沪科版七年级数学下册举一反三系列专题11.9期末复习之解答压轴题专项训练特训(原卷版+解析)

这是一份沪科版七年级数学下册举一反三系列专题11.9期末复习之解答压轴题专项训练特训(原卷版+解析)，共76页。

考点1
实数解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）找规律并解决问题
(1)填写下表．
想一想：上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根a的小数点移动之间的规律为：已知数a的小数点每移动________位，它的算术平方根a的小数点相应移动________位；
(2)已知15=k，0.15=a，1500=b，用k的代数式分别表示a，b．
(3)如果x=0.017，求x的值．
2．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期末）阅读理解题．
定义，如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数叫作虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫作复数，其中a叫这复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加减乘法运算与整数的加减乘法运算类似；
例如：计算2−i5+3i=10+6i−5i−3i2=13+i，
1+i2−i=1×2−i+2i−i2=2+−1+2i+1=3+i
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：i3= ___，i4= ___
(2)计算：1+i×3−4i
(3)计算：i+i2+i3+……+i2023
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）（1）如图1，分别把两个边长为1dm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，可以拼成一个大正方形，由此可知，小正方形的对角线长为______dm．
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，则圆的周长C圆，正方形的周长C正的大小关系是：C圆______C正（填“＝”或“＜”或“＞”号）
（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
4．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22019+22020的值，采用以下方法：
设s=1+2+22+⋯+22019+22020 ①
则2s=2+22+⋯+22020+22021 ②
②-①得，2s−s=s=22021−1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+⋯+29=________；
（2）3+32+⋯+320=_________；
（3）求1+a+a2+a3+⋯an的和（a>1，n是正整数，请写出计算过程）.
5．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：a1，a2，a3，a4，a5…an，满足对为一切正整数n都有
1a1=12a1a2，1a1+1a2=12a2a3，1a1+1a2+1a3=12a3a4，
1a1+1a2+1a3+1a4=12a4a5，1a1+1a2+1a3+1a4+⋅⋅⋅1an=12anan+1成立，且a1=1．
(1)求a2，a3的值；
(2)猜想第n个数an（用n表示）；
(3)求a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022的值．
6．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以K123=6．
（1）计算：K342和K658；
（2）若x是“梦幻数”，说明：Kx等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且x+y=1000，猜想：Kx+Ky=________，并说明你猜想的正确性．
7．（2022秋·安徽六安·七年级校考期末）观察等式找规律：
①第1个等式：22﹣1=1×3；
②第2个等式：42﹣1=3×5；
③第3个等式：62﹣1=5×7；
……
（1）写出第5个等式： ；
第6个等式： ；
（2）写出第n个等式（用字母n表示）： ；
（3）求11×3+13×5+15×7+⋯+14025×4027的值．
8．（2022秋·安徽宿州·七年级校考期末）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
9．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．
(1)观察图形，寻找规律，并填写下表：
(2)求出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
(3)是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．
10．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）我们规定：[a]表示不大于a的最大整数，表示不小于a的最小整数．
例如：[4]=2，<4>=2；[5]=2，<5>=3．
(1)计算：[10]=______，<10>=_______．
(2)若[a]=1，满足题意的所有整数a的和为______．
(3)若m=[200]，n=<26>，求m−2n−1的平方根．
考点2
一元一次不等式与不等式组解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“关联方程”
(1)在方程①3x+1−x=9；②4x−7=0；③x−12+1=x中，不等式组2x−2>x−13x−2−x≤4的“关联方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+72−3m=0是关于x的不等式组x+2m2>mx−m≤2m+1的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围
2．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
3．（2022·安徽合肥·七年级校联考期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x例如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
试解决下列问题：
(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．
4．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作x．
例如，3.2=3，5=5，−2.1=−3，那么，x=x+a，其中0≤a<1．
例如，3.2=3.2+0.2，5=5+0，−2.1=−2.1+0.9．
请你解决下列问题：
（1）4.8=__________，−6.5=__________；
（2）如果x=5，那么x的取值范围是__________；
（3）如果5x−2=3x+1，那么x的值是__________；
（4）如果x=x+a，其中0≤a<1，且4a=x+1，求x的值．
5．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）如图所示为一个计算程序；
（1）若输入的x＝3，则输出的结果为 ；
（2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有 ；
（3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围．
6．（2022春·安徽合肥·七年级校联考期末）某同学到学校食堂买饭，看到1号、2号两个窗口前排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到1号窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现1号窗口每分钟有4人买饭离开，2号窗口每分钟有6人买饭离开且2号窗口队伍后面每分钟增加5人．若此时该同学迅速从1号窗口队伍转移到2号窗口队伍后面重新排队，且到达2号窗口所花的时间比继续在1号窗口排队到达1号窗口所花的时间少（不考虑其它因素），则a的最小值为________________．
7．（2022春·安徽阜阳·七年级统考期末）阅读下列材料：
解答“已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：因为x−y=2，所以x=y+2，又因为x>1，所以y+2>1，所以y>−1，所以−1请仿照上述解法，完成下列问题：
（1）已知x−y=3，且x>2，y<1，则x+y的取值范围是多少．
（2）已知y>1，x<−1，若x−y=a，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
8．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f(a)．
例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f(12)=3．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为________；
(2)计算：
①f(13)；②f(10a+b)；
(3)如果一个“慧泉数”m的十位数字是x，个位数字是x−4，另一个“慧泉数”n的十位数字是x−5，个位数字是2，且满足f(m)−f(n)<8，求x．
9．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）身体质量指数（BMI）的计算公式：BMI=wℎ2，这里w为体重（单位：kg），ℎ为身高（单位：m），男性的身体质量指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9．（计算结果保留1位小数）
(1)如果一位男体育老师的身高为1.75m，体重为78kg，请计算说明他的BMI是否正常？
(2)一位成年男同学的身高为1.63m，且他的BMI正常，请求出他的体重范围．
10．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）阅读下列材料：解答“已知x-y=2，且x＞1、y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：x-y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，y＞-1，又y＜0，
∴-1＜y＜0……①； 同理得：1＜x＜2……②
由①+②得-1+1＜y+x＜0+2，x+y的取值范围是0＜x+y＜2；请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组3x−y=2a−5x+2y=3a+3的解都为正数
(1)求a的取值范围；
(2)已知a-b=4，且b＜2，a+b的取值范围；
(3)已知a-b=m(m是大于0的常数)，且b≤1，求a+3b最大值(用含m的代数式表示)
考点3
整式乘法与因式分解解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即a=−3．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）（1）计算并观察下列各式填空：
(x−1)(x+1)= x2−1；
(x−1)(x2+x+1)= x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)= ；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
(x−1)（ ）=x6−1；
（3）利用你发现的规律计算：(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ；
（4）利用该规律计算：1+2+22+23+…+22021的值．
3．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+2x−3．
（2）若M=2x2−8x，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
4．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；
（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是________________________．
5．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( 12x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： 12x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：12×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)( 12x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
6．（2022春·安徽安庆·七年级校联考期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m,n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m,n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解，产规定：F(a)=nm，例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为1−12>2−6>3−4，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)=43.
