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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题43根式的应用和几何图形结合(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题43根式的应用和几何图形结合(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了如图，直线l等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
4．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______ ．
6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．
7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _____．
9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．
10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为45°．
①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；
②当是直角三角形时，求AP的长．
11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．
（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．
(1)求的长度．
(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．
(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．
13．（1）方法回顾
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：______．
证明：（请在答题纸上完成证明过程）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．
14．阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．
17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．
(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．
专题43 根式的应用和几何图形结合
1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则
设 则
而当时，则
∴的最小值是8，
∴的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
4．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______ ．
【答案】
【分析】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．
【答案】
【分析】过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，由题意易得∠NCH=∠MAD=90°，进而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，
∴∠NCH=∠MAD=90°，
∵AM=CN，
∴△NCH≌△MAD（SAS），
∴DM=NH，
若使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：
∴∠DCA=∠ECH=45°，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴在Rt△DEH中，；
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．
7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥x轴于F，连接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC结合等边三角形的性质即可得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；
【详解】解：如图，连接BE，过D作DF⊥x轴于F，
∵△AOB和△BCD是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，
∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，
∴DF=AD=m，AF=DF=m，
∵A（-2，0），
∴D（m-2，m），
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分，
∵△AOB是等边三角形，点A（-2，0），
过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
∴AG=1，BG=，
∴B（-1，），
∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），
设m-1=x，m-=y，
∴m=，m=，
∴=，
化简得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，熟练的掌握等边三角形和菱形的性质是解题的关键．
8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求出直线CD的关系式，然后将两个直线关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案．
【详解】∵△ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），
∴AO=4，
∴点A（0，4），
则，
解得．
设直线AB的关系式为y=kx+b，得
，
解得，
∴直线AB的关系式为y=-x+4．
当y=0时，x=4，
∴点E（4，0），
∴点D（4，4），
将点D坐标代入y=2x+b，
得4=8+b，
解得b=-4，
∴所以直线CD的关系式为y=2x-4.
将两个直线关系式联立，得
，
解得，
则点G，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键．
9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．
【答案】
【分析】分点E在线段AM上和点E在线段AM的延长线上两种情况，分别运用矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积进行解答即可．
【详解】解：如图（1），当点E在线段AM上时，连接DM，过点M作MH⊥AD，垂足为H
矩形ABCD
，
四边形ABMH为矩形
M是BC的中点，
在中，,则
∴
∴
∴
如图（2），当点E在线段AM的延长线上时，同（1）可证．
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用矩形的判定和性质定理成为解答本题的关键．
10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为45°．
①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；
②当是直角三角形时，求AP的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)①图见解析；②1或
【分析】（1）①先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
②连接，先根据旋转的性质证出是等边三角形，再根据三角形全等的判定证出，然后根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）①连接，以点为圆心、为半径画弧，交于点，再过点作的垂线，分别交于点；
②过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质、角的和差求出，然后分和两种情况，利用勾股定理求解即可得．
（1）
证明：①四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
，，
，即，
在和中，，
；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，，
，
，
在和中，，
，
，
由（1）①已证：，
，
，
是等腰三角形．
（2）
解：①如图，点即为所求．
②由旋转的性质得：，
如图，过点作于点，
则是等腰直角三角形，，
，
解得或（舍去），
，
，
，
，
，
则分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
则，
是等腰直角三角形，，
设，则，
，
在中，，即，
整理得：，
解得或（舍去），
，
；
（Ⅱ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
同理可得：，
设，则，
，
，
整理得：，
，
解得或（舍去），
；
综上，当是直角三角形时，的长为1或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、二次根式的运算、利用平方根解方程、作垂线、勾股定理等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．
（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
【答案】（1），；（2）①的长为；②最小值为2．
【分析】（1）如图，连接 过作于 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；
（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；②如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，连接 过作于
是等边三角形，
如图，当轴于时，而
同理可得：为等边三角形，
故答案为：
（2）①如图，当点落在上时，
同理可得：为等边三角形，
过作于 则
解得： （负根舍去）
②如图，作直线 交于 过作于 过作于
由旋转与矩形的性质可得：
点旋转后落在直线上，
由矩形
四边形是矩形，
设 则
设为
则 解得：
为
结合①问可得点在直线上，
为则
当旋转到与重合时，最短，如图，
由旋转可得：
所以的最小值为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.
