2023-2024学年湖北省武汉市洪山区南片区教联体八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市洪山区南片区教联体八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (3a2)3=9a6B. a3÷a3=aC. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a5
3.一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
4.等式a−b+c=a−，括号内应填上的项为( )
A. b+cB. b−cC. −b+cD. −b−c
5.下列因式分解结果正确的是( )
A. −x3+4x=−x(x2−4)B. x2−4y2=(x+4y)(x−4y)
C. −x2−2x−1=−x(x+2)−1D. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
6.已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、3n，则满足条件的n的值有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
7.如图，将一副三角板的斜边AB重合，点E是AB的中点，连接CE，DE，已知CE=2，则AD的长是( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
8.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为( )
A. ∠D=12∠G
B. ∠D+∠G=180°
C. ∠D+12∠G=90°
D. ∠D=90°+12∠G
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有( )
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MB平分∠ABO.其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若点A的坐标为(1,−2)，则点A关于x轴的对称点A′的坐标是______．
12.计算：(−2)2022×(12)2023= ______．
13.若多项式x2+mx+16是一个完全平方式，则m=______．
14.一个等腰三角形的三边长分别为12，6，a+2，则这个等腰三角形的周长为______．
15.一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中∠3=75°，则∠1+∠2= ______．
16.如图，边长为2的等边三角形ABC，点C在x轴上，AB/​/x轴.P为x轴上一点，Q为直线BC上一点，满足∠APQ=60°，则AP+OQ的最小值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.因式分解：
(1)a2−9b2
(2)2a2−4ab+2b2．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：
(1)(6x2−2x)÷2x；
(2)13a(3a−6)+(a+1)2．
19.(本小题8分)
如图，已知E、C是线段BF上两点，满足BE=CF，A，D为线段上方两点，连接AB，AC，DE，DF，满足AB=DE，AC=DF．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若五边形ABFDG的面积为10，△GEC的面积为4，请直接写出四边形DGCF的面积：______．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．
(1)若∠A=90°，求∠BEC的度数；
(2)过点E作BC的平行线与AB、AC分别相交于点D、F，若△ABC与△ADF的周长分别为24和15，求BC的长．
21.(本小题8分)
如图，网格中每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C都在格点处，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．
(1)过点B作AC的平行线BD；
(2)先画△ABC的高AE，再将AE平移到CF，使点A与点C重合；
(3)作点B关于AC的对称点B′．
22.(本小题10分)
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为16=52−32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解.那么究竟哪些数为智慧数？第2023个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，9=52−42，…
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．
则(k+1)2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都______是智慧数，并请直接写出11的智慧分解：______；
(2)继续探究，他们发现8=32−12，12=42−22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4k(k≥2，且k为整数)均为智慧数，请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
23.(本小题10分)
如图1，点P是△ABC内一点，PA=PB=PC，∠BPC=150°，则∠BAC= ______°(直接写出结果)；
如图2，P是△ABC外一点，满足PA=PB=PC，∠ACB=45°，求∠APB的度数；
如图3，P是△ABC内一点，PB=PC，∠BPC=60°，∠BAC=30°，求证：PA=PB．
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(0,a)，点B(b,0)，∠BAC=90°，AB=AC，a2−6a+9+|a+nb|=0．
(1)当n=−2时，若直接写出A、B的坐标；
(2)如图2，M是x轴上一点，连接AM(AM与线段BC相交)，分别过点B、C作AM的垂线，垂足分别为点D、E，请证明：AD=CE；
(3)如图3，在(2)的条件下，当n<0时，取点A关于BC的对称点G，连接EG，判断EG与CD的关系并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的美术字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵(3a2)3=27a6，