（1）求F(18)−F(16)；
（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”，如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x7．（2022秋·安徽芜湖·七年级校联考期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝pq．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝36=12．请解答下列问题：
(1)计算：F（24）；
(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝1n．
8．（2022春·安徽池州·七年级统考期末）（1）填空：
(a−b)(a+b)=______ ；
(a−b)(a2+ab+b2)= ______ ；
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)= ______ ；
（2）猜想：
（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）= ______ （其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①29+28+27+…+22+2+1
②210-29+28-…-23+22-2．
9．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）分解因式：（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90
10．（2022春·安徽滁州·七年级统考期末）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算13的近似值．
∵3=9<13<16=4，
∴设13=3+m，显然0∴132=3+m2，
∴13=9+6m+m2，
∴6m=4−m2，
∵0∴4−1<6m<4−0，
∴0.5∴3.5<3+m<3.67．
故13的值在3.5与3.67之间．
问题：
(1)请你依照上面的方法，估算43的近似值在______与______之间；
(2)对于任意一个大于1的无理数a，若a的整数部分为b，小数部分为m，请用含a，b的代数式表示m的大致范围．
考点4
分式解答期末真题压轴题
1．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
2．（2022秋·安徽阜阳·七年级阜阳实验中学校考期末）根据你发现的规律解答下列问题．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，……
(1)计算：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6= ；
(2)探究：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1= （用含有n的式子表示）；
(3)求11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1的值（用含有n的式子表示）．
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）【阅读理解】观察下列各等式：
4−2=4×2−1；163−4=163×4−1；(−43)−(−2)=(−43)×(−2)−1；…
(1)以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的______等于______；如果等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，那么这些等式的共同特征可用含m、n的等式表示为：______；
(2)【解决问题】将上面的等式变形，用含n的代数式表示出m．
(3)【拓展应用】观察下列各等式：
11+21=31；1−2+27=3−14；14+2−5=3−20；…请你再写出一个满足上式共同特征的等式：______．
4．（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）甲、乙两人同去某加油站加同种汽油，甲用300元所加的油量比乙用375元所加的油量少10升．
(1)求当天加油站的油价；
(2)当天加油站在其汽油进价的基础上提高25％进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，且y=0.04x+315，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价＋经营成本）
5．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：232−4×2−1−41=21；
第2个等式：442−4×2−2−42=22；
第3个等式：652−4×2−3−43=23；
第4个等式：862−4×2−4−44=24；
第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
6．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）已知关于x的分式方程mx−3+23−x=1无解，关于y的不等式组2y−1≥3y−(m+n)<2的整数解有且仅有3个，求n的取值范围．
7．（2022春·安徽宿州·七年级统考期末）阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x+1x=3+13的解是 x1=3,x2=13；
x+1x=4+14的解是 x1=4,x2=14；
x+1x=5+15的解是 x1=5,x2=15；
（1）观察上述方程及其解,可猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是 ；
（2）解关于x的方程x2−x+1x−1=a+1a−1．
8．（2022春·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期末）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．
9．（2022春·安徽宿州·七年级统考期末）已知下面一列等式：
1×12=1−12；12×13=12−13；13×14=13−14；14×15=14−15；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2) +1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4).
10．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）已知实数a、b、c满足a+bc=b+ca=a+cb；计算：(a+b)(b+c)(a+c)abc.
考点5
相交线、平行线与平移解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．小安将一个含30 °角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°．
(1)填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“>”“<”或“=”）；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
2．（2022春·安徽宿州·七年级校考期末）如图，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E，F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE平分∠COF．
(1)求∠EOB的度数．
(2)若向右平行移动AB，其他条件不变，那么∠OBC:∠OFC的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．
(3)在向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数；若不存在，请说明理由．
3．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
4．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求∠APC的度数．
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
5．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD=3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE//AB，并简要说明理由.
6．（2022春·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=12∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）从今年开始，“金鸡百花电影节”长期落户厦门，为了主场馆更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．其中一组灯光如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉投射．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0．假定舞台前后幕布是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
8．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
(1)如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系．
(2)如图，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C．
(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
9．（2022春·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
10．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
(1)如图1，若∠CDE=25°，∠DEB=80°，则∠ABE的度数为________；
(2)如图2，BG平分∠ABE，GB的延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数；
(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．a
0.0001
0.01
1
100
10000
a
________
0.1
1
10
________
图序
①
②
③
④
⑤
⑥
◇
1
4
9
25
☆
4
9
16
25
专题11.9 期末复习之解答压轴题专项训练
【沪科版】
考点1
实数解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）找规律并解决问题
(1)填写下表．
想一想：上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根a的小数点移动之间的规律为：已知数a的小数点每移动________位，它的算术平方根a的小数点相应移动________位；
(2)已知15=k，0.15=a，1500=b，用k的代数式分别表示a，b．
(3)如果x=0.017，求x的值．
【答案】(1)0.01，100，两，一；
(2)a=0.1k，b=10k；
(3)x=0.0007
【分析】（1）先补全表格信息，再根据被开方数的小数点以及对应的算术平方根的小数点移动规律进行分析，即可得到答案；
（2）被开方数的小数点向左平移两位，对应的算术平方根的小数点向左移动一位，即缩小10倍；被开方数的小数点向右平移两位，对应的算术平方根的小数点向右移动一位，即扩大10倍；
（3）算术平方根扩大100倍，被开方数应扩大10000倍，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：表格如下：
由图表可知，规律为：a的小数点向右（左）移动两位，a的小数点向右（左）移动一位，
故答案为：0.01，100，两，一；
（2）解：∵15=k，0.15=a，1500=b，
∴a=0.15=15100=1510=k10=0.1k，
b=1500=15×100=1015=10k；
（3）解：∵x=0.017，
∴x=7100=710000=0.0007，
∴x=0.0007．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，发现开方数的小数点以及对应的算术平方根的小数点移动规律是解题关键．
2．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期末）阅读理解题．
定义，如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数叫作虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫作复数，其中a叫这复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加减乘法运算与整数的加减乘法运算类似；
例如：计算2−i5+3i=10+6i−5i−3i2=13+i，
1+i2−i=1×2−i+2i−i2=2+−1+2i+1=3+i
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：i3= ___，i4= ___
(2)计算：1+i×3−4i
(3)计算：i+i2+i3+……+i2023
【答案】(1)−i；1
(2)7−i
(3)−1
【分析】（1）根据题目中给出的i2=−1进行计算即可；
（2）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（3）找出数字规律进行计算即可．
【详解】（1）解：∵i2=−1，
∴i3=i2⋅i=−1×i=−i；
i4=i2⋅i2=−1×−1=1；
故答案为：−i；1．
（2）解：1+i×3−4i
=3−4i+3i−4i2
=3−i−4×−1
=3−i+4
=7−i．
（3）解：∵i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i4×i=i，i6=−1…，
∴4个一循环，且每4个和为：i−1−i+1=0，
∵2023÷4=505⋅⋅⋅⋅⋅⋅3，
∴i+i2+i3+……+i2023
=i−1−i+1+i−1−i+1+⋅⋅⋅+i−1−i
=i−1−i
=−1．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）（1）如图1，分别把两个边长为1dm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，可以拼成一个大正方形，由此可知，小正方形的对角线长为______dm．
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，则圆的周长C圆，正方形的周长C正的大小关系是：C圆______C正（填“＝”或“＜”或“＞”号）
（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
【答案】（1）2；（2）＜；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）设圆的半径为r cm，正方形的边长为a cm，求得C圆=22π=8π2cm，C正=42π=32πcm，于是得到结论；
（3）设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，令3x•2x=12，得到x=2，求得长方形的长为32cm，正方形的边长为4cm，由于32＞4，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵小正方形的边长为1dm，
∴小正方形的对角线长为12+12=2 (dm) ，
故答案为：2；
（2）设圆的半径为r cm，正方形的边长为a cm，
∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2π cm2，
∴r=2，a=2π，
∴C圆=22π=8π2cm，C正=42π=32πcm，
∵8π2＜32π，
∴C圆＜C正，
故答案为：＜；
（3）不能裁出，
理由：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，
令3x•2x=12，
解得：x=±2，
∵x＞0，
∴x=2，
∴长方形的长为32cm，
∵16=4，
∴正方形的边长为4cm，
∵32＞4，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，圆的面积公式，正确地理解题意是解题的关键．
4．（2022秋·安徽安庆·七年级统考期末）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22019+22020的值，采用以下方法：
设s=1+2+22+⋯+22019+22020 ①
则2s=2+22+⋯+22020+22021 ②
②-①得，2s−s=s=22021−1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+⋯+29=________；
（2）3+32+⋯+320=_________；
（3）求1+a+a2+a3+⋯an的和（a>1，n是正整数，请写出计算过程）.
