2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线m的方程为 3x−y+2=0，则直线m的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 120∘
2.圆x2+y2+2x−4y−6=0的圆心和半径分别是
( )
A. −1,−2，11B. −1,2，11C. −1,−2， 11D. −1,2， 11
3.已知数列an是等比数列，若a1=1，q=2，Sn=31，则n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1 中，AC与BD 的交点为M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c，是下列向量中与MB1 相等的向量是
( )
A. 12a−12b−cB. −12a−12b−cC. −12a+12b−cD. 12a+12b−c
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0( )
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于( )
A. 66B. 33C. 63D. 22
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为
( )
A. 12B. 33C. 32D. 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的等差数列an单调递增，且a5=2，则( )
A. 公差d的取值范围是−∞,12B. 2a7=a9+2
C. a8+a4>a6+a5D. a1+a9=4
10.下列说法中，正确的有( )
A. 过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
B. 直线y=kx−2在y轴的截距是−2
C. 直线x− 3y+1=0的倾斜角为60°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为x−5=0
11.对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是
( )
A. 若a⋅b<0，则a，b的夹角是钝角
B. 若a=(1,2,3)，b=(−1,−1,1)，则a⊥b
C. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
D. 若a=(1,0,0)，b=(0,2,0)，c=(0,0,3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底
12.已知抛物线C:y2=2pxp>0与圆O:x2+y2=5交于A，B两点，且AB=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是
( )
A. 若直线l的斜率为 33，则MN=8
B. MF+2NF的最小值为3+2 2
C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0, 62)，则点M的横坐标为32
D. 若点G2,2，则△GFM周长的最小值为4+ 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列an的前n项和Sn=2n2+n+1，则该数列的通项公式为 ．
14.过双曲线x24−y23=1的左顶点，且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ．
15.已知函数fx=xx−c2在x=2处有极大值，则c=
16.正四棱锥P−ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA= 5，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30∘，则平面α截球G所得的图形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知a=(2,−1,−4),b=(−1,k,2)．
(1)若(a−b)//(a+b)，求实数k的值；
(2)若(a+3b)⊥(a+b)，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知圆C:x−12+y−22=25，直线l:2m+1x+m+1y−7m−4=0m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列1an−1为等比数列．
(2)若1a1+1a2+1a3+…+1an<100，求满足条件的最大整数n．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2CD=4，∠BAD=∠CDA=π3．

(1)判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；
(2)求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
21.(本小题12分)
已知函数fx=ex−lnx+m．
(1)当m=12时，求曲线fx在点(0,f(0))处切线方程；
(2)当m≤2时，求证：fx>0．
22.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求ΔQAB的面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】求出直线m的斜率，即可得出直线m的倾斜角．
【详解】设直线m的倾斜角为α，则tanα= 3，∵0∘≤α<180∘，因此，α=60∘．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可．
【详解】先化为标准方程可得x+12+y−22=11，故圆心为−1,2，半径为 11．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】代入等比数列求和公式求解．
【详解】由题意知Sn=a11−qn1−q=1−2n1−2=31，得n=5，
故选：B
4.【答案】A
【解析】【分析】利用向量的加法法则及减法法则即得．
【详解】解：因为A1B1=a,A1D1=b,A1A=c，所以MB1=MB+BB1=−12(BA+BC)+BB1=12a−12b−c．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1，由此能求出结果．
【解答】
