南京市六合区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份南京市六合区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数是二次函数的是（）
A．y＝2xB．C．D．
2．抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（）
A． B． C． D．1
3．一组数据，，，，中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
4．如图，，则下列比例式成立的是（）
A．B．C．D．
5．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（）
A．B．或C．D．或
6．如图，分别是内接正十边形和正五边形的边，交于点P，则的度数为（）
A．126°B．127°C．128°D．129°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．方程的根是________．
8．若，则值为__________．
9．二次函数图象的顶点坐标为________．
10．已知C是线段AB黄金分割点，，若，则的长为______．（结果保留根号）
11．设，是关于x的方程的两个根，且，则k的值为______．
12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是_____．
13．如图，切于点B，交于点A，若，，则的半径为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
15．平面内有一点P和线段，连接，若，则点P到的最大距离为______．
16．如图，在中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A—B—C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共______秒．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）；（2）．
18．小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排．
（1）数学老师站在中间的概率是______；
（2）求小明与数学老师相邻的概率．
19．甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示．
（1）甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是______分、______分；
（2）利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性；
（3）结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论．
20．如图，的弦，的延长线交于点P，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，．求的长．
21．已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，y的取值范围是______．
（3）将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
22．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，交于点G．
（1）若，求证；
（2）若E，F分别是，的中点，则的值为______．
23．如图，用长度均为的两根绳子分别围成矩形和扇形，设的长为，半径为，矩形和扇形的面积分别为，．
（1）的长为______，的长为______；（用含x或R的代数式表示）
（2）求，的最大值，并比较大小．
24．在同心圆中，大圆弦交小圆于C，D两点．
（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________．
（2）如图②，大圆另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证．
25．如图，在中，，点E，F分别在边，上，，以为直径的与相切于点D，连接，，．
（1）求证：①；
②．
（2）若，，则的长为______．
26．已知二次函数．
（1）求证：该二次函数图像与x轴总有两个公共点；
（2）当时，该二次函数图像顶点的纵坐标的最小值是______．
（3）若该二次函数图像的对称轴为直线，当时，结合图像，直接写出m的取值范围．
27．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
（1）如图①，是的角平分线，求证．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，是的弦，在上作出点P，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，是的角平分线，若，则的面积最大值是______．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．C
【解析】利用二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，进而判断得出即可。
【详解】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，
所以概率为 ．
故选A．
【点睛】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是得到至少有一次硬币正面朝上的情况数．
3．B
【解析】
【分析】根据最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，据此即可求解．
【详解】解：依题意，最后一个数字一定是个2位数，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，而平均数，众数，极差都要知道最后一个数，
故这组数据不受影响的统计量是中位数，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，极差，掌握以上知识是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】根据平行线分线段比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段比例定理，解题的关键是掌握这个定理，根据平行的条件得到对应的线段成比例．
5．D
【解析】
【分析】求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为，
由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上，
由图可知，当或时，对应的y值小于3，
因此的解集为：或．
故选D．
【点睛】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，解题的关键是利用二次函数图象的对称性求出点关于对称轴的对称点．
6．A
【解析】
【分析】连接，首先根据正多边形和圆的性质求出，，然后根据圆周角定理得到，，最后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别是的内接正十边形和正五边形的边，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了正多边形和圆的知识，圆周角定理，三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
详解】解：，
∴，
即，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．若，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据比例的性质变形即可．
【详解】∵，
∴=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）．
9．（1,2）
【解析】
【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
10．
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为．
11．0
【解析】
【分析】根据根与系数的关系求得，将代入求出k的值即可．
【详解】解：根据题意，知
将代入得，．
故答案是：0．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
12．180°
【解析】
【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵圆锥底面半径是3，
∴圆锥的底面周长为6π，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n°，
=6π，
解得n=180．
故答案为180°．
【点睛】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
13．1.5
【解析】
【分析】连接，在中用勾股定理列式求解即可．
【详解】解：如图，连接
切于点B，
设半径为
在中，
即：
解得：
故答案为1.5
【点睛】本题考查了切线的性质，连接半径，构造直接三角形是解题关键．
14．6
【解析】
【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．
【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得
得
点B的横坐标是6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．
15．##
【解析】
【分析】根据题意，作的外接圆O，过点P作于点M，连接，，根据圆周角定理及得出，确定当经过圆心O时，的值最大，即点P到的距离最大，最大距离为此时线段的长，利用等边三角形的判定及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，作的外接圆O，过点P作于点M，连接，，
∵，
∴P点在优弧（不含端点）上运动，，
当经过圆心O时，的值最大，即点P到的距离最大，最大距离为此时线段的长，
此时，，，
∴是等边三角形，
∴，
中，由勾股定理，得
，
∴，