【答案】（1）210−1；（2）321−32；（3）an+1−1a−1
【分析】（1）设式子等于s，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；
（3）设式子等于s，将方程两边都乘以a后进行计算即可.
【详解】（1）设s=1+2+22+⋯+29①，
∴2s=2+22+⋯+29+210②，
②-①得：s=210−1，
故答案为：210−1；
（2）设s=3+32+⋯+320①，
∴3s=32+⋯+320+321②，
②-①得：2s=321−3，
∴s=321−32,
故答案为： 321−32；
（3）设s=1+a+a2+a3+⋯an①，
∴as=a+a2+a3+⋯an+an+1②，
②-①得：（a-1）s=an+1−1，
∴s=an+1−1a−1.
【点睛】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.
5．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知一列数：a1，a2，a3，a4，a5…an，满足对为一切正整数n都有
1a1=12a1a2，1a1+1a2=12a2a3，1a1+1a2+1a3=12a3a4，
1a1+1a2+1a3+1a4=12a4a5，1a1+1a2+1a3+1a4+⋅⋅⋅1an=12anan+1成立，且a1=1．
(1)求a2，a3的值；
(2)猜想第n个数an（用n表示）；
(3)求a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022的值．
【答案】(1)a2=14，a3=19
(2)an=1n2
(3)20212022
【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；
（2）先计算出a4即可发现，an=1n2=1n2；
（3）先推出an⋅an+1=1n−1n+1据此求解即可．
（1）
解：∵a1=1，1a1=12a1a2，
∴11=12a2，
∴a2=14，
∵1a1+1a2=12a2a3，
∴11+114=1214a3，
∴1+2=1a3，
∴a3=19；
（2）
解：∵1a1+1a2+1a3=12a3a4
∴11+114+119=1219a4，
∴1+2+3=123a4，
∴a4=116，
∵a1=112，a2=122，a3=132，a4=142，
∴an=1n2=1n2；
（3）
解：∵an=1n2，
∴an⋅an+1=1n2n+12，
∴an⋅an+1=1n2n+12=1nn+1=1n−1n+1，
∴a1a2+a2a3+a3a4+⋅⋅⋅+a2021a2022
=1−12+12−13+⋯+12021−12022
=1−12022
=20212022．
【点睛】本题主要考查了与实数运算有关的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
6．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以K123=6．
（1）计算：K342和K658；
（2）若x是“梦幻数”，说明：Kx等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且x+y=1000，猜想：Kx+Ky=________，并说明你猜想的正确性．
【答案】（1）K(342)=9,K(658)=19;（2）见解析；（3）28
【分析】（1）根据K的定义，可以直接计算得出；
（2）设x=abc，得到新的三个数分别是：acb，cba，bac，这三个新三位数的和为100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)=111(a+b+c)，可以得到：K(x)=a+b+c；
（3）根据（2）中的结论，猜想：Kx+Ky=28．
【详解】解：（1）已知n=342，所以新的三个数分别是：324,243,432，
这三个新三位数的和为324+243+342=999，
∴K(342)=9；
同样n=658，所以新的三个数分别是：685,568,856，
这三个新三位数的和为685+568+856=2109，
∴K(658)=19．
（2）设x=abc，得到新的三个数分别是：acb，cba，bac，
这三个新三位数的和为100(a+b+c)+10(a+b+c)+(a+b+c)=111(a+b+c)，
可得到：K(x)=a+b+c，即Kx等于x的各数位上的数字之和．
（3）设x=abc,y=mnp，由（2）的结论可以得到：
K(x)+K(y)=(a+b+c)+(m+n+P)，
∵x+y=1000，
∴100(a+m)+10(b+n)+(c+p)=1000，
根据三位数的特点，可知必然有：
c+p=10,b+n=9,a+m=9，
∴K(x)+K(y)=(a+b+c)+(m+n+p)=28，
故答案是：28．
【点睛】此题考查了多位数的数字特征，每个数字是10以内的自然数且不为0，解题的关键是：结合新定义，可以计算出问题的解，注意把握每个数字都会出现一次的特点，区别数字与多为数的不同．
7．（2022秋·安徽六安·七年级校考期末）观察等式找规律：
①第1个等式：22﹣1=1×3；
②第2个等式：42﹣1=3×5；
③第3个等式：62﹣1=5×7；
……
（1）写出第5个等式： ；
第6个等式： ；
（2）写出第n个等式（用字母n表示）： ；
（3）求11×3+13×5+15×7+⋯+14025×4027的值．
【答案】（1）102﹣1=9×11；122﹣1=11×13；（2）4n2﹣1=（2n﹣1）（2n+1）；（3）20134027
【详解】【分析】(1)(2)根据观察总结规律：第n个等式：4n2﹣1=（2n﹣1）（2n+1）.分别代入即可.
(3)由规律： 1nn+2=121n−1n+2可得.
【详解】解：（1）第5个等式：102﹣1=9×11；
第6个等式：122﹣1=11×13；
（2）第n个等式：4n2﹣1=（2n﹣1）（2n+1）；
（3）原式=12×（1﹣13）+12×（13﹣15）+…+12×（14025﹣14027）
= 12×（1﹣13+13﹣15+…+14025﹣14027）
= 12×（1﹣14027）
= 20134027
【点睛】本题考核知识点：实数运算规律.解题关键点：观察发现规律.
8．（2022秋·安徽宿州·七年级校考期末）（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|=2，那么x为 ；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
【答案】①3，3，4②|x+1|，1或-3③-1≤x≤2④x=3或x=-2
【详解】试题分析：①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．
④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出方程的解即可．
试题解析：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4
②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或
-3.
③根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3
当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2
当x+1与x-2异号，则等式不成立.
所以答案为：3或-2.
