面与平面的夹角，属于中档题．
(1)取DC中点M，连接EM，易知EM=1且EM⊥底面ABCD，由此即可求出答案；
(2)由题意易证DE⊥面PBC，则可得PB⊥DE，再结合PB⊥EF，利用线面垂直的判定定理即可得证；
(3)由题意易知∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，且DE⊥EF，分别求出DE、DF的值，利用sin∠EFD=DEDF，即可求出答案．
19.解：(1)丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第k(k=1,2,3)轮比赛丁同学胜、平的事件分别为Ak，Bk，
丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，
则P(M)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=3×(13)2×16=118，
即丁同学的总分为5分的概率为118．
(2)由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，
则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分，
若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，
甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率P1=13×13=19．
②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，
第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率P2=13×13×(13+13)=227．
③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，
第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率P3=13×13×13=127
第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，
需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率P4=13×13×(1−13)×12=127．
综上，甲同学能获得奖励的概率P=P1+P2+P3+P4=19+227+127+127=727．
【解析】(1)根据题意，若丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，利用相互独立事件的乘法公式即可求解；
(2)根据题意，分析甲获得奖励的情况，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解．
本题考查相互独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第一轮
甲—乙
丙—丁
第二轮
甲—丙
乙—丁
第三轮
甲—丁
乙—丙
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