∴选项A不符合题意；
∵a3÷a3=1，
∴选项B不符合题意；
∵(a2)3=a6，
∴选项C不符合题意；
∵a2⋅a3=a5，
∴选项D符合题意，
故选：D．
运用积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方进行逐一计算、辨别．
此题考查了积的乘方、同底数幂除法、幂的乘方等方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3.【答案】A
【解析】利用多边形的外角和360°除以每个外角的度数，即可求得边数．
本题考查了多边形的外角和，理解任何多边形的外角和都是360°是解题关键．
解：这个多边形的边数是：360÷72=5．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：根据填括号的法则可知，
原式=a−(b−c)
故选：B．
根据填括号的法则解答即可．
本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
5.【答案】D
【解析】解：A.−x3+4x=−x(x2−4)=−x(x+2)(x−2)，故A不符合题意；
B.x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，故B不符合题意；
C.−x2−2x−1=−(x+1)2，故C不符合题意；
D.x2−5x+6=(x−2)(x−3)，故D符合题意；
故选：D．
根据因式分解−十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
本题考查了因式分解−十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
6.【答案】A
【解析】解：∵三角形的三边长分别是2、8、3n，
∴8−2<3n<8+2，
∴6<3n<10，
∴2∴满足条件的n的值是3，有1个．
故选：A．
三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到6<3n<10，因此2本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
7.【答案】C
【解析】解：∵点E是AB的中点，∠ACB=90°，CE=2，
∴CE是直角△ABC斜边AB上的中线，
∴AE=CE=2．
∵△ADB=90°，DE是直角△ABD斜边AB上的中线，
∴AE=ED=2．
又∵∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形．
∴AD=AE=2．
故选：C．
由直角三角形斜边上的中线性质知AE=CE=2；由等边三角形的判定与性质知AD=AE=2．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．(即直角三角形的外心位于斜边的中点)．
8.【答案】B
【解析】解：方法一：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴∠GBC=12∠EBC，∠GCB=12∠FCB，
∴∠G=180°−(∠GBC+∠GCB)
=180°−12(∠EBC+∠FCB)
=180°−12(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°−12(2∠A+180°−∠A)
=180°−12(180°+∠A)
=90°−12∠A，
∴∠D+∠G=90°+12∠A+90°−12∠A=180°．
方法二：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∵BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，
∴∠GBC=12∠EBC，∠GCB=12∠FCB，
∴∠DBG=∠DBC+∠GBC=12(∠ABC+∠EBC)=90°，
同理可得：∠DCG=90°，
在四边形DBGC中，根据内角和为360°，
∴∠D+∠G=180°．
故选：B．
根据角平分线可得∠DBG=∠DBC+∠GBC=12(∠ABC+∠EBC)=90°，同理∠DCG=90°，再根据四边形内角和即可得的度数．
本题考查的是三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练运用角平分线是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：(1)当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
(2)当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
分两种情况推论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可判断．
本题考查等腰三角形，关键是分两种情况推论．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，∠OAC=∠OBD，
故①正确，符合题意；
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
故②正确，符合题意；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示，
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OGC=∠OHD=90°∠OCG=∠ODHOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOM∠CMO=∠BMOOM=OM，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
∴③错误；
∵没有条件可以证明MB平分∠ABO，
∴④错误；
正确的个数有2个；
故选：C．
由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；没有条件可以证明MB平分∠ABO，故④错误；即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】(1,2)
【解析】解：∵点A的坐标为(1,−2)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为(1,2)，
故答案为：(1,2)．