9．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）用“◇”和“☆”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植．
(1)观察图形，寻找规律，并填写下表：
(2)求出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
(3)是否存在一种种植方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍？若存在，请你写出是第几个方案，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16，36；36，49
(2)甲种植物的株数：n2，乙种植物的株数：n+12
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）通过观察图形总结规律即可得到答案；
（2）通过观察图形，进行总结，可以得到第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数；
（3）根据总结得到的规律代入数值计算即可．
【详解】（1）解：由可知，第一行：①中12=1，②中22=4，③中32=9，⑤中52=25，
∴④中42=16，⑥中62=36，
第二行：①中22=4，②中32=9，③中42=16，④中52=25，
∴⑤中62=36，⑥中72=49，
所以表格中填写：第一行：16，36；第二行：36，49．
（2）∵第一个图形中甲种植物的株数1=12，第二个图形中甲种植物的株数4=22，第三个图形中甲种植物的株数9=32，
∴第n个图形中甲种植物的株数n2，
∵第一个图形中乙种植物的株数4=1+12，第二个图形中乙种植物的株数9=2+12，第三个图形中乙种植物的株数16=3+12，
∴第n个图形中乙种植物的株数n+12．
（3）∵由n+12=2n2，两边同时开平方，得n+1=2n，这个方程的正整数解不存在，
∴不存在方案，使得乙种植物的株数是甲种植物的株数的2倍．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
10．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）我们规定：[a]表示不大于a的最大整数，表示不小于a的最小整数．
例如：[4]=2，<4>=2；[5]=2，<5>=3．
(1)计算：[10]=______，<10>=_______．
(2)若[a]=1，满足题意的所有整数a的和为______．
(3)若m=[200]，n=<26>，求m−2n−1的平方根．
【答案】(1)3；4；
(2)6；
(3)±1．
【分析】（1）根据题意即可解决问题；
（2）由题意可得1≤a<4，且a为整数，所以a=1或a=2或a=3，进而可以解决问题；
（3）根据题意可得14<200<15，5<26<6，所以m=14，n=6，得m−2n−1=1，然后根据平方根的定义即可解决问题．
【详解】（1）由题意可知：[10]=3；<10>=4；
故答案为：3；4；
（2）由题意可知：1≤a<4，且a为整数，
∴a=1或a=2或a=3，
∴满足题意的所有整数a的和为6；
故答案为：6；
（3）∵14<200<15，5<26<6，
∴m=14，n=6，
∴m−2n−1=1，
∵±1=±1，
∴m−2n−1的平方根为±1．
【点睛】本题考查了估算无理数大小，解决本题的关键是掌握平方根定义．
考点2
一元一次不等式与不等式组解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“关联方程”
(1)在方程①3x+1−x=9；②4x−7=0；③x−12+1=x中，不等式组2x−2>x−13x−2−x≤4的“关联方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x+72−3m=0是关于x的不等式组x+2m2>mx−m≤2m+1的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围
【答案】(1)①②
(2)−8(3)76【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x=12k+3，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出m的范围，然后求出方程的解为x=6m−7，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式，最后取公共部分即可．
【详解】（1）①3x+1−x=9，解得x=3；
②4x−7=0，解得x=74；
③x−12+1=x，解得x=1；
解不等式2x−2>x−1得：x>1，
解不等式3x−2−x≤4得：x≤5，
∴2x−2>x−13x−2−x≤4的解集为1∵x=3，x=74在1∴不等式组2x−2>x−13x−2−x≤4“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
（2）解不等式3x+12>x得：x>−1，
解不等式x−12≥2x+13−2得：x≤7，
∴3x+12>xx−12≥2x+13−2的解集为−1关于x的方程2x−k=6的解为x=12k+3，
∵关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12>xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，
∴x=12k+3在−1∴−1<12k+3≤7，
解得−8（3）解不等式x+2m2>m得：x>0，
解不等式x−m≤2m+1得：x≤3m+1，
∴x+2m2>mx−m≤2m+1的解集为0∵此时不等式组有4个整数解，
∴4≤3m+1<5，
解得1≤m<43
关于x的方程x+72−3m=0的解为x=6m−7，
∵关于x的方程x+72−3m=0是不等式组x+2m2>mx−m≤2m+1的“关联方程”，
∴x=6m−7在0∴0<6m−7≤3m+1，
解得76综上所述，76【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
2．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）某厂租用A、B两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完货物，且A车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计租车方案完成一次配送完21吨货物；
(3)若A型车每辆需租金80元每次，B型车每辆需租金100元每次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨
(2)共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆．
(3)方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费为540元．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆A型车，则租用（6−m）辆B型车，根据“租用的A型车至少1辆，且能一次配送完21吨货物”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，即可求出选择各租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）
解：设租用m辆A型车，则租用6−m辆B型车，
依题意，得：m≥13m+46−m≥21，
解得：1≤m≤3．
∵m为正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆．
（3）
解：方案1的租车费为1×80+100×5=580（元）；
方案2的租车费为2×80+100×4=560（元）；
方案3的租车费为3×80+100×3=540（元）．
∵580>560>540，
∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费为540元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总租金=每辆车的租金×租车数量，求出选择各租车方案所需租车费．
3．（2022·安徽合肥·七年级校联考期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x=n，则n−12≤x例如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
试解决下列问题：
(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果=3，则实数x的取值范围为_________；
(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0的整数解恰有3个，求a的取值范围；
(3)求满足〈x〉=43x的所有非负实数x的值．
【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；
(2)1.5≤a＜2.5；
(3)0，34，32．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；
②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用＜x＞=43x设43x=k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）∵x≥0，43x为整数，
设43x=k，k为整数，则x=34k，
∴＜34k＞=k，
∴k-12≤34k＜k+12，k≥0，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0，34，32．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
4．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作x．
例如，3.2=3，5=5，−2.1=−3，那么，x=x+a，其中0≤a<1．
例如，3.2=3.2+0.2，5=5+0，−2.1=−2.1+0.9．
请你解决下列问题：
（1）4.8=__________，−6.5=__________；
（2）如果x=5，那么x的取值范围是__________；
（3）如果5x−2=3x+1，那么x的值是__________；
（4）如果x=x+a，其中0≤a<1，且4a=x+1，求x的值．
【答案】（1）4，-7；（2）5≤x<6；（3）53；（4）x=−1或14或112或234
【分析】（1）根据x表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）根据x表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“x=x+a，其中0≤a<1”得出3x+1⩽5x−2<3x+2，解不等式，再根据3x+1为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件4a=x+1可得a=x+14，由0⩽a<1，可求得x的范围，根据x为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【详解】（1）4.8=4，−6.5=−7．
故答案为：4，-7．
（2）如果x=5． 那么x的取值范围是5⩽x<6．
故答案为：5⩽x<6．
（3）如果5x−2=3x+1，那么3x+1⩽5x−2<3x+2．
解得：32⩽x<2
∵3x+1是整数．
∴x=53．
故答案为：53．
（4）∵x=x+a，其中0⩽a<1，
∴x=x−a，
∵4a=x+1，
∴a=x+14．
∵0⩽a<1，
∴0⩽x+14<1，
∴−1⩽x<3，
∴x=−1，0，1，2．
当x=−1时，a=0，x=−1；
当x=0时，a=14，x=14；
当x=1时，a=12，x=112；
当x=2时，a=34，x=234；
∴x=−1或14或112或234．
【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中x的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．
5．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）如图所示为一个计算程序；
（1）若输入的x＝3，则输出的结果为 ；
（2）若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为40，则满足条件的x的不同值最多有 ；
（3）规定：程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若运算进行了三次才输出，求x的取值范围．
【答案】（1）31；（2）3个；（3）1727＜x≤269．
【分析】（1）根据计算程序代入可解答；
（2）逆着运算顺序，输出的结果是40，列3x+1=40依次计算可解答；
（3）由经过2次运算结果不大于30及经过3次运算结果大于30，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论.
【详解】解：（1）当x＝3时，3x+1＝3×3+1＝10＜30，
当x＝10时，3x+1＝3×10+1＝31，
故答案为31；
（2）当3x+1＝40时，x＝13，
3x+1＝13，x＝4，
3x+1＝4，x＝1，
则满足条件的x的不同值最多有3个，分别是13，4，1，
故答案为3个；
（3）依题意，得：3(3x+1)+1⩽303[3(3x+1)+1]+1>30，
解得：1727【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键.
