2023-2024学年湖北省武汉市洪山区培英中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市洪山区培英中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是．( )
A. 1，2，6B. 2，2，4C. 1，2，3D. 2，3，4
2.已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为( )
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
3.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠DAC=( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
4.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC.可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
5.如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A=∠D，BE=CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是( )
A. AB=DEB. AC=DFC. AB//DED. BC=EF
6.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为( )
A. 10B. 20C. 15D. 25
7.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A. 50B. 62C. 65D. 68
8.如图．AD为△ABC的中线．AB=6.AC=3，则AD的长可能是( )
A. 1
B. 1.5
C. 2.7
D. 5
9.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为( )
A. 120°
B. 135°
C. 150°
D. 165°
10.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CBA的外角平分线交AC的延长线于F，交斜边上的高CD的延长线于E，EG//AC交AB的延长线于G，则下列结论：①∠F=∠CEF；②GE=CE；③EF⊥CG其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.四边形的内角和的度数为______．
12.等腰三角形的两边分别4和9.则这个等腰三角形的周长为______．
13.如图，△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB，若∠I=∠130°，则∠A= ______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC.点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E.∠BDC=∠BAC，DE=3，CD=2，则BE的长为______．
15.如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD.若∠B=25°，∠E=30°，则∠D= ______．
16.如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，AC=CE，点M为AE中点．连BM.DM，分别交AC，CE于G.H两点下列结论：①AB+DE=BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH//BD.其中正确的结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形；
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？为什么？
18.(本小题9分)
如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：AD=AE．
19.(本小题9分)
如图，点D，E，C，F在一条直线上，DE=CF，BD/​/AF，BC//AE.求证：BD=AF．
20.(本小题9分)
在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°．
(1)求∠DAC，∠AOB．
(2)直接写出∠AOB与∠C的关系．
21.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠ADC=180°，CE⊥AB于点E．
(1)求证：CB=CD．
(2)若AB+AD=10，求AE长．
22.(本小题9分)
如图，CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，AB与DE交于点M．
(1)求证：AB=DE；
(2)连MC，求证：MC平分∠BMD．
23.(本小题9分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ACD≌△CEB；
②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD−BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
24.(本小题9分)
(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=3，AC=5.求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE=AD，连接BE.利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ，中线AD的取值范围是 ；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN.DM交AB于点M，DN交AC于点N.求证：BM+CN>MN；
(3)问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM，AC=AN，连接MN，请你探索AD与MN的数量与位置关系，并直接写出AD与MN的关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】
解：A、1+2<6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3>4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得：x°+35°+115°=180°．
∴x=30．
故选：B．
根据三角形内角和定理解决此题．
本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠DAB=∠DAC，
∵∠DAB+∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=20°，
故选：B．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠BAC=40°，利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题意得：MC=NC．
在△OMC和△ONC中，
OM=ONOC=OCMC=NC，
∴△OMC≌△ONC(SSS)．
故选：A．