点P到最大距离为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查三角形与圆的综合问题，包括圆周角定理，垂径定理，勾股定理解三角形及等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
16．##
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出，设点P的运动时间为t秒，然后分两种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，结合相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
设点P的运动时间为t秒，则秒，秒，
当点P在边上时，，如图，过点P作，垂足分别为点D，E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
同理，
∵以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点，
∴，
即，
解得：，
此时以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间为秒；
当点P在边上时，，如图，过点P作，垂足为点F，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点，
∴且或
∴且或，
解得：或，
此时以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间为秒；
综上所述，以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共秒．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1），（2），
【解析】
【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
，．
【小问2详解】
解：
，
，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和配方法求解一元二次方程是解答本题的关键．
18．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中数学老师站在中间的结果有2种，然后利用概率公式求解即可；
（2）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中小明与数学老师相邻而站的结果有4种，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，小明、小红和数学老师3人随机站成一排，共有6种等可能性结果：
（小明，小红，老师）、（小明，老师、小红）、（小红，小明，老师）、（小红，老师，小明）、（老师，小明，小红）、（老师，小红，小明），
其中满足“数学老师站在中间”（记为事件）的结果有2种，
所以，数学老师站在中间的概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）可知，3人随机站成一排，共有6种等可能性结果，
其中满足“小明与数学老师相邻而站”（记为事件）的结果有4种，
所以，小明与数学老师相邻的概率．
【点睛】本题主要考查了概率的简单应用，正确理解题意并掌握简单概率的计算公式是解题关键．
19．（1）80，80
（2），，可知，甲同学的成绩更加稳定
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求出答案；
（2）根据方差的计算方法，即可求出方差，根据方差的大小，即可判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性；
（3）利用极差，也可以判断出这两名同学该项测试成绩的稳定性．
【小问1详解】
，
，
故答案为：80；80．
【小问2详解】
方差分别是：
由可知，甲同学的成绩更加稳定．
【小问3详解】
甲同学的极差为：（分），乙同学的极差为：（分）
∵
∴从极差的角度判断甲同学的测试成绩更稳定．
【点睛】本题考查了平均数、方差，牢记平均数、方差的计算公式和意义是解题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质得出，代入数据求出，再根据线段之间的关系即可得出结果．
小问1详解】
证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
21．（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据（－1，0），（1，0）两点可得顶点坐标为（0，2），设顶点式代入点坐标即可；
（2）求出对称轴，判断出对称轴在内，故在对称轴处取最大值，端点处取最小值；
（3）图像沿直线x＝1翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可．
【小问1详解】
解：根据题意，可得图像顶点坐标为（0，2），设二次函数的表达式为．
将（1，0）代入，求得，
∴．
【小问2详解】
解：对称轴为轴，且开口向下
当时，有最大值2（能取到）
当时，有最小值（取不到）
y的取值范围是：
【小问3详解】
解：顶点坐标变为
所以表达式为：
（或，）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键．
22．（1）见解析（2）4
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质证明，通过三角形内角和定理即解得．
（2）作，证明，根据形似比求得，再证明，即可解得．
【小问1详解】
∵在矩形中，
，．
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
即．
【小问2详解】
作，
∵，
∴
∴，
又∵E是的中点，
∴，
∴，
又∵F是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了三角相似，解题的关键熟悉三角形相似的证明及相似比的应用．
23．（1），．
（2）有最大值9，有最大值9，的最大值的最大值
【解析】
【分析】（1）根据长方形的周长与边的关系，和扇形周长与半径的关系即可得到答案；
（2）根据长方形和扇形的面积公式表示出面积，再根据函数关系式计算出最大值即可．
【小问1详解】
由题意可知，的长为，的长为
故答案为：，．
【小问2详解】
，
∵，∴当时，有最大值9．
，
∵，∴当时，有最大值9．
∴的最大值的最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，扇形的面积计算，正确的理解题意是解题的关键．
24．（1）4（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；
（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．
【小问1详解】
连接，，过点作，则为，的中点，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【小问2详解】
过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，
∴，
连接、、、，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．
25．（1）①见解析；②见解析（2）
【解析】
【分析】（1）①连接，根据切线的定义可得，再根据平行线的定义可得，即可得出是的垂直平分线，即可求证；②根据同弧所对的圆周角相等可得，，再结合平行线的性质，进而得出，，即可求证；
（2）过点C作于点H，交于点G，用等面积法求出，即可求出，再根据得出，最后根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【小问1详解】
①证明：连接．
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
②证明：∵，，
∴，．
∵，
∴，．
∴，．
∴．
【小问2详解】
过点C作于点H，交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握切线的判定方法，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质．
26．（1）见解析（2）2（3）或
【解析】
【分析】（1）令，证明判别式大于0．
（2）求出抛物线的顶点坐标的纵坐标，根据不等式的性质求出顶点坐标纵坐标的最小值即可；
（3）分和两种情况，结合对称轴方程列出m的不等式组便可求得结果．
【小问1详解】
根据题意，当y＝0时，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴该二次函数图像与x轴总有两个公共点．
【小问2详解】
二次函数的顶点坐标为，即
又
，则，
∵
当时，取等号，即
故纵坐标最小值为2；
小问3详解】
当时，抛物线开口向上，对称轴为
，
∴，
∴
∵
∴；
当时，抛物线开口方向向下，对称轴为；
，
∴
综上所述，的取值范围是或
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，根的判别式，熟知二次函数的性质是解题的关键．
27．（1）见解析（2）见解析（3）3
【解析】
【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论；
小红思路，作，利用面积法即可证明结论；
（2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；
（3）作的外角平分线，交的延长线于D，可得，，从而求得，即的半径为，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：小明思路：过点B作交的延长线于点D，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴．
∴；
【小问2详解】
解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交点E，
由垂径定理得，
②再作线段的垂直平分线，交弦于点C，
③连接并延长交点P，
点P即为所求；
∵，
∴平分，
∵，
∴，
由（1）的结论得，
同理，点也为所求；
【小问3详解】
解：如图，
作的外角平分线，交的延长线于D，
点P在以为直径的圆上，当P运动到点，时，的面积最大，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即的半径为，
的面积最大值为，
故答案为3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件等知识，解决问题的关键是掌握“阿氏圆”模型。