6．（2022春·安徽合肥·七年级校联考期末）某同学到学校食堂买饭，看到1号、2号两个窗口前排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站到1号窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现1号窗口每分钟有4人买饭离开，2号窗口每分钟有6人买饭离开且2号窗口队伍后面每分钟增加5人．若此时该同学迅速从1号窗口队伍转移到2号窗口队伍后面重新排队，且到达2号窗口所花的时间比继续在1号窗口排队到达1号窗口所花的时间少（不考虑其它因素），则a的最小值为________________．
【答案】21
【分析】根据“达2号窗口所花的时间比继续在1号窗口排队到达1号窗口所花的时间少”列不等式得a−4×24>a−6×2+5×26求解即可．
【详解】设买饭时1号、2号窗口前面排队a人（a＞8）．
a−4×24>a−6×2+5×26解得：a＞20，
∵a取整数，
∴至少21人．
故答案为21
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解答此题抓住不变（开始排队人数、1号窗口每分钟有4人买饭离开和2号窗口每分钟有6人买了饭离开）和变（2号窗口队伍后面每分钟增加5人）来解决问题．
7．（2022春·安徽阜阳·七年级统考期末）阅读下列材料：
解答“已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：因为x−y=2，所以x=y+2，又因为x>1，所以y+2>1，所以y>−1，所以−1请仿照上述解法，完成下列问题：
（1）已知x−y=3，且x>2，y<1，则x+y的取值范围是多少．
（2）已知y>1，x<−1，若x−y=a，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）2+a【详解】试题分析：（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；
（2）理解解题过程，按照解题思路求解．
试题解析：（1）∵x−y=3，
∴x=3+y，
又∵x>2，
∴3+y>2⇒y>−1，
∴−1①+②得−1+2∴x+y的取值范围是1（2）∵x−y=a，
∴x=a+y，
又∵x<−1，
∴a+y<−1⇒y<−1−a，
∴1∴2+a∴x+y的取值范围是2+a【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
8．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f(a)．
例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f(12)=3．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：下列两位数：40，51，66中，“慧泉数”为________；
(2)计算：
①f(13)；②f(10a+b)；
(3)如果一个“慧泉数”m的十位数字是x，个位数字是x−4，另一个“慧泉数”n的十位数字是x−5，个位数字是2，且满足f(m)−f(n)<8，求x．
【答案】(1)51
(2)①f(13)=4；②f(10a+b)=a+b
(3)x=6或x=8
【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可；
（2）根据f(a)的定义求解即可；
（3）根据（2）中②的结论可写出f(m)与f(n)的表达式，代入f(m)−f(n)<8解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得x的值．
【详解】（1）解：∵ 51的个位数字与十位数字不同，且都不为0，∴ 51为“慧泉数”．
（2）解：f(13)=13+3111=4，f(10a+b)=(10a+b)+(10b+a)11=11(a+b)11=a+b．
（3）解：∵ m，n均为慧泉数，
∴ 0由f(10a+b)=a+b，得f(t)的值等于t的个位数字与十位数字之和，
∴ f(m)=x+x−4=2x−4，f(n)=x−5+2=x−3，
∵ f(m)−f(n)<8，
∴ (2x−4)−(x−3)<8，解得x<9．
∴ x=6或8．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键．
9．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）身体质量指数（BMI）的计算公式：BMI=wℎ2，这里w为体重（单位：kg），ℎ为身高（单位：m），男性的身体质量指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9．（计算结果保留1位小数）
(1)如果一位男体育老师的身高为1.75m，体重为78kg，请计算说明他的BMI是否正常？
(2)一位成年男同学的身高为1.63m，且他的BMI正常，请求出他的体重范围．
【答案】(1)他的BMI不正常
(2)49.2kg≤w≤63.5kg
【分析】（1）根据BMI的计算公式求解即可；
（2）根据BMI=wℎ2，可得w=BMI⋅ℎ2，根据他的BMI正常，可得体重的取值范围．
【详解】（1）解：BMI=781.752≈25.5，
∵25.5>23.9，
∴他的BMI不正常；
（2）解：∵男性的身体质量指数正常范围是18.5≤BMI≤23.9，
∴18.5×1.632≤w≤23.9×1.632，
∴49.2≤w≤63.5，
∴他的体重范围是49.2kg≤w≤63.5kg．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题中的公式是解题的关键．
10．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）阅读下列材料：解答“已知x-y=2，且x＞1、y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：x-y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，y＞-1，又y＜0，
∴-1＜y＜0……①； 同理得：1＜x＜2……②
由①+②得-1+1＜y+x＜0+2，x+y的取值范围是0＜x+y＜2；请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组3x−y=2a−5x+2y=3a+3的解都为正数
(1)求a的取值范围；
(2)已知a-b=4，且b＜2，a+b的取值范围；
(3)已知a-b=m(m是大于0的常数)，且b≤1，求a+3b最大值(用含m的代数式表示)
【答案】(1)a＞1
(2)−2＜a＋b＜8
(3)4+m
【分析】（1）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可；
（2）分别求a、b的取值，相加可得结论；
（3）先化为a＝b＋m，代入a+3b中，并根据b≤1，可得最大值．
（1）
解：解方程组3x−y=2a−5①x+2y=3a+3②，
①×2+②得：x=a−1，
②×3−①得：y=a+2，
∴方程组的解为x=a−1y=a+2，
由题意，得 a−1>0a+2>0，
则不等式组的解集为a＞1；
（2）
∵a−b＝4，a＞1，
∴a＝b＋4＞1，
∴b＞−3，
∴a＋b＞−2；
又∵a＋b＝2b＋4，b＜2，
∴a＋b＜8．
故−2＜a＋b＜8；
（3）
∵a−b＝m，
∴a＝b＋m．
由∵b≤1，
∴a+3b＝b+m+3b=4b+m．
∴a+3b的最大值为4+m．
【点睛】本题考查了不等式组的解的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．
考点3
整式乘法与因式分解解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3x−6y+5，所以a+3=0，即a=−3．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式(2m−3)x+2m2−3m的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知3(2x+1)(x−1)−x(1−3y)+6(−x2+xy−1)的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1-S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【答案】(1)m=32；
(2)y=25；
(3)a=2b
【分析】（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S1,S2，从而可得S1−S2，再根据“当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变”可知S1−S2的值与x的值无关，由此即可得．
(1)
解：(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x
=(2m−3)x−3m+2m2，
∵关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x的值与x的取值无关，
∴2m−3=0，
解得m=32；
(2)
令A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15y−6=0，
解得y=25；
(3)
解：设AB=x，
由图可知，S1=a(x−3b)=ax−3ab，S2=2b(x−2a)=2bx−4ab，
则S1−S2=ax−3ab−(2bx−4ab)
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，
∴S1−S2的值与x的值无关，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
2．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）（1）计算并观察下列各式填空：
(x−1)(x+1)= x2−1；
(x−1)(x2+x+1)= x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)= ；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
(x−1)（ ）=x6−1；
（3）利用你发现的规律计算：(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ；
（4）利用该规律计算：1+2+22+23+…+22021的值．
【答案】（1）x4−1；（2）x5+x4+x3+x2+x+1；（3）x8−1；（4）22022−1
【分析】（1）利用上面等式的变化规律计算（x-1）（x3+x2+x+1）；
（2）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（3）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（4）将原式变形后再进行计算即可．
【详解】解：（1）(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，
故答案为：x4−1；
（2）(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1
故答案为：x5+x4+x3+x2+x+1；
（3）(x−1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x8−1，
故答案为：x8−1；
（4）1+2+22+23+…+22021=(2−1)×(1+2+22+23+…+22021)=22022−1．
【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．也考查了规律型问题的解决方法．
3．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：a2−2a−1=a2−2a+1−2=(a−1)2−2
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+2x−3．
（2）若M=2x2−8x，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】（1）(x+3)(x−1)；（2）−8；（3）4．
【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】（1）原式=x2+2x−3+4−4
=x2+2x+1−4
=(x+1)2−22
=(x+1)+2(x+1)−2
=(x+3)(x−1)；
（2）2x2−8x=2(x2−4x)
=2(x2−4x+4−4)
=2(x−2)2−4
=2(x−2)2−8
∵(x−2)2≥0
∴当x=2时，M有最小值−8；
（3）x2+2y2+z2−2xy−2y−4z+5
=(x2−2xy+y2)+(y2−2y+1)+(z2−4z+4)
=(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2
∵(x−y)2+(y−1)2+(z−2)2=0
∴x−y=0y−1=0z−2=0
解得x=1y=1z=2
则x+y+z=1+1+2=4．
【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
4．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式，平方差公式可以用几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，比如图②可以解释为：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．
（1）请写出图③可以解释的代数等式：____________________________；
（2）在下面虚线框中用图①中的基本图形若干块，拼成一个长方形（每种至少用一次，卡片之间不能有缝隙或重叠），使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并写出这个长方形的长和宽是________________________．
【答案】（1） (a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2；（2）见解析，a+2b，3a+b
【分析】（1）根据图形即可得出所求的式子；
（2）现将原式写成（3a+b）（a+2b）的形式，然后画出一个长3a+b，宽a+2b的长方形即可．
【详解】解：（1）有图形可得：2a2+5ab+2b2=（a+2b）（2a+b）
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（2）由3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）
所以其可以表示成一个长3a+b，宽a+2b的长方形，故如图：
【点睛】本题考查了利用图形面积研究因式分解、多项式乘多项式与图形面积，弄清关键、弄清图形和代数式的关系是解答本题的关键．
5．（2022春·安徽安庆·七年级校考期末）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( 12x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： 12x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：12×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．
(2)( 12x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．
(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．
【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．
（2）求二次项系数，还有未知数的项有12x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．
（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．
（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
【详解】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．
（2）由题意可得( 12x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
12×2×(−4)+12×5×3+2×5×6=63.5．
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，观察题干，得出规律是关键．
6．（2022春·安徽安庆·七年级校联考期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m,n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m,n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解，产规定：F(a)=nm，例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为1−12>2−6>3−4，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)=43.