根据全等三角形的判定是解决本题的关键．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C.∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
条件∠B=∠DEF，∠A=∠D，BC=EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D.BC=EF，∠A=∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：C．
求出BC=EF，根据平行线的性质得出∠B=∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为6，
∴DE=6，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DC=DE=6，
∵BD：DC=3：2，
∴BD=62×3=9，
∴BC=BD+DE=9+6=15．
故选：C．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°，∠FEA=∠BAG，根据AAS证△FEA≌△GAB，推出AG=EF=6，AF=BG=3，同理CG=DH=4，BG=CH=3，求出FH=16，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD −S△EFA −S△ABC −S△DHC和面积公式代入求出即可．
【解答】
解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAG=90°，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中，∠F=∠BGA∠FEA=∠BAGAE=AB,
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG=EF=6，AF=BG=3，
同理CG=DH=4，BG=CH=3，
∴FH=3+6+4+3=16，
∴梯形EFHD的面积是12×(EF+DH)×FH=12×(6+4)×16=80，
∴阴影部分的面积是S梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△DHC
=80−12×6×3−12×(6+4)×3−12×4×3
=50．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，如图所示：
则AE=2m，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，
AD=ED∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△ADB≌△EDC(SAS)，
∴EC=AB=6，
在△AEC中，EC−AC即6−3<2AD<6+3，
∴32故选：C．
延长AD至E，使ED=AD，连接CE，则AE=2AD，证△ADB≌△EDC(SAS)，得EC=AB=6，再由三角形的三边关系求出32本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系，证明△ADB≌△EDC是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：延长CB交网格于E，连接AE，
由勾股定理得：AE=AB= 22+12= 5，BC=BE= 12+32= 10，
∴AE2+AB2=BE2，
∴△EAB是等腰直角三角形(∠EAB=90°)，
∴∠EBA=∠AEB=45°，
∴∠ABC=180°−45°=135°，
故选：B．
延长CB交网格于E，连接AE，根据勾股定理求出AE、AB、BE，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△EAB是等腰直角三角形，求出∠EBA=45°即可．
本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出△AEB是等腰直角三角形是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵BF平分∠GBC，
∴∠GBF=∠CBF，
而∠GBF=∠EBD，
∴∠CBF=∠EBD=∠CEF，所以①正确；
∵∠BCA=90°，CD为高，
∴∠F=∠BED，
∴CF=CE，
又∵GE//AF，
∴∠F=∠GEB，
∴∠GEB=∠CEB，
而∠GBF=∠CBF，
∴∠GBE=∠CBE，
BE公共，
∴△BEG≌△BEC(AAS)，
∴GE=CE，所以②正确；
在△EGC中，
EC=EG，BE平分∠CEG，
∴EB垂直平分GC，所以③正确．
故选：C．
由BF平分∠GBC得∠GBF=∠CBF，易得∠CBF=∠EBD，利用等角的余角相等得到∠F=∠BED，利用等腰三角形的性质即可得到①正确；由GE//AF，利用平行线的性质得∠F=∠GEB，则∠GEB=∠CEB，易证△BEG≌△BEC，则GE=CE，即可得到②正确；根据等腰三角形的性质易得EB垂直平分GC，所以③正确；根据垂直平分线的性质得BG=BC，所以④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，且它们的夹边也相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质．
11.【答案】360°
【解析】解：(4−2)×180°=360°，
故答案为：360°．
根据多边形内角和定理：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)，求解即可．
本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：(n−2)⋅180 (n≥3且n为整数)．
12.【答案】22
【解析】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，能构成三角形，则其周长=9+9+4=22．
故答案为：22．
已知了等腰三角形两边长为4和9，但是没有明确腰长和底长，因此要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】80°
【解析】解：∵∠I=130°，
∴∠IBC+∠ICB=180°−∠I=50°，
∵BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠IBC+∠ICB)=100°，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=80°．
故答案为：80°．
在△BCI中利用三角形内角和定理可得出∠IBC+∠ICB，由角平分线的定义可求出∠ABC+∠ACB，再在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠A的大小．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：
则∠AFC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
∠AEB=∠AFC=90°∠ABE=∠ACFAB=AC，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴BE=CF，AE=AF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
AD=ADAF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，
∴DF=DE=3，
∴CF=CD+DF=5，
∴BE=CF=5，
故答案为：5．
方法二：在BD上截取BN=CD，连接AN，设BD交AC于H，如图2所示：
∵∠ABN+∠BAC+∠AHB=180°，∠ACD+∠BDC+∠CHD=180°，∠AHB=∠CHD，∠BDC=∠BAC，