解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，
设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，
∵冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，
∴a1+a4+a7=3a1+9d=31.5a2+a5+a8=3a1+12d=28.5，
解得a1=13.5，d=−1，
∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：
a3+a6+a9=3a1+15d=25.5(尺)．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
根据已知分析25−9=25−k−9−k，从而得结论．
【解答】
解：∵0∴25−k>9−k>0．
故x225−k+y29−k=1(0又25−9=25−k−9−k=16，
所以两椭圆具有相同焦距．
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】以点D1为坐标原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线FC到平面AEC1的距离．
【详解】以点D1为坐标原点，D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点A1,0,1、C0,1,1、C10,1,0、E1,12,0、F1,12,1，
C1E=1,−12,0，CF=1,−12,0，则C1E=CF，所以，C1E//CF，
因为C1E⊂平面AC1E，CF⊄平面AC1E，∴CF//平面AC1E，
设平面AC1E的 法向量为n=x,y,z，C1E=1,−12,0，EA=0,−12,1，
则n⋅C1E=x−12y=0n⋅EA=−12y+z=0，取x=1，可得n=1,2,1，
C1C=0,0,1，所以，直线FC到平面AEC1的距离为d=C1C⋅nn=1 6= 66．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率，属于拔高题．
连接PO，则P、G、O三点共线，延长PI交x轴于点Q，则由IG平行于x轴得PIIQ=PGGO=2，从而可得S△PF1F2S△IF1F2=PQIQ=3，根据三角形内心的性质可得PF1+PF2F1F2=2，从而可得离心率．
【解答】
解：∵O是F1F2的中点，G是△PF1F2的重心，
∴P、G、O三点共线，
延长PI交x轴于点Q，则由IG平行于x轴知，PIIQ=PGGO=2，
则PQIQ=3⇒S△PF1F2S△IF1F2=3，设△PF1F2内切圆半径为r，
则12⋅(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r12⋅|F1F2|⋅r=3⇒|F1F2|+|PF1|+|PF2||F1F2|=3
⇒|PF1|+|PF2||F1F2|=2⇒2a2c=2⇒ca=12，
∴椭圆的离心率为12．
故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】由d>0，a1>0，且a5=2，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C．
【详解】解：由题意得d>0，a1>0，a5=2，
所以a1=2−4d>0，解得d<12，所以d∈0,12，故 A错误；
由2a7−a9=a5+a9−a9=a5=2，故 B正确；
由a8+a4−a6+a5=a8−a6−a5−a4=2d−d=d>0，故a8+a4>a6+a5，C选项正确；
由等差数列性质，a1+a9=2a5=4，故 D正确．
故选：BCD
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线方程基础知识的掌握情况，及直线方程的综合求法，考查学生的计算能力，属于基础题．
根据直线方程的几种形式，逐项判断即可．
【解答】
解：对A:过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程，
要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，
当直线过原点时，直线方程为2x−y=0;
当直线不过原点时，直线方程为x+y−3=0，所以A错误．
对B：直线y=kx−2在y轴上的截距，令x=0，得y=−2，
所以直线y=kx−2在y轴上的截距为−2，所以B正确．
对C:直线x− 3y+1=0的斜率为 33，设倾斜角为α，
则tan⁡α= 33,α∈[0,π)，所以α=30°，所以C错误．
对D：过点(5,4)并且倾斜角为90​∘，斜率不存在，
所以直线方程为x=5,即x−5=0，所以D正确．
故选BD．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量基本定理，空间向量垂直的坐标表示，属于较易题．
根据向量夹角可判断A；根据向量的数量积判断B，C；根据不共面的向量可以作为空间中的一组基底判断D．
【解答】
解：对于A，若a⋅b<0，则a，b的夹角θ满足csθ<0，
所以θ是钝角或θ=π，所以选项A错误；
对于B，因为a⋅b=−1−2+3=0，所以a→⊥b→，选项B正确；
对于C，若a⋅b=b⋅c，则a−c·b=0，根据数量积的定义知，a=c不一定成立，选项C错误；
对于D，设c=λa+μb，则0,0,3=λ,2μ,0，λ,μ不存在，
所以c≠λa+μb，所以向量a、b、c不共面，
所以a，b，c可以作为空间中的一组基底，选项D正确．
故选BD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念及标准方程，难度较大．
首先求出抛物线的解析式，设出M、N坐标联立进行求解，当m= 3时，|MN|=16，进而判断选项A，再根据韦达定理和基本不等式进行判断选项B，画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M’，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C，过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM’|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5进而进行判断选项D即可．
【解答】
解：由题意得点(1,2)在抛物线C：y2=2px上，
所以22=2p，解得p=2，所以C：y2=4x，则F(1,0)，