（1）求F(18)−F(16)；
（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”，如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x【答案】（1）1；（2）F(t)的最小值为43.
【分析】（1）根据题意求出F(18)，F(16)的值代入即可．
（2）根据题意列出二元一次方程，解的所有可能性，求出F(t)最小值．
【详解】解：（1）∵F(18)=2，F(16)=1
∴F(18)−F(16)=1
（2）根据题意得：10y+x−(10x+y)=4k(k为正整数）
∴9(y−x)=4k
∴y−x=4，或y−x=8
且1⩽x∴y=5，x=1
y=6，x=2，
y=7，x=3
y=8，x=4
y=9，x=5
y=9，x=1
∴两位正整数为 15，26，37，48，59，19
∴F(15)=53，F(26)=132，F(37)=37，F(48)=43，F(59)=59，F(19)=19
∴F(t)的最小值为43
【点睛】本题考查了因式分解的应用，关键是通过阅读能理解题目的新概念．
7．（2022秋·安徽芜湖·七年级校联考期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝pq．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F（18）＝36=12．请解答下列问题：
(1)计算：F（24）；
(2)当n为正整数时，求证：F（n3+2n2+n）＝1n．
【答案】(1) 23；(2) 1n.
【详解】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可.
详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，
其中4与6的差的绝对值最小，
∴F(24)＝46＝23.
(2)∵n3＋2n2＋n＝n(n＋1)2，
其中n(n＋1)与(n＋1)的差的绝对值最小，且(n＋1)≤n(n＋1)，
∴F(n3＋2n2＋n)＝n+1n(n+1)＝1n.
点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
8．（2022春·安徽池州·七年级统考期末）（1）填空：
(a−b)(a+b)=______ ；
(a−b)(a2+ab+b2)= ______ ；
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)= ______ ；
（2）猜想：
（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）= ______ （其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①29+28+27+…+22+2+1
②210-29+28-…-23+22-2．
【答案】(1)a2－b2; a3－b3; a4－b4;(2)an－bn;(3)①1023;②682.
【详解】试题分析：(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;
(2)根据(1)的规律可得结果;
(3)原式变形后,利用(2)得出的规律计算即可得到结果.
解：（1）(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
；
；
（2）由（1）可得，(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn；
(3)①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.
②210－29＋28－…－23＋22－2＝×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝×[211－(－1)11]－×3×1＝682.
点睛：本题考查了多项式与多项式的乘法计算及代数式的探索与规律，由（1）的计算结果得到(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn是解答本题的关键，灵活运用这一结论是正确解答（3）的前提.
9．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）分解因式：（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90
【答案】（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）
【分析】首先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合变为[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90，然后做多项式的乘法得到（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90，接着利用换元法即可解决问题．
【详解】解：原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90
=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90
=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．
令y=2x2+5x+2，则
原式=y（y+1）-90=y2+y-90
=（y+10）（y-9）
=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）
=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．
【点睛】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题时首先把两个括号内面的多项式分解因式，然后重新组合做多项式的乘法，然后利用整体思想，最后利用换元法和十字相乘法即可求解．
10．（2022春·安徽滁州·七年级统考期末）学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算13的近似值．
∵3=9<13<16=4，
∴设13=3+m，显然0∴132=3+m2，
∴13=9+6m+m2，
∴6m=4−m2，
∵0∴4−1<6m<4−0，
∴0.5∴3.5<3+m<3.67．
故13的值在3.5与3.67之间．
问题：
(1)请你依照上面的方法，估算43的近似值在______与______之间；
(2)对于任意一个大于1的无理数a，若a的整数部分为b，小数部分为m，请用含a，b的代数式表示m的大致范围．
【答案】(1)6.5，6.58；
(2)a−b2−12b【分析】（1）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案；
（2）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵6=36<43<49=7，
∴设43=6+m，显然0∴432=6+m2，
∴43=36+12m+m2，
∴12m=7−m2，
∵0∴7−1<12m<7−0，
∴0.5∴6.5<6+m<6.58．
∴ 43的值在6.5与6.58之间，
故答案为：6.5，6.58；
（2）解：根据题意可知，a=b+m，显然0∴a2=b+m2，
∴a=b2+2bm+m2，
∴2bm=a−b2−m2．
∵0∴a−b2−1<2bm∴a−b2−12b【点睛】本题考查了无理数的大小估算，涉及完全平方公式等知识，理解题目中的解题方法是解题关键．
考点4
分式解答期末真题压轴题
1．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【答案】(1)每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；(2)至少需要用电行驶60千米．
【分析】(1)根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；
(2)根据所需费用不超过50元列出不等式解答即可．
【详解】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，
可得：80x+0.5=30x，
解得：x=0.3，
经检验x=0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3=100千米；
(2)至少需要用电行驶60千米．
汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5=0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8(100-y)≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．（2022秋·安徽阜阳·七年级阜阳实验中学校考期末）根据你发现的规律解答下列问题．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，……
(1)计算：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6= ；
(2)探究：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1= （用含有n的式子表示）；
(3)求11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1的值（用含有n的式子表示）．
【答案】(1)56；
(2)nn+1；
(3)n2n+1．
【分析】（1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）结合（2）中所求，进而分解各数，即可求解．
【详解】（1）解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6
=1−12+12−13+13−14+14−15+15−16
=1−16
=56；
（2）解：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1；
（3）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1
=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)
=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)
=n2n+1．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用．
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）【阅读理解】观察下列各等式：
4−2=4×2−1；163−4=163×4−1；(−43)−(−2)=(−43)×(−2)−1；…