∴∠ABN=∠ACD，
在△ABN和△ACD中，
AB=AC∠ABN=∠ACDBN=CD，
∴△ABN≌△ACD(SAS)，
∴AN=AD，
∵AE⊥BD，
∴NE=DE，
∴BE=BN+NE=CD+DE=2+3=5，
故答案为：5．
方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF(AAS)，得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE(HL)，得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解．
方法二：在BD上截取BN=CD，连接AN，设BD交AC于H，先证明∠ABN=∠ACD，再证明△ABN≌△ACD(SAS)，得出AN=AD，由等腰三角形三线合一的性质得NE=DE，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
15.【答案】35°
【解析】解：设∠BAE=α，∠DCE=β，
∵AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠EAD=∠BAE=α，∠BCE=∠DCE=β，
∵∠B=25°，∠E=30°，
∴∠AHB=180°−(∠B+∠BAE)=180°−(25°+α)=155°−α，∠CHE=180°−(∠E+∠BCE)=180°−(β+30°)=150°−β，
又∵∠AHB=∠CHE
∴155°−α=150°−β，
∴α−β=5°，
∵∠EGA=180°−(∠E+∠EAD)=180°−(30°+α)=150°−α，∠CGD=180°−(∠D+∠DCE)=180°−∠D−β，
又∵∠EGA=∠CGD，
∴150°−α=180°−∠D−β，
∴∠D=30°+α−β=35°．
故答案为：35°．
设∠BAE=α，∠DCE=β，根据角平分线的定义得∠EAD=∠BAE=α，∠BCE=∠DCE=β，由三角形的内角和定理得∠AHB=180°−(∠B+∠BAE)=155°−α，∠CHE=180°−(∠E+∠BCE)=150°−β，再根据对顶角相等得155°−α=150°−β，据此得α−β=5°，同理由三角形的内角和定理得∠EGA=180°−(∠E+∠EAD)=150°−α，∠CGD=180°−(∠D+∠DCE)=180°−∠D−β，再根据对顶角相等得150°−α=180°−∠D−β，据此可得∠D的度数．
此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解角平分线的定义，灵活利用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC=∠ECD，
又∵AC=CE，
∴△ACB≌△CED(AAS)，
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；
如图，连接MC，
∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点，
∴AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，
∴∠BAM=∠MCD，
又∵AB=CD，
∴△ABM≌△CDM(SAS)，
∴∠AMB=∠CMD，BM=DM，
∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC，
∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∵∠AMC=∠GMH=90°，
∴∠AMG=∠CMH，
又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH，
∴△AMG≌△CMH(ASA)，
∴MG=MH，
∴∠MGH=45°=∠MBD，
∴GH/​/BD，故④正确；
故答案为：①②④．
由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+BD=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证GH/​/BD，故④正确；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，
根据题意得，x+2x+2x=20，
解得x=4，
∴底边长为4cm；
(2)能．
理由：若5cm为底时，腰长=12(20−5)=7.5cm，
三角形的三边分别为5cm、7.5cm、7.5cm，能围成三角形，
若5cm为腰时，底边=20−5×2=10，
三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，
∴不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是6cm，腰长是5cm的等腰三角形．
【解析】(1)设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；
(2)分5是底边和腰长两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．
18.【答案】解：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AD=AE．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论．
19.【答案】证明：∵BD//AF，BC/​/AE，
∴∠D=∠F，∠BCD=∠AEF，
∵DE=CF，
∴DC=FE，
在△BCD和△AEF中，
∠D=∠FDC=FE∠BCD=∠AEF，
∴△BCD≌△AEF(ASA)，
∴BD=AF．
【解析】根据平行线的性质得出∠D=∠F，∠BCD=∠AEF，利用ASA证明△BCD≌△AEF，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△BCD≌△AEF是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在△ABC中，AD是高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°−∠C=20°，
∵AE，BF是角的平分线，
∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=12∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C=180°−70°=110°，
∴∠OAB+∠OBA=12×110°=55°，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)=180°−55°=125°；
(2)∠AOB与∠C的关系是：∠AOB=90°+12∠C，理由如下：
由(1)可知：∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，∠BAC+∠ABC=180°−∠C，
∴∠OAB+∠OBA=12(180°−∠C)=90°−12∠C，
∴∠AOB=180°−(∠OAB+∠OBA)=180°−(90°−12∠C)=90°+12∠C．
【解析】(1)根据AD是高得∠ADC=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠DAC的度数；根据角平分线定义得∠OAB=1/2∠BAC，∠OBA=12∠ABC，则∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，再由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC=180°−∠C=110°，则∠OAB+∠OBA=55°，然后再由三角形内角和定理可得出∠AOB的度数；
