2022-2023学年江苏省南京市六合区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市六合区九年级上学期数学期中试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
【详解】解：根据一元二次方程定义可知：
A. ，是关于x的一元一次方程，不符合题意；
B. ，为二元二次方程，不符合题意；
C. ，是分式方程，不符合题意；
D. ，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．
2. 若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入已知方程得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为1，代入方程是解决问题的关键．
3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4. 如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据得到三角形是等腰三角形，即，从而求得即可得出的度数．
【详解】解：如图所示：连接CD，
∵在中，
即的度数是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，解题时，综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
5. 如图，C是的中点，弦，且，则所在圆的半径为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设所在圆的圆心为O，连接，，由垂径定理证明O、C、D三点共线，则，在中由勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设所在圆的圆心为O，连接，，
∵C是的中点，
∴，
∵，
∴O、C、D三点共线，
∴，
∴，
在中由勾股定理得：，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6. 如图，点A，B，C在上，，，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径．
【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结．
∵ ，，
∴，，
又∵ ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是证明是等腰直角三角形．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 方程的根为__．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法即可求解．
【详解】原方程可化为：，
或，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取适当的方法是关键．
8. 已知⊙的半径为，线段OP的长为，则点在⊙___________（填“内”、“外”或“上”）．
【答案】内
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：⊙的半径为，线段的长为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
点在⊙内．
故答案为：内 ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点P在圆外；点在圆上；点在圆内．
9. 若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）．
【答案】2（答案不唯一，m大于1即可）
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出m的取值范围，取其内的任意一数即可．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为：2（答案不唯一，m大于1即可）．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝ ________°
【答案】25
【解析】
【详解】试题分析：根据圆周角定理和直角三角形两锐角互余解答．
试题解析：∵CD∥AB，
∴∠ADC=∠BAD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=∠BAD=90°-∠ABD=25°．
考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．
11. 如图，，是的弦，，是的切线．若，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质得出，根据四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵,，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和，掌握以上知识是解题的关键．
12. 某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设七、八月份口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13. 已知a，b是方程的两个根，则的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】由根与系数的关系得，，然后整体代入即可．
【详解】，是方程的两个根，
，，
，
故答案为：，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，运用了整体思想，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
14. 用半径为30，圆心角为120°扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，
则，
解得：，
故圆锥的底面半径为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大．
15. 若关于的一元二次方程的两根分别为、，则方程 的根为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；
【详解】解∵关于的一元二次方程的两根分别为、
∴函数与轴的交点为 ，
函数是由函数向右平移一个单位长度得到；
∴函数与轴的交点为 ，
∴关于方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
16. 如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是4，则长的最小值为____．
【答案】##
【解析】
【分析】延长交圆于点，连接，，过点作交于点，则是等边三角形，再确定点在以为圆心，为半径的圆上，则的最小值为点C到圆E上一点的距离最小值，再求解即可．
【详解】解：延长交圆于点，连接，，过点作交于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，解题的关键是根据定角定弦确定点的轨迹．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据配方法可进行求解方程；
（2）先移项，然后根据因式分解法可进行求解方程．
【小问1详解】
解：
∴；
【小问2详解】
解：
∴或，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18. 关于x的方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出m的值并求此时方程的根．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式，即可证得；
(2)首先根据一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∵无论m取何值时，恒大于或等于0，
∴原方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
将代入原方程得，
得，
解得，
∴原方程的根为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解法是解决本题的关键．
19. 如图，的弦相交于点E，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20. 证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．已知：如图，是的直径， 是的弦，___________．
求证：___________．
证明：___________
【答案】 ，垂足为；，，；证明见解析
【解析】
分析】根据命题，补全条件、结论以及推导过程即可；
【详解】已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
，垂足为；
求证：，，
证明：连接;
在中，



∴，
【点睛】本题考查了命题推导的过程，垂径定理；以已知的基本事实、定理为依据推导出结论是解题的关键．
21. 某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加，求的值．
【答案】或
【解析】
【分析】根据“改造后的面积比原来增加”，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得，
整理，得，
解得．
答：的值为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22. 如图，在中，，与相切，且与相切于点C．
（1）用直尺与圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，则的半径为_______
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作的平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作，则与，都相切；
（2）根据切线的性质和勾股定理，结合三角函数即可求的长．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
连接，
与相切于点，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
23. 如图，在中，平分平分的延长线交的外接圆于点D，连接．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平分平分，可得．从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求证．
【详解】证明：∵平分平分，
∴．
∴和所对的圆心角相等．
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是___________；
① ② ③
（2）若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________；
（3）若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值．
【答案】（1）③ （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；
（2）设关于x的方程的两个根为，然后根据“三倍根方程”可令，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；
（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．
【小问1详解】
解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义；
故答案③；
【小问2详解】
解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，，
令，则有，
∴，，
∴；
小问3详解】
解：由可得：，
∴，
令，则有：
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
25. 某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双． 假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若想平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
【答案】230或280元
【解析】
【分析】设每双球鞋降价x元，每双鞋利润为销量为从而可得方程，列出即可求解．
【详解】解：设每双球鞋降价x元，
由题意，得
整理，得
解得
∴定价为（元）
（元）
∴每双球鞋定价为230或280元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的已知条件，找出合适的等量关系，列出方程，即可求解．
26. 在四边形中，，E是上一点，以为直径的经过B，D两点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）连接并延长交AB于点F，连接，．利用等弧所对的弦相等推出,再结合证明是垂直平分线，得出，，进而证明四边形是矩形，推出，即可证明是的切线；
（2）先证是的中位线，推出，设的半径为r，用勾股定理解得，解得，两式联立解出r，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：连接并延长交于点F，连接，．
∵，
∴,
又∵，
∴O、D都在的垂直平分线上．
∴是垂直平分线，
∴，．
∵为的直径，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形．
∴．
又∵点D上，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵， ，
∴是的中位线，
∴．
设的半径为r，
在中，，
在中，；
∴，
解得，（舍去）．
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，矩形的判定与性质，切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理解直角三角形等知识点，涉及知识点比较多，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识．
27. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
【特殊情形】
（1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．
【一般情形】
（2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：．
【经验迁移】
（3）如图③， ， ， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可；
（2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可；
（3）根据条件分析出当时，AM取最小值，利用含直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时AM的长度．
【小问1详解】
在⊙O中，，
OF是△ADB的中位线，
∵BD为⊙O的直径，，

【小问2详解】
作直径DG，连接AG．
在⊙O中，


OF是△ADG的中位线，


DG是⊙O的直径，
，

．
【小问3详解】

在中，，，M是DF的中点，
如图⑤所示，当AF的长度发生变化时：
点M是DF中点
点M始终保持在平行于AF的直线上
当AM的长度取最小值时，
如图④，此时，取AD中点H，连接MH，则
H、M分别是AD、DF中点
MH是的中位线，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键．