(1)以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的______等于______；如果等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，那么这些等式的共同特征可用含m、n的等式表示为：______；
(2)【解决问题】将上面的等式变形，用含n的代数式表示出m．
(3)【拓展应用】观察下列各等式：
11+21=31；1−2+27=3−14；14+2−5=3−20；…请你再写出一个满足上式共同特征的等式：______．
【答案】(1)差；前一个数乘以后一个数的倒数；m−n=m×n−1
(2)m=n2n−1
(3)16+2−9=3−54
【分析】（1）观察等式，得到规律：前一个数减去后一个数的差等于前一个数乘以后一个数的倒数，即可．
（2）将m−n=m×n−1变式为含n的代数式，即可．
（3）观察等式得：分子等于前一个数的分子加后一个数的分子；分母等于前一个数的分母乘以后一个数的分母，即可．
（1）
观察等式4−2=4×2−1；163−4=163×4−1；(−43)−(−2)=(−43)×(−2)−1，得到规律：某两个实数的差等于前一个数乘以后一个数的倒数
∴用等式左边的第一个实数用m表示，第二个用n表示，得m−n=m×n−1．
（2）
∵m−n=m×n−1
∴m−n=mn
∴m−mn=n
∴nm−mn=n
∴m(n−1)n=n
∴m=n2n−1
（3）
观察等式11+21=31；1−2+27=3−14；14+2−5=3−20，得到规律，分子等于前一个数的分子加后一个数的分子；分母等于前一个数的分母乘以后一个数的分母
∴16+2−9=3−54
【点睛】本题考查有理数、代数式的知识点，解题的关键是观察等式，找到等式的规律．
4．（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）甲、乙两人同去某加油站加同种汽油，甲用300元所加的油量比乙用375元所加的油量少10升．
(1)求当天加油站的油价；
(2)当天加油站在其汽油进价的基础上提高25％进行定价，若加油站的经营成本为y元（包含运输成本、水电费用、人员费用等，不包含汽油的进价），销售量为x升，且y=0.04x+315，要使加油站当天的利润不低于1875元，则加油站当天至少售出多少升汽油？（总成本＝进价＋经营成本）
【答案】(1)当天加油站的油价为x=7.5元/升
(2)加油站当天至少售出1500升汽油
【分析】（1）设当天加油站的油价为x元/升，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根据题意求得进价，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
(1)
解：设当天加油站的油价为x元/升，
300x+10=375x，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5是原方程的解，
答：当天加油站的油价为x=7.5元/升．
(2)
根据题意，进价为：7.5÷1+25%=6元/升，
由y=0.04x+315，根据题意得，
∴7.5x−0.04x+315+6x≥1875
解得x≥1500
答：加油站当天至少售出1500升汽油．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
5．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）观察以下等式：
第1个等式：232−4×2−1−41=21；
第2个等式：442−4×2−2−42=22；
第3个等式：652−4×2−3−43=23；
第4个等式：862−4×2−4−44=24；
第5个等式：1072−4×2−5−45=25；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)1282−4×2−6−46=26
(2)2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，证明见解析
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【详解】（1）解： 1282−4×2−6−46=26；
（2）解：2n(n+2)2−4×2−n−4n=2n，理由如下：
左边=2nn2+4n×n+4n=2n+4×n+4n=2n=右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
6．（2022春·安徽安庆·七年级统考期末）已知关于x的分式方程mx−3+23−x=1无解，关于y的不等式组2y−1≥3y−(m+n)<2的整数解有且仅有3个，求n的取值范围．
【答案】0【分析】先由分式方程mx−3+23−x=1无解求出m的值，代入不等式组，求出不等式组的解集，根据整数解有且仅有3个，列出不等式，即可求解．
【详解】解：分式方程mx−3+23−x=1转化为整式方程得：m−2=x−3，
∴x＝m+1，
∵原方程无解，
∴x−3=0 ，
∴x=3 ，
∴m+1=3 ，
∴m＝2，
∴不等式组为2y−1≥3y−(2+n)<2，
解得y≥2y<4+n，
∵不等式组的整数解有且仅有3个，
∴4<4+n≤5 ，
∴0【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，解题的关键是能够根据分式方程无解求出m的值，根据不等式组只有3个整数解列出不等式．
7．（2022春·安徽宿州·七年级统考期末）阅读材料，并完成下列问题：
不难求得方程x+1x=3+13的解是 x1=3,x2=13；
x+1x=4+14的解是 x1=4,x2=14；
x+1x=5+15的解是 x1=5,x2=15；
（1）观察上述方程及其解,可猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是 ；
（2）解关于x的方程x2−x+1x−1=a+1a−1．
【答案】（1）x1=a，x2=1a；（2）x1=a，x2=aa−1．
【分析】（1）通过3例观察，猜想x1=a，x2=1a即可
（2）把给出的方程变形x−1+1x−1=a−1+1a−1，再利用（1）中猜想的结果来解即可
【详解】（1）猜想x1=a，x2=1a
验证：方程两边都乘x得x2+1=a+1ax
x2−a+1ax+1=0
x2−a+1ax+a·1a=0
x−a·x−1a=0
x1=a，x2=1a
猜想正确
（2）x2−x+1x−1=a+1a−1
x+1x−1=a+1a−1
x−1+1x−1=a−1+1a−1
x−1=a−1，x−1=1a−1
x1=a，x2=1a−1+1=aa−1
【点睛】本题考查规律探究，猜想与应用问题，掌握此类题的解题思想与方法，会利用探究引路进行猜想，为进一步验证猜想是否正确，可以给出证明进行佐证猜想的正确性，会将方程变形为探究模式，利用猜想求出变形后的方程的解，再整理是解题关键
8．（2022春·安徽安庆·七年级安庆市第四中学校考期末）已知，关于x的分式方程a2x+3−b−xx−5=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解；
(3)若a=3b，且a、b为正整数，当分式方程a2x+3−b−xx−5=1的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)x=−15
(2)112或5
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：22x+3−1−xx−5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：2(x−5)−(1−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
解得：x=−15，
检验：把x=−15代入(2x+3)(x−5)≠0，
∴原分式方程的解为：x=−15．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：12x+3−b−xx−5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：(x−5)−(b−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
去括号，得：x−5+2x2+3x−2bx−3b=2x2−7x−15，
移项、合并同类项，得：(11−2b)x=3b−10，
①当11−2b=0时，即b=112，原分式方程无解；
②当11−2b≠0时，得x=3b−1011−2b，
Ⅰ.x=−32时，原分式方程无解，
即3b−1011−2b=−32时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即3b−1011−2b=5时，
此时b=5；
综上所述，b=112或b=5时，分式方程a2x+3−b−xx−5=1无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程a2x+3−b−xx−5=1中，
得：3b2x+3+x−bx−5=1，
方程两边同时乘以(2x+3)(x−5)，
得：3b(x−5)+(x−b)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
整理得：(10+b)x=18b−15，
解得：x=18b−1510+b=18(b+10)−19510+b=18−19510+b，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
9．（2022春·安徽宿州·七年级统考期末）已知下面一列等式：
1×12=1−12；12×13=12−13；13×14=13−14；14×15=14−15；…
（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2) +1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4).
【答案】（1）一般性等式为1n(n+1）=1n−1n+1；（2）原式成立；详见解析；（3）4x2+4x.
【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.
【详解】解：（1）由1×12=1−12；12×13=12−13；13×14=13−14；14×15=14−15；…，
知它的一般性等式为1n(n+1）=1n−1n+1；
（2）∵1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1) =1n(n+1)=1n⋅1n+1，
∴原式成立；
（3）1x(x+1)+1(x+1)(x+2) +1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)
=1x−1x+1+1x+1−1x+2 +1x+2−1x+3+1x+3−1x+4
=1x−1x+4
=4x2+4x.
【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
10．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）已知实数a、b、c满足a+bc=b+ca=a+cb；计算：(a+b)(b+c)(a+c)abc.