(2)由(1)可知∠OAB+∠OBA=12(∠BAC+∠ABC)，∠BAC+∠ABC=180°−∠C，进而得∠OAB+∠OBA=90°−12∠C，然后再由三角形内角和定理可得出∠AOB与∠C之间的关系．
此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理，理解三角形的高和角平分线是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，

则∠CFD=90°．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
∴∠CFD=∠CEB．
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF．
∵∠B+∠ADC=180°，∠FDC+∠ADC=180°，
∴∠B=∠FDC．
在△BCE和△DCF中，
∠B=∠CDF∠CEB=∠CFDCE=CF，
∴△BCE≌△DCF(AAS)，
∴CB=CD；
(2)解：由(1)可知，△BCE≌△DCF，
∴DF=BE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC．
在△ACE和△ACF中，
∠EAC=∠FAC∠CEA=∠CFDAC=AC，
∴△ACE≌△ACF(AAS)，
∴AE=AF，
∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE=10，
∴AE=5．
【解析】(1)证明△BCE≌△DCF(AAS)，即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得DF=BE，再证明△ACE≌△ACF(AAS)，得AE=AF，然后证明AB+AD=2AE，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵∠ACD=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠BCA=∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
BC=EC∠BCA=∠ECDAC=DC，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=DE；
(2)过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，

∵△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠D，AC=DC，
∵∠AGC=∠DHC=90°，
在△AGC和△DHC中，
∠A=∠D∠AGC=∠DHCAC=DC，
∴△AGC≌△DHC(AAS)，
∴CG=CH，
∴MC平分∠BMD．
【解析】(1)根据SAS证明△ABC和△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
(2)根据AAS证明△AGC和△DHC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABC和△DEC全等解答．
23.【答案】(1)证明：①∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
②由①△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
(2)证明：在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE−CD=AD−BE；
(3)解：DE=BE−AD．
易证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD−CE=BE−AD．
【解析】(1)①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB；
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD；
(2)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE−CD=AD−BE；
(3)DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE−AD.证明的方法与(2)相同．
本题考查了几何变换，掌握旋转的性质，直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】SAS 1【解析】(1)解：如图1，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴EB=AC=5，
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：BE−AB即2∵AE=2AD
2<2AD<8，
∴1故答案为：SAS，1(2)证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDN中，
ND=NF∠BDF=∠CDNCD=BD，
∴△BFD≌△CND(SAS)，
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，FD=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF，
∴BM+CN>MN；
(3)解：结论：2AD=MN，AD⊥MN，
如图3，延长AD于E，使得ED=AD，连接BE，延长DA交MN于F，
∵点D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，
BD=CD∠BDE=∠CDAAD=ED，
∴△CDA≌△BDE(SAS)，
∴BE=AC，∠ACD=∠EBD，
∵∠MAN+∠MAB+∠BAC+∠CAN=360°，∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠MAN+∠CAB=180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠MAN=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBD=∠ABE，
在△MAN和△ABE中，
AM=AB∠MAN=∠ABEAN=BE，
∴△ABE≌△MAN(SAS)，
∴MN=AE=2AD，∠BAE=∠AMN，
∵∠MAF+∠MAB+∠BAE=180°，∠MAB=90°，
∴∠MAF+∠BAE=90°，
∴∠MAF+∠AMN=90°，
∴AF⊥MN，
即AD⊥MN．
(1)通过证明△ADC≌△EDB，得到EB=AC=5，在△ABE中，根据三角形三边关系可得：BE−AB(2)延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，通过证明△BFD≌△CND(SAS)，得到BF=CN，由DM⊥DN，FD=ND，得到MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF>MF；
(3)延长AD于E，使得ED=AD，连接BE，延长DA交MN于F，证明△CDA≌△BDE(SAS)得到BE=AC，∠ACD=∠EBD，证明△ABE≌△MAN(SAS)得到MN=AE=2AD，∠BAE=∠AMN，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到AD⊥MN．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．