专题11.9 期末复习之解答压轴题专项训练-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）

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考点1
一元一次方程解答期末真题压轴题
1．（2022春·四川巴中·七年级统考期末）如图，A、B两点在一数轴上，其中点O为原点，点A对应的有理数为−2，点B对应的有理数为20．点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒t>0．
(1)当t=3时，点A表示的有理数为___________，A、B两点的距离为___________；
(2)若点B同时以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过几秒，点A与点B相遇；
(3)在（2）的条件下，点M（M点在原点）同时以每秒4个单位长度的速度向右运动，几秒后MA=2MB？
2．（2022秋·四川成都·七年级统考期末）成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购100个足球，x个排球（x＞50）．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．
（1）请用含x的代数式分别表示出购买A、B公司体育用品的费用；
（2）当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，求此时x的值；
（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个．在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表：
若学校要满足600名学生同时训练，计划拨出10500元经费采购这批足球与排球，这批经费够吗？若够，应在哪家公司采购？若不够，请说明理由．
3．（2022秋·四川广安·七年级四川省广安花桥中学校校考期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
4．（2022秋·四川成都·七年级统考期末）2019年底，我国高铁总运营里程达3．5万公里，居世界第一．已知A,B两市之间开通了“复兴号”与“和谐号”高铁列车．某日“和谐号”列车以每小时200km的速度匀速从A市驶向B市，1小时后“复兴号”列车以每小时300km的速度也匀速从A市驶向B市．
（1）试问：“复兴号”列车出发多少小时后，两列车的车头相距50km；
（2）若“复兴号”与“和谐号”列车的车长都为200m，从“复兴号”列车的车头追上“和谐号”列车的车尾开始计时，直到“复兴号”列车刚好完全超过“和谐号”列车为止，共持续了多长时间？
5．（2022春·四川攀枝花·七年级统考期末）如图，用8块相同的小长方形拼成一个宽为8cm的大长方形，求大长方形的面积.
6．（2022秋·河南开封·七年级校联考期末）图中的数阵是由全体正奇数排成的．
（1）通过计算说明，图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在图中任意作一个类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由．
（3）在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2016吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
（4）在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2079吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．
7．（2022秋·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．
（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；
（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32c2-d）的值；
（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x−92=9×2020﹣2020t+x，与4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x，是否为“差半点方程”，并说明理由．
8．（2022秋·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．
（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？
（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
9．（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
（1）设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
（2）当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
（3）若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？
（4）在（3）的条件下，当乙第一次追上甲后继续跑步，则最少再经过a秒乙又追上甲，这时两人所处的位置在点P；直接写出a的值，在图中标出点P，不要求书写过程．
10．（2022春·河南周口·七年级统考期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x-3|=2．
解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；
当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．
所以原方程的解是x=5或x=1．
（1）解方程：|3x-2|-4=0．
（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1
考点2
一次方程组解答期末真题压轴题
1．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x−y=5①，2x+3y=7②，求x−4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x−y=_______，x+y=_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=_______．
2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
3．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）阅读下列材料：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，由2，3互质，可知：x为3的倍数，将x=3，代入得y=4−23x=2．所以2x+3y=12的一组正整数解为x=3y=2．
问题：
（1）请你直接写出方程3x−y=6的一组正整数解_______；
（2）若12x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．
4．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
5．（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）甲、乙两位同学在解方程组ax+3y=1①bx−4y=1② 时，甲把字母a看错了得到方程组的解为x=2y=−74；乙把字母b看错了得到方程组的解为x=2y=−1．
（1）求a，b的正确值；
（2）求原方程组的解．
6．（2022春·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期末）当a，b都是实数，且满足2a−b=6，就称点Pa−1,b2+1为“完美点”．
(1)判断点A2,3是否为“完美点”，并说明理由．
(2)已知关于x，y的方程组x+y=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点Bx,y是“完美点”，请说明理由．
7．（2022春·福建莆田·七年级校联考期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2．所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解___________．
（2）若6x−3为自然数，则求出满足条件的正整数x的值．
（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值．
8．（2022春·福建·七年级校考期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x−y=3k−22x+y=1−k（k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m=2x−3y，且m为正整数，求m的值．