【答案】8或-1
【分析】先设a+bc=b+ca=a+cb=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．
【详解】解：设a+bc=b+ca=a+cb=k，则
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=kc·ka·kbabc=k3=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=(−a)(−b)(−c)abc=-1．
故答案是8或-1．
【点睛】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．
考点5
相交线、平行线与平移解答期末真题压轴题
1．（2022春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．小安将一个含30 °角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P=90°，∠PMN=60°．
(1)填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“>”“<”或“=”）；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【答案】(1)=
(2)①α=60°；②∠MON的度数为30°+ 12 α或60°− 12 α
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【详解】（1）解：过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB=∠NPQ，
∵ AB∥CD，
∴ PQ∥CD，
∴∠PMD=∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN，
故答案为：=
（2）①∵ ON∥EF，PM∥EF，
∴ PO∥PM，
∴∠ONM=∠NMP，
∵∠PMN=60°，
∴∠ONM=∠PMN=60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO=∠ONM=60°，
∵ AB∥CD，
∴∠NOM=∠ANO=60°，
∴α=∠NOM=60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵ PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO= 12 ∠ANM=30°+ 12 α，
∵ AB∥CD，
∴∠MON=∠ANO=30°+ 12 α；
点N在G的左侧时，如图，
∵ PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α，
∵ AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO= 12 [180°−(60°+α)]=60°− 12 α，
∴∠MON=60°− 12 α，
综上所述，∠MON的度数为30°+ 12 α或60°− 12 α．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
2．（2022春·安徽宿州·七年级校考期末）如图，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E，F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE平分∠COF．
(1)求∠EOB的度数．
(2)若向右平行移动AB，其他条件不变，那么∠OBC:∠OFC的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．
(3)在向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)30°
(2)不变化，12
(3)存在，45°
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=12∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）设∠BOA=x°，表示出∠OBA，再根据∠OEC=∠OBA，列出方程求解．
【详解】（1）∵CB∥OA，
∴∠COA=180°－∠C=60°，∠FBO=∠BOA，
∵∠FOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠BOA，
∴∠FOB=12∠FOA，
∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=12∠FOC，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12(∠FOC+∠FOA)=12∠COA=30°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠OFC=∠FOA=∠FOB+∠BOA=∠OBC+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC:∠OFC=1：2=12；
（3）存在，∠BOA=45°，理由如下：
设∠BOA=x°，则∠FBO=∠FOB=x°，
∵CB∥OA，
∴∠CBA=180°－∠OAB=60°，∠OEC=∠EOA=∠EOB+∠BOA=(30＋x)°，
∴∠OBA=∠CBA－∠FBO=(60－x)°
∵∠OEC=∠OBA，
∴30+x=60−x，
解得x=15，
∴∠OBA=(60-15)°=45°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的和差运算，涉及方程思想，灵活运用这些性质是解题的关键．
3．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
(1)若三角板如图1摆放时，则∠α＝ ，∠β＝ ；
(2)现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠FHG的度数；
(3)现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，则∠BAM＝ ．（直接写出答案）
【答案】(1)15°；150°
(2)∠FHG=67.5°；
(3)30°或90°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质和三角板的角的度数解答即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（3）分当BC∥DE时，当BC∥EF时，当BC∥DF时，三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵PQ∥MN，
∴∠E=∠α+∠BAC，
∴α=∠E-∠BAC=60°-45°=15°，
∵E、C、A三点共线，
∴∠β=180°-∠DFE=180°-30°=150°；
故答案为：15°；150°；
（2）解：∵PQ∥MN，
∴∠GEF=∠CAB=45°，
∴∠FGQ=75°，
∵GH，FH分别平分∠FGQ和∠GFA，
∴∠FGH=37.5°，∠GFH=75°，
∴∠FHG=67.5°；
（3）解：当BC∥DE时，如图1，
此时∠CAE=∠DFE=30°，
∴∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE，
∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°；
当BC∥EF时，如图2，
此时∠BAE=∠ABC=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°；
当BC∥DF时，如图3，
此时，AC∥DE，∠CAN=∠DEG=15°，
∴∠BAM=∠MAN-∠CAN-∠BAC=180°-15°-45°=120°．
综上所述，∠BAM的度数为30°或90°或120°．
故答案为：30°或90°或120°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线性质和判定：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
4．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求∠APC的度数．
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】（1）∠APC＝108°；（2）∠APC＝α+β，理由见解析；（3）∠APC＝β﹣α．
【分析】（1）根据平行线的性质进行计算即可得到；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，然后根据平行线的性质得到α＝∠APE，β＝∠CPE，即可得到答案；
（3）过P作PE∥AB交AC于E，然后根据平行线的性质得到α＝∠APE，β＝∠CPE，即可得到答案；
【详解】（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝128°，∠PCD＝124°，
∴∠APE＝52°，∠CPE＝56°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝108°．
（2）∠APC＝α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；
（3）如图所示，过P作PE∥AB交AC于E
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α＝∠APE，β＝∠CPE，
∠CPA＝β﹣α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够正确的作出辅助线.
5．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD=3∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE//AB，并简要说明理由.
【答案】（1）∠BCD+∠ACE=180°，理由详见解析；（2）135°；（3）∠BCD等于150°或30°时，CE//AB.
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】解：（1）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴ ∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE =90°+90°=180°；
（2）如图①，设∠ACE=α，则∠BCD=3α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE=180°，
∴ 3α+α=180°，
∴ α=45，
∴ ∠BCD=3α=135°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当AB//CE时，∠BCE=180°−∠B=120°，
又∵ ∠DCE=90°，
∴ ∠BCD=360°−120°−90°=150°；
②如图2所示，当AB//CE时，∠BCE=∠B=60°，
又∵ ∠DCE=90°，
∴ ∠BCD=90°−60°=30°.
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE//AB.
【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.
6．（2022春·安徽蚌埠·七年级统考期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=12∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠FAC =30°；（3）∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【详解】试题分析：（1）依据平行线的性质以及判定，即可得到AB∥CD；
（2）依据AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，即可得到∠EAC=12∠BAE，∠EAF=12∠DAE，进而得出∠FAC=∠EAC+∠EAF=12（∠BAE+∠DAE）=12∠DAB；
（3）分两种情况讨论：当点E在线段CD上时；当点E在DC的延长线上时，分别依据AB∥CD，进而得到∠ACD：∠AED的值．
试题解析：解：（1）平行．
如图①．∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）如图②．∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=12∠BAE，∠EAF=12∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=12（∠BAE+∠DAE）=12∠DAB=30°；
（3）①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=12∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=12∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
点睛：本题主要考查了平行线的性质以及判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
7．（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）从今年开始，“金鸡百花电影节”长期落户厦门，为了主场馆更好的灯光效果，工作人员设计了灯光组进行舞台投射．其中一组灯光如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉投射．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0．假定舞台前后幕布是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）a=3，b=1；
（2）当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC：∠BCD=3：2
【分析】（1）根据|a-3b|+（a+b-4）2=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【详解】解：（1）∵a、b满足|a-3b|+（a+b-4）2=0，
∴a-3b=0，且a+b-4=0，
∴a=3，b=1；
（2）（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t=（20+t）×1，
解得t=10；
②当60＜t＜120时，
3t-3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85；
③当120＜t＜160时，
3t-360=t+20，
解得t=190＞160，（不合题意）
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
8．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
(1)如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系．
(2)如图，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C．
(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】(1)∠A+∠C=90°
(2)证明见解析
(3)105°
【分析】（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；
（2）过点B作BG//DM，根据同角的余角相等得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质得到∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；
（3）过点B作BG//DM，根据角平分线的定义得出∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，可得3α+β=75°，再根据AB⊥BC，得到β+β+2α=90°，解方程得到∠ABE=15°，继而得出，∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【详解】（1）如图1，
∵AM//CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG//DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM//BG，
∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C．
（3）如图3，过点B作BG//DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．
9．（2022春·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；
（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
10．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
(1)如图1，若∠CDE=25°，∠DEB=80°，则∠ABE的度数为________；
(2)如图2，BG平分∠ABE，GB的延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数；
(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)55°
(2)100°
(3)不变，40°
【分析】（1）过点E作ES∥CF，根据CF∥AK，则ES∥CF∥AK，运用平行线的性质计算即可．
（2） 延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．
（3） 过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：如图1，过点E作ES∥CF，
∵CF∥AK，
∴ES∥CF∥AK，
∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，
∴∠CDE+∠ABE =∠DES+∠SEB=∠DEB，
∵∠CDE=25°，∠DEB=80°，
∴∠ABE =∠DEB-∠CDE=80°-25°=55°．
故答案为：55°．
（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，
则∠DEB=∠EMB+∠EBM，
∵CF∥AK，BG平分∠ABE，
∴∠EMB=180°-∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=12∠MDF，
∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，
∴∠DEB=(180°-∠MDF) +2∠HBN=180°-∠MDF+2×(12∠MDF−∠DHB)，
∴∠DEB=180°-∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB，
∵∠DEB −∠DHB=60°，
∴∠DEB=180°-2(∠DEB-60°)，
∴3∠DEB=300°，
解得∠DEB=100°．
（3）解：过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，
根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，
∵∠DEB=100°，
∴∠EBM-∠NDE=40°，
∵EQ∥DN，
∴∠DEQ=∠NDE，
∴∠EBM =40°+∠DEQ，
∵EQ∥DN，DN∥BP，
∴EQ∥BP，
∴∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEB+∠PBM =180°，
∴∠PBM =180°-100°-40°=40°，
∴∠PBM 的度数不变，值为40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．a
0.0001
0.01
1
100
10000
a
________
0.1
1
10
________
a
0.0001
0.01
1
100
10000
a
0.01
0.1
1
10
100
图序
①
②
③
④
⑤
⑥
◇
1
4
9
25
☆
4
9
16
25