设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以|MN|= 1+m2y1−y2= 1+m2· (y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，
当m= 3时，|MN|=16，A项错误；
1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1
=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，
则|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)·1MF+1NF=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2 2，
当且仅当|MF|=1+ 2，|NF|=1+ 22时等号成立，B项正确；
如图，
过点M作准线的垂线，垂足为M’，交y轴于M1，
取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1//OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|=|MM’|−|M1M’|=|MF|−1，
所以|DD1|=OF+|MM1|2=1+MF−12=|MF|2，所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以(0, 62)为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为 62，
又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为 6，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为32，C项正确；
过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM’|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5，
当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，D项错误．
故选BC．
13.【答案】an=4,n=14n−1,n≥2
【解析】【分析】由an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2可求得数列an的通项公式．
【详解】当n=1时，a1=S1=2+1+1=4；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+n+1−2n−12+n−1+1=4n−1．
a1=4不满足an=4n−1．
所以，an=4,n=14n−1,n≥2．
故答案为：an=4,n=14n−1,n≥2．
14.【答案】2x−y+4=0
【解析】【分析】由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程．
【详解】由双曲线方程知：其左顶点为(−2,0)，
根据直线平行关系知：所求直线的斜率为2，
所以所求直线为y=2(x+2)，则2x−y+4=0．
故答案为：2x−y+4=0
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查导数与函数的极值之间的关系，导数与函数的单调性，属于中档题．
求导数，由题意f′2=3×22−8c+c2=0，求得c值，由单调性验证是否为极大值，得答案．
【解答】
解：f′x=x−c2+x·2x−c=3x2−4cx+c2，
因为函数fx=xx−c2在x=2处有极大值，
所以f′2=3×22−8c+c2=0，
解得c=2或c=6，
当c=2时，f′x=3x2−8x+4=3x−2x−2，
当x>2或x<23时，f′x>0，当23即函数在−∞,23和2,+∞时单调递增，在23,2上单调递减，
所以函数在x=2处取得极小值，不合题意舍去；
当c=6时，f′x=3x2−24x+36=3x2−8x+12=3x−2x−6，
当x>6或x<2时，f′x>0，当2即函数在−∞,2和6,+∞时单调递增，在2,6上单调递减，
所以函数在x=2处取得极大值，符合题意；
所以c=6．
故答案为6．
16.【答案】π3
【解析】【分析】
本题考查了等体积法求解内切球的半径问题，球的截面问题，考查了考生的理解想象能力，属于较难题．
利用等体积法求解内切球的半径，然后再进行后面的求解即可得．
【解答】
解：取正方形ABCD的中点，即可得PO⊥底面ABCD，
因为PA= 5，AB=2，O是正方形ABCD的中心，那么AO= 2．
则OP= AP2−AO2= 3．
那么，四棱锥P−ABCD的体积V=13S正方形ABCD×OP=4 33．
设四棱锥P−ABCD内切球半径为r，
那么，四棱锥P−ABCD的体积V=13×(S正方形ABCD+S△ABP+S△ADP+S△BCP+S△CDP)×r
所以13×(4+4×2)r=4 33．
解得r= 33；
取BC中点E，AD中点F，
可得PO⊥OE，OE=1，
因为OP= 3，
所以可得∠PEO=60°，
因为平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30∘，
所以可得MN/​/AD，取MN的中点Q，
所以可得∠QFE=30°，
即可得∠FQE=90°，
所以即可得QE=1=OE，
因为GE=GE，∠GQE=∠GOE=90°，
所以可得△GQE≌△GOE，
所以可得GQ=GO= 33，
所以可得点G为内切球球G的球心，
所以可得平面α截球G所得的图形过球G的球心，所以面积S=πr2=π3．
故答案为π3．
17.【答案】解：(1)a−b=2,−1,−4−−1,k,2=3,−1−k,−6,a+b=2,−1,−4+−1,k,2=1,k−1,−2，若a−b//a+b，则a−b=λa+b，即3=λ,−1−k=λk−1,−6=−2λ，解得λ=3,k=12；
(2)a+3b=2,−1,−4+3−1,k,2=−1,3k−1,2,a+b=1,k−1,−2，若a+3b⊥a+b，则a+3b⋅a+b=0，即−1×1+3k−1×k−1+2×−2=0，化简可得3k2−4k−4=0，解得k=2或k=−23．

【解析】(1)根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；
(2)根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；
18.【答案】解：(1)依题意直线l:2m+1x+m+1y−7m−4=0m∈R，
整理得l:2x+y−7m+x+y−4=0，
由2x+y−7=0x+y−4=0解得x=3y=1，所以l恒过定点3,1．