利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题考查了关于x轴的对称点的坐标，解题的关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
12.【答案】12
【解析】解：原式=22022×(12)2022×12
=(2×12)2022×12
=1×12
=12．
故答案为：12．
直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
13.【答案】±8
【解析】解：∵x2+mx+16=x2+mx+42，
∴mx=±2×4×x，
解得m=±8．
故答案为：±8．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【答案】30
【解析】解：①当a+2=12时，
∵a+2=12，
∴a=10，
∴等腰三角形的周长=12+12+6=30，
②当a+2=6时，
∵两边之和需大于第三边，6+6=12，
∴此种情况不能构成三角形，
故答案为：30．
分两种情况进行分析求解即可．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形三边关系的知识，解题的关键是分类讨论，并用三边关系定理检验．
15.【答案】135°
【解析】解：∵∠1+∠4+∠2+5+∠3=360°，
∴∠1+∠2=360°−∠3−∠4−∠5=360°−75°−60°−90°=135°．
故答案为：135°．
由三角形外角的性质得到∠1+∠4+∠2+5+∠3=360°，即可求出∠1+∠2的度数．
本题考查等边三角形得到性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到∠1+∠4+∠2+5+∠3=360°．
16.【答案】3
【解析】解：过P作PM⊥AC，PN⊥BC，过O作OK⊥BC，交AC延长线于R，过R作RH⊥x轴．
∵等边△ABC，
∴∠B=∠ACB=∠BCH=60°，
∵AB/​/x轴，
∴∠ACO=60°，
∵∠OCQ=∠BCH=60°，
∴∠ACO=∠OCQ，
利用角平分线上的点到角两边的距离相等得：PM=PN，
∵∠APQ+∠ACQ=60°+60°+60°=180°，
利用四边形内角和为360°得：∠PAM+∠PQC=180°，
∵∠PQC+∠PQN=180°，
∴∠PAM=∠PQN，
在△PAM和△PQN中，
∠PAM=∠PQN∠AMP=∠PNQPM=PN，
∴△PAM≌△PQN(AAS)，
∴PA=PQ，
∴△APQ为等边△，
∴AP=AQ，
在△OCK和△RCK中，
∠OCK=∠RCK=60°CK=CK∠OKC=∠RKC=90°，
∴△OCK≌△RCK(ASA)，
∴OK=KR，
∴OC=CR，OQ=QR，
∵∠OAC=30°，
利用直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半，得：OC=12AC=1，
∴CR=1，
∵AQ+QR≥AR，
∴AQ+QR≥AC+CR，
即AP+OQ≥3，
∴AP+OQ的最小值为3．
故答案为：3．
过P作PM⊥AC，PN⊥BC，过O作OK⊥BC，交AC延长线于R，过R作RH⊥x轴．由等边三角形性质得∠B=∠ACB=∠BCH=60°，由平行线性质∠ACO=60°，由对角互补∠APQ+∠ACQ=60°+60°+60°=180°，得∠PAM+∠PQC=180°，故∠PAM=∠PQN，先证明△PAM≌△PQN，得△APQ为等边△，再证明△OCK≌△RCK，得OK=KR，再利用三角形两边之和大于第三边得AQ+QR≥AR，再换算即可．
本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质，构造全等三角形是解题关键．
17.【答案】解：(1)a2−9b2=(a+3b)(a−3b)；
(2)2a2−4ab+2b2
=2(a2−2ab+b2)
=2(a−b)2．
【解析】(1)根据平方差公式因式分解；
(2)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18.【答案】解：(1)(6x2−2x)÷2x
=(6x2÷2x)−(2x÷2x)
=3x−1．
(2)13a(3a−6)+(a+1)2
=a2−2a+a2+2a+1
=2a2+1．
【解析】(1)用多项式的每一项除法2x，即可得到答案；
(2)先用单项式乘多项式和用完全平方公式去掉小括号，再合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据计算法则和公式法来计算．
19.【答案】3
【解析】(1)证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)；
(2)解：∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，
∵五边形ABFDG的面积=S△ABC+S△DEF−S△GEC=10，S△GEC=4，
∴S△DEF=7，
∴四边形DGCF的面积=S△DEF−S△GEC=3，
故答案为：3．
(1)利用SSS证明△ABC≌△DEF即可；
(2)根据全等三角形的性质得出S△ABC=S△DEF，利用五边形ABFDG的面积=S△ABC+S△DEF−S△GEC=10，S△GEC=4，求出S△DEF=7，再跟据四边形DGCF的面积=S△DEF−S△GEC求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=12ABC，∠ACB=12ACB，
∴∠EBC+∠ECB=12(∠ABC+∠ACB)=45°，
∴∠BEC=180°−45°=135°；
(2)∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DEB，
∵DF/​/BC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=ED，
同理EF=FC，
∵△ABC与△ADF的周长分别为24和15，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AF+CF+BC，
△ADF的周长=AD+AF+DE=AD+DE+AF+CF，
∴BC=△ABC的周长−△ADF的周长=24−15=9．
【解析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，直线BD即为所求；
(2)取格点K连接AK交BC于点E，则线段AE即为所求；过点D作BC的平行线与过点C作AE的平行线相交于点F，则线段CF即为所求；
(3)延长BC到G使CG=BG，取格点H连接GH并延长交三角形ABC边AC上的高线于点B′，则点B′即为所求．
