10-专项素养综合全练（十）平行线中常见的辅助线 ——2024年苏科版数学七年级下册精品同步练习
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专项素养综合全练(十)平行线中常见的辅助线类型一 构造截线1.如图,若MN⊥AB,∠ABC=130°,∠FCB=40°,试判断直线MN与EF的位置关系,并说明理由.2.小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图所示的零件,要求AB∥CD,∠BAE=35°,∠AED=90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°,∠AED=90°,∠EDC=55°后,就说AB与CD肯定是平行的,你知道什么原因吗?3.【一题多解】如图,∠BED=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.4.如图所示,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE.求证:∠BFE=∠FEC.类型二 连接两点5.如图所示,已知AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于( )A.180° B.360° C.540° D.720°类型三 过“拐点”作平行线6.(2023湖北鄂州中考)如图,直线AB∥CD,GE⊥EF于点E.若∠BGE=60°,则∠EFD的度数是( )A.60° B.30° C.40° D.70° 7.如图所示,AB∥EF,∠B=35°,∠E=25°,则∠C+∠D等于 . 8.如图所示,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数.9.(2023江苏南通启东期中)(1)如图①,∠CEF=90°,点B在射线EF上,若∠ABF=50°,∠C=40°,请说明AB∥CD的理由;(2)如图②,∠CEF=120°,点B在射线EF上,且AB∥CD,请写出∠ABE与∠C的数量关系,并说明理由. 10.(1)如图1,AB∥CD,则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系?(2)如图2,若AB∥CD,你能得到什么结论? 11.已知AB∥CD,点P为平面内一点,连接AP、CP.(1)探究:①如图a,若∠PAB=145°,∠PCD=135°,则∠APC的度数是 ; ②如图b,若∠PAB=45°,∠PCD=60°,则∠APC的度数是 . (2)拓展探究:当点P的位置如图c、图d所示时,请分别直接写出∠APC,∠PAB,∠PCD之间的数量关系.图a 图b 图c 图d类型四 其他类型12.如图所示,已知CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC,试判断AB与GF的位置关系,并说明理由. 答案全解全析1.解析 直线MN与EF互相平行.理由:如图,延长AB交EF于D.∵∠ABC=130°,∠FCB=40°,∴∠ADC=∠ABC-∠BCD=130°-40°=90°.∵MN⊥AB,∴∠MGD=90°,∴∠MGD=∠GDC,∴MN∥EF.2.解析 如图,延长AE交DC于M.∵∠AED=90°,∠EDC=55°,∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°.∵∠BAE=35°,∴∠BAE=∠AMD,∴AB∥DC.3.解析 AB∥CD.理由如下:解法一:如图,连接BD.因为∠1+∠2+∠E=180°,∠E=∠3+∠4,所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即∠ABD+∠CDB=180°.所以AB∥CD.解法二:如图,延长BE交CD于F.∵∠BED=∠B+∠D,∠BED=∠EFD+∠D,∴∠B=∠EFD,∴AB∥CD.4.证明 如图,延长BF交DC的延长线于H.∵AB∥CD,∴∠ABF=∠H.∵∠ABF=∠DCE,∴∠H=∠DCE,∴BH∥CE,∴∠BFE=∠FEC.5.C 如图,连接AF,AC.∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°.又∵∠E+∠EAF+∠AFE=180°,∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°,∴∠BAC+∠ACD+∠E+∠EAF+∠AFE+∠AFC+∠FAC+∠ACF=∠BAE+∠E+∠EFC+∠FCD=540°.6.B 如图,过点E作直线HI∥AB.∴∠BGE=∠GEH=60°,∴∠HEF=∠GEF-∠GEH=90°-60°=30°.∵AB∥CD,AB∥HI,∴CD∥HI,∴∠EFD=∠HEF=30°.故选B.7.答案 240°解析 如图所示,过C作CG∥AB,过D作DH∥EF.∵AB∥EF,∴AB∥EF∥CG∥DH,∴∠1=∠B=35°,∠2=∠E=25°,∠GCD+∠HDC=180°,∴∠BCD+∠CDE=35°+180°+25°=240°.8.解析 如图,过点C作FG∥AB,∴∠B=∠BCF=80°,∵FG∥AB,AB∥DE,∴FG∥DE,∴∠CDE+∠DCF=180°,∵∠CDE=140°,∴∠DCF=180°-140°=40°,∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°.9.解析 (1)证明:如图①,过点E作EN∥AB.则∠FEN=∠ABF=50°,∴∠NEC=90°-∠FEN=90°-50°=40°.∵∠C=40°,∴∠NEC=∠C,∴NE∥CD,∴AB∥CD.(2)数量关系为∠ABE-∠C=60°,理由如下:如图②,过点E作EN∥AB.则∠ABE+∠FEN=180°,∴∠FEN=180°-∠ABE.∵AB∥CD,EN∥AB,∴EN∥CD,∴∠NEC=∠C.∵∠FEC=∠FEN+∠NEC=∠FEN+∠C=120°,∴∠FEN=120°-∠C,∴180°-∠ABE=120°-∠C,∴∠ABE-∠C=60°.10.解析 (1)如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,过点G作GH∥CD.∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD,∴∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D,∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D,即∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D.(2)与(1)同理可得∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D=∠E1+∠E2+…+∠En.11.解析 (1)①如图a,过点P作PE∥AB,图a∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE+∠PAB=180°,∠CPE+∠PCD=180°.∵∠PAB=145°,∠PCD=135°,∴∠APE=35°,∠CPE=45°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=80°.故答案为80°.②如图b,过点P作PE∥AB.图b∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠PAB=45°,∠CPE=∠PCD=60°.∴∠APC=∠APE+∠CPE=105°.故答案为105°.(2)题图c中,∠APC=∠PCD-∠PAB;题图d中,∠APC=∠PAB-∠PCD.12.解析 AB∥GF.理由:如图,过点B作HM∥CD,交GF于M.∵BM∥CD,∴∠2=∠CBH.∵∠ABC=∠CBH+∠ABH,∴∠ABC=∠2+∠ABH.∵∠ABC=∠1+∠2,∴∠1=∠ABH.∵CD∥EF,HM∥CD,∴HM∥EF,∴∠BMG=∠1,∴∠ABH=∠BMG,∴AB∥GF.