12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．
(1)求的长度．
(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．
(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）易得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）设，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理，求出a的值，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的长度为a，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵在推进过程中的长度保持不变，
设，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，位置不变，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，而
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．
13．（1）方法回顾
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：______．
证明：（请在答题纸上完成证明过程）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】（1）DE∥BC，DE=BC，证明见解析；（2）GF=7；（3）GF=．
【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；
（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；
（3）先求出AG=HD的长，进而判断出△PDH为等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．
【详解】（1）DE∥BC，DE=BC，
证明：如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC．
故答案为：DE∥BC，DE=BC；
（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=3，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=3+4=7；
（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可证△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=2，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH=，
∴PF=PD+DF=+=2，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=2，
∴HF=，
∴GF=．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线．
14．阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）
【分析】类比应用：
（1）仿照题干中的过程进行计算；
（2）仿照题干中的过程进行计算；
拓展延伸：
（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；
（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
【详解】解：类比应用：
（1）根据题意可得：
=；
（2）根据题意可得：
=
=
=
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC===；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，
∴FD=EC=AD-AF==，
∴=，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=，
∴AE=，
在△AED中，
S△AED =，
即，则，
解得DG=，
∴点D到线段AE的距离为.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识．
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=；
②如图2，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；
即△ABC的面积是2或2．
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．
【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，
∴S△AEP＝×（2）2＝31，
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）10，
【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．
(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，MN2=AM2+BN2，代入计算即可；
（2）①将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，利用SAS证明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可证明结论；
②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，由①同理可证△MCE≌△MCN（SAS），得ME=MN，从而有MN2=AM2+BN2，将数据代入计算可得BM．
【详解】（1）解：∵△ANM是直角三角形，MN＞AM，MN＞BN，
∴MN2=AM2+BN2，
∴32=22+BN2，
∴BN=；
（2）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，
∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，
∴∠MAP=90°，
∵∠MCN=45°，∠NCP=90°，
∴∠MCP=∠MCN=45°，
∵CM=CM，CP=CN，
∴△MCN≌△MCP（SAS），
∴MN=PM，
∵MP2=AM2+AP2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，
∴AE=BN=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，
∴∠ECN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
在△MCE和△MCN中，
，
∴△MCE≌△MCN（SAS），
∴ME=MN，
∵ME2=AM2+AE2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴（+BM）2=（）2+（）2，
∴BM=．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量．
1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
4．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______ ．
6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．
7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _____．
9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．
10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为45°．
①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；
②当是直角三角形时，求AP的长．
11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．
（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．
(1)求的长度．
(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．
(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．
13．（1）方法回顾
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：______．
证明：（请在答题纸上完成证明过程）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．
14．阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．
17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．
(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．
专题43 根式的应用和几何图形结合
1．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，
∵， 是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵平分，
∴
∵，
设，则
在中，
∵
∴
解得
∴
∵
∴
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
2．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
3．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则
设 则
而当时，则
∴的最小值是8，
∴的最小值是
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
4．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=，令y=0，则x=，
则A（，0），B（0，），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB==2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC==x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD==x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x=x，
解得：x=+1，
∴AC=x=（+1）=，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为______ ．
【答案】
【分析】连接，过点B作交的延长线于点H，根据勾股定理的逆定理得到，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，过点B作交的延长线于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则(DM＋DN)2的最小值为____．
【答案】
【分析】过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，由题意易得∠NCH=∠MAD=90°，进而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：过点C作CH⊥AC，使得CH=AD，连接NH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，
∴∠NCH=∠MAD=90°，
∵AM=CN，
∴△NCH≌△MAD（SAS），
∴DM=NH，
若使的值为最小，只需DM+DN的值为最小，即NH+DN的值为最小，所以可得D、N、H三点共线时最小，则过点H作HE⊥DC于点E，如图所示：
∴∠DCA=∠ECH=45°，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴在Rt△DEH中，；
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．
7．如图，和都是等边三角形，若点，，点在第二象限内．将沿翻折得，当点在轴上运动时，设点的坐标为，则与的函数关系式为________．
【答案】
【分析】过D作DF⊥x轴于F，连接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC结合等边三角形的性质即可得出点D的坐标，由△AOB为等边三角形结合点A、O的坐标即可得出点B的坐标，由翻折的性质可得出四边形BCED是菱形，再根据菱形的性质结合点B、C、D的坐标即可得出点E的坐标，根据点E坐标的横纵坐标之间的关系即可得出结论；
【详解】解：如图，连接BE，过D作DF⊥x轴于F，
∵△AOB和△BCD是等边三角形，
∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，
∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，
∴∠DAF=∠BAO-∠BAD=∠BAO-∠BOC