【解析】(1)利用平移变换的性质解决问题即可；
(2)利用平移变换的性质解决问题即可；
(3)根据轴对称的性质结合平行线的性质即可得到结论．
本题考查了作图−轴对称变换、平移变换，平行线的判定与性质，熟记轴对称变换、平移变换，平行线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】奇数 5，6
【解析】(1)解：∵(k+1)2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1(k≥1，且k为整数)，
∴智慧数是除1外所有的奇数，
(5+1)2−52=62−52=(6+5)(6−5)=11，
故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6；
(2)证明：设k≥2，且k为整数，
∵8=32−12=(2+1)2−(2−1)2=(2+1+2−1)(2+1−2+1)，12=42−22=(3+1)2−(3−1)2=(3+1+3−1)(3+1−3+1)，
∴(k+1)2−(k−1)2=(k+1+k−1)(k+1−k+1)=4k，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k(k≥2且k为整数)均为智慧数；
(3)解：据探究得，智慧数是奇数时k≥1，且k为整数，智慧数是4的倍数时，k≥2且k为整数，
∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，
(2023−1)÷3=674，
4×(674+1)=2700，
∴第2023个智慧数是2700，
∵2700能被4整除，
∴2700=6762−6742=(676+674)(676−674)．
(1)由小明的探究可得，2k+1(k≥1，且为整数)是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11的智慧分解；
(2)借助小明的探究思路，可证猜想；
(3)根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．
本题考查了对因式分解的应用，掌握对因式分解的反推是本题的关键．
23.【答案】75
【解析】(1)解：∵∠BPC=150°，
∴∠PBC+∠PCB=180°−∠BPC=30°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA+30°=180°，
∵PA=PB=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，
∴2∠PAB+2∠PAC+30°=180°，
∴∠PAB+∠PAC=75°，
∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=75°，
故答案为：75．
(2)解：∵PA=PB=PC，
∴∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
设∠PAC=∠PCA=α，∠PAB=∠PBA=β，
∵∠ACB=45°，
∴∠PBC=∠PCB=45°+α，∠BAC=β−α，
∴∠ABC=45°+α+β，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴β−α+45°+α+β+45°=180°，
∴2β=90°，
∴∠APB=90°；
(3)证明：如图3，以点P为圆心，PC长为半径作圆，延长BP交⊙P于点E，连接AE、CE，
∵PB=PC，∠BPC=60°，∠BAC=30°，
∴点B在⊙P上，∠EPC=120°，
∵PE=PC，
∴∠BEC=∠PCE=30°，
∴∠BAC=∠BEC，
∴点A在⊙P上，
∵BE是⊙P的直径，
∴∠BAE=90°，
∴PA=12BE，
∵PB=12BE，
∴PA=PB．
(1)由∠BPC=150°求得∠PBC+∠PCB=30°，由PA=PB=PC，得∠PAB=∠PBA，∠PAC=∠PCA，则2∠PAB+2∠PAC+30°=180°，即可求得∠BAC=∠PAB+∠PAC=75°，于是得到问题的答案；
(2)设∠PAC=∠PCA=α，∠PAB=∠PBA=β，得∠PBC=∠PCB=45°+α，∠BAC=β−α，得∠ABC=45°+α+β，然后根据三角形内角和定理求出2β=90°，进而可以解决问题；
(3)以点P为圆心，PC长为半径作圆，延长BP交⊙P于点E，连接AE、CE，因为PB=PC，∠BPC=60°，∠BAC=30°，所以点B在⊙P上，∠EPC=90°，则∠BEC=∠PCE=30°，∠BAC=∠BEC，所以点A在⊙P上，则∠BAE=90°，所以PA=PB=12BE．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵a2−6a+9+|a+nb|=0，
∴(a−3)2+|a+nb|=0，
∵(a−3)2≥0，|a+nb|≥0，
∴a−3=0，a+nb=0，
∵n=−2，
∴a=3，b=32，
∴点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为(32,0)；
证明：(2)∵BD⊥AM，CE⊥AM，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∵∠ABD+∠BAM=90°，∠CAE+∠BAM=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠BDA=∠AEC，AB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴AD=CE；
(3)EG=CD，理由如下：
连接CG、BG，
∵点G是点A关于BC的对称点，
∴AC=GC，AB=GB，
∵AB=AC，
∴AB=AC=CG=BG，
∴四边形ABGC是菱形，
∵∠CAB=90°，
∴四边形ABGC是正方形，
同理可证△ABD≌△CAE，
∴AD=CE，
∵CE⊥AM，
∴∠DAC+∠ACE=90°，
∵∠ACG=90°，
∴∠ECG=∠DAC，
∵AD=CE，AC=CG，
∴△ECG≌△DAC(SAS)，
∴EG=CD．

【解析】(1)由(a−3)2+|a+nb|=0，(a−3)2≥0，|a+nb|≥0，可求出a和b的值，即可得到点A和点B的坐标；
(2)证明△ABD≌△CAE，即可证明结论；
(3)连接CG、BG，证明四边形ABGC是正方形，根据题意证明△ECG≌△DAC，即可证明结论．
本题考查了平方运算和绝对值运算的非负性，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，本题的关键是挖掘题目条件，作出辅助线构造全等，从而解决问题．