(2)当m=0时，直线l:x+y−4=0，
圆C:x−12+y−22=25的圆心为1,2，半径为5，
1,2到直线l:x+y−4=0的距离为1+2−4 2=1 2<5，
所以直线l被圆C截得的弦长为2 52−1 22=7 2．


【解析】(1)根据直线过定点的知识证得结论成立．
(2)根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长．
19.【答案】解：(1)证明：因为an+1=3an2an+1，
所以1an+1−1=2an+13an−1=1−an3an=131an−1，
1a1−1=23，则1an−1≠0，
所以数列1an−1是首项为23，公比为13等比数列；
(2)由(1)可得1an−1=23×13n−1，则1an=2×13n+1，
所以1a1+1a2+1a3+…+1an=2×131+1+2×132+1+⋯+2×13n+1
=2×131+132+⋯+13n+n=1−13n+n<100，
令fn=n+1−13n，则函数fn在n∈N∗上单调递增，
而f99=100−1399<100，f100=101−13100>100，
所以满足条件的最大整数n的值为99．
【解析】本题考查数列的递推关系，等比数列的通项公式，等比数列的判定以及数列的分组转化求和，属中档题．
(1)由条件转化出1an+1−1和1an−1的比值关系即可证明数列1an−1为等比数列；
(2)由数列1an−1为等比数列求解出通项公式，求得1an，运用分组转化求和得到n+1−13n<100，结合函数fn=n+1−13n的单调性即可解题．
20.【答案】解：(1)BC//平面PAD．
证明如下：如图，延长AB、DC交于O，

因为∠BAD=∠CDA=π3，所以三角形ADO为正三角形，
因为AD=2AB=2CD，所以BC为三角形ADO的中位线，
所以BC//AD，
因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC//平面PAD；
(2)在平面ABCD内，过A点作射线Ax垂直于AD，
因为PA⊥平面ABCD，所以可以A为坐标原点，射线Ax、AD，AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知条件得，P0,0,4，B 3,1,0，C 3,3,0，
所以PB= 3,1,−4，BC=0,2,0，
设平面PBC的法向量为n1=a,b,c，则n1⋅PB= 3a+b−4c=0,n1⋅BC=2b=0,
不妨设n1=4,0, 3，
设平面PAB的一个法向量为n2=x,y,z，
则n2⋅PB= 3x+y−4z=0,n2⋅PA=−4z=0,
不妨设n2=−1, 3,0，
所以csα=n1⋅n2n1n2=−4 19×2=2 1919．

【解析】(1)利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．
21.【答案】解：(1)当m=12，fx=ex−lnx+12，f′(x)=ex−1x+12=ex−22x+1，
所以f′(0)=1−2=−1，而f(0)=1−ln12=1+ln2，
切线方程为y−1+ln2=−x，
即所求切线方程为x+y−1−ln2=0；
(2)fx得定义域为(−m,+∞),，f′(x)=ex−1x+m，
设g(x)=f′(x)=ex−1x+m，则g′(x)=ex+1(x+m)2>0，故f′x是增函数，
当x→−m时，f′x→−∞，x→+∞时，f′x→+∞，
所以存在x0∈−m,+∞，使得ex0=1x0+m①，
且x∈−m,x0时，f′x<0，fx单调递减，
x∈x0,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
故f(x)min=fx0=ex0−lnx0+m②，由①式得x0=−lnx0+m③，
将①③两式代入②式，结合m≤2
得：f(x)min=1x0+m+x0=1x0+m+x0+m−m≥2 1x0+m⋅x0+m−m=2−m≥0，
当且仅当x0=1−m时取等号，结合②式可知，此时fx0=ex0>0，
故fx>0恒成立．

【解析】(1)代入求导f′(x)=ex−22x+1，计算f′(0)和f(0)的值，即可得到切线斜率和切点坐标，最后用点斜式得切线方程并化简；
(2)求出导函数f′(x)，再利用导数确定f′(x)的单调性，从而确定f′(x)的零点x0存在，得出其为极小值点，由f′(x0)=0得x0,m间的关系，代入f(x0)变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论．
方法点睛：用导数证明不等式f(x)>0的方法：利用导数求得f(x)的最小值，证明最小值大于0即得，问题常常遇到最小值点不能直接求出，只有利用零点存在定理确定为x0，为此可利用x0的性质：f′(x0)=0确定x0与参数的关系，从而化f(x0)为一个变量的函数(一元函数)，然后由不等式的知识或函数知识得出其大于0．
22.【答案】解：(1)由题意得c=2，ba=tan30= 33，c2=a2+b2，
解得a2=3，b2=1，
所以双曲线C的方程为：x23−y2=1．
(2)证明：由题意知直线的斜率存在，
设直线方程为：y=k(x−2)，得P(0,−2k)，Q(0,2k)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x23−y2=1y=k(x−2)，整理可得(3k2−1)x2−12k2x+12k2+3=0，
x1+x2=12k23k2−1，x1⋅x2=12k2+33k2−1，
所以S△QAB=|S△QPB−S△QPA|=12|PQ||x1−x2|=2|k||x1−x2|，
所以S△QAB2=4k2[(x1+x2)2−4x1x2]=4k2[(12k23k2−1)2−4(12k2+3)3k2−1]=48k2(k2+1)(3k2−1)2，
直线与双曲线右支有两个交点，所以x1+x2=12k23k2−1>0,x1⋅x2=12k2+33k2−1>0
所以3k2>1，设t=3k2−1>0，
S△QAB2=48(t+1)3⋅(t+13+1)t2=163(4t2+5t+1)
=643(1t+58)2−3>643×2564−3=163，
所以S△QAB>4 33.即ΔQAB的面积的取值范围为(4 33,+∞)．
【解析】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于较难题．
(1)由双曲线C的焦点F为抛物线的焦点，一条渐近线的倾斜角为30°，列方程组，解得a，b，即可得出答案．
(2)设直线方程为：y=k(x−2)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，在计算S△QAB，利用配方法，可得答案．