9．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
10．（2022春·四川遂宁·七年级统考期末）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．
(1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；
(2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；
(3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式(mn+m)2−9(mn+n)2−32（m−n)的值．
考点3
一元一次不等式解答期末真题压轴题
1．（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“相依方程”．
(1)在方程①6(x+2)−(x+4)=23；②9x−3=0；③2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+13(x−2)−x≤4的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−1的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>mx−m≤2m+1的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
2．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x例如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
试解决下列问题：
(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．
3．（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期末）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．
①请完成下列表格：
②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 ，此时能制作横式箱子 只．
4．（2022·四川内江·七年级校考期末）【发现问题】已知{3x+2y=4①2x−y=6②，求4x+5y的值．
方法一：先解方程组，得出x，y的值，再代入，求出4x+5y的值．
方法二：将①×2−②，求出4x+5y的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①×m+②×n，可得(3m+2n)x+(2m−n)y=4m+6n．
令等式左边(3m+2n)x+(2m−n)y=4x+5y，比较系数可得{3m+2n=42m−n=5，求得{m=2n=−1．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求4x+5y的值；
（2）对于方程组{3x+2y=42x−y=6利用方法二的思路，求7x−7y的值；
【迁移应用】
（3）已知{1≤2x+y≤24≤3x+2y≤7，求x−3y的范围．
5．（2022春·四川南充·七年级南充市第十中学校校考期末）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组3x+2y=k+14x+3y=k−1中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组2x−63>x−3x+32≤x−a的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
6．（2022春·四川乐山·七年级校考期末）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．
问题：实数x，y满足x−y=2，x+y=a，且x>1，y<0，求a的取值范围．
解：列关于x，y的方程组{x−y=2x+y=a，解得{x=a+22y=a−22，又因为x>1，y<0，所以{a+22>1a−22<0，解得______；
（2）已知x−y=4，且x>3，y<1，求x+y的取值范围；
（3）若a，b满足3a2+5|b|=7，S=2a2−3|b|，求S的取值范围．
7．（2022春·四川攀枝花·七年级统考期末）已知关于x的不等式a+3bx>a−b的解集为x<−53 ，求关于x的一元一次不等式bx−a>0的解集．
8．（2022春·四川宜宾·七年级统考期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数.例如：[4.5]=4，[8]=8，[−3.2]=−4.
（1）填空：[π]=________，[−2.1]+5=________；
（2）如果[5−2x3]=−4，求满足条件的x的取值范围；
（3）求方程4x−3[x]+5=0的整数解.
9．（2022春·四川宜宾·七年级统考期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
10．（2022春·四川宜宾·七年级校联考期末）阅读下列材料：
解答“已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：因为x−y=2，所以x=y+2，又因为x>1，所以y+2>1，所以y>−1，所以−1请仿照上述解法，完成下列问题：
（1）已知x−y=3，且x>2，y<1，则x+y的取值范围是多少．
（2）已知y>1，x<−1，若x−y=a，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
考点4
多边形解答期末真题压轴题
1．（2022春·四川成都·七年级校考期末）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：
②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
2．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O．
（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为 ；
（2）点D在BA，AC边上运动．
①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC；
②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系．
3．（2022春·四川成都·七年级校考期末）在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BC上．
（1）如图，点E在线段AC上，∠ADE=∠AED，求证：∠BAD=2∠CDE．
（2）如图，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，∠ABC与∠AQH的角平分线交于点P，求证：2∠P=3∠BFQ．
（3）如图，在（2）的条件下，点F在线段BD上，∠P=18°时，求∠BFQ的度数．
4．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”.其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
(1)如图①，∠ABC=60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE= ______ °；
(2)如图②，在△ABC中，∠A=60°，∠B=48°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC= ______ °；
(3)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；
(4)【延伸推广】
在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A=m°，∠B=n°，直接写出∠BPC的度数.(用含m、n的代数式表示)
5．（2022春·福建南平·七年级统考期末）根据题意解答：
(1)如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为β度，求∠GFB的度数（用关于β的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1+∠2的度数，并说明理由．
(3)如图3，若∠3=30°，∠5=50°，∠7=60°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=__________度．
6．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．
(1)求∠BDC的度数；
(2)试比较DA+DB+DC与12AB+BC+AC的大小，写出推理过程．
7．（2022·江苏无锡·七年级统考期末）已知M、N直线l上两点，MN＝20，O、P为线段MN上两动点，过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF（如图），其中，两边OA、PF分别在直线l上，图形在直线l的同侧，且OA＝PF＝4，CO＝DP＝3，动点O从点M出发，以1单位/秒的速度向右运动；同时，动点P从点N出发，以2单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）若t＝2.5秒，求点A与点F的距离；
（2）求当t为何值时，两长方形重叠部分为正方形；
（3）运动过程中，在两长方形没有重叠部分前，若能使线段AB、BC、AF的长构成三角形，求t的取值范围．
8．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期末）已知△ABC中，AD是BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
(1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数；
(2)如图2，EP、CP分别平分∠AEC和△ACB的外角∠ACM，请直接写出∠P与∠BAC的数量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作PG⊥BC交BC延长线于G，若∠EAD=∠CAD=2α，且∠B+∠CPE=107∠CPG，PH⊥AB交BA的延长线于H，求∠EPH的度数．
9．（2022春·浙江衢州·七年级校考期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°，将图1中的三角板OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转α°．（0°＜α°＜180°）．
(1)当∠AOM＝105°时，求旋转角的度数．
(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．
(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若∠CEN=β°时，试探究α与β的数量关系，并直接写出结论．
10．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题再现】
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠A=40°，则∠BPC=______°；
【问题解决】
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=100°，求∠BPC的度数；
【问题推广】
(3)如图3，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=82°，直接写出∠PBH=______°；
【拓展提升】
(4)在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在射线DE上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF=α，∠DCF=β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
考点5
轴对称、平移与旋转解答期末真题压轴题
1．（2022秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）已知∠AOB=90°，射线OC、OD在∠AOB的内部（OC与OD不重合），且∠AOC=∠BOD．将射线OA沿直线OC翻折，得到射线OA′；将射线OB沿直线OD翻折，得到射线OB′（OA′与OB′不重合）．
(1)如图①，若∠AOC=40°，则∠COD=______°，∠A′OB′=______°；
(2)若∠COD=40°，请画出不同情形的示意图，并分别求出∠A′OB′和∠AOC的度数；
(3)设0°<∠AOC<60°，请直接写出∠COD与∠A′OB′之间的数量关系及相应的∠AOC的取值范围．
2．（2022秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）
(1)如图2，当OE、OF重合时，∠COD=_______°；
(2)当t=10时，∠EOF=_______°，当t=12时，∠EOF=_______°；
(3)如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP=70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值
3．（2022春·山西·七年级统考期末）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形；
（4）在图4中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD=4．
4．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）问题提出：
如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
a．每次只能移动1个金属片；
b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？
问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．
探究一：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号1,3表示，共移动了1次．
探究二：当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
a．把第1个金属片从1号针移到2号针；
b．把第2个金属片从1号针移到3号针；
c．把第1个金属片从2号针移到3号针．
用符号表示为：1,2，1,3，2,3．共移动了3次．
探究三：当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：
a．把上面两个金属片从1号针移到2号针；
b．把第3个金属片从1号针移到3号针；
c．把上面两个金属片从2号针移到3号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：
1,3，1,2，3,2，1,3，2,1，2,3，1,3．共移动了7次．
（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________．
（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当n=5时，需要移动________次．
（3）探究六：把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．
（4）探究七：如果我们把n个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为an，当n≥2时如果我们把n−1个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为an−1，那么an与an−1的关系是an=__________．
5．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）一副三角板（△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADE中，∠ADE=90°，∠CAD=45°，AC=AE）按如图①方式放置，如图②将△ADE绕点A按逆时针方向，以每秒6°的速度旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤36）．
(1)图①中，∠BAD= °；
(2)在△ADE绕点A旋转的过程中，当DE与△ABC的一边平行时，求t的值；
(3)在△ADE绕点A旋转的过程中，探究∠CAE与∠BAD之间的数量关系．
6．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）在边长为1的正方形网格中：
(1)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′．
(2)△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积为
7．（2022春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=6．点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边BC上运动时，PB=______（用含t的代数式表示）；
(2)当点P与点Q重合时，求t的值；
(3)当BQ=2PB时，求t的值；
(4)若点P关于点B的中心对称点为点P′，直接写出△PDP′和△QDC面积相等时t的值．
8．（2022春·福建泉州·七年级泉州五中校考期末）如图，在边长为1个单位长度的10×10的小正方形网格中．
(1)将△ABC向右平移5个单位长度，作出平移后的△A1B1C1；
(2)请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称；
(3)在直线a上画出点P，使得点P到点A、B的距离之和最短．足球
排球
篮球
1人用1个
1人用1个
2人共用1个
x只竖式箱子
y只横式箱子
A型板材张数(张)
x

B型板材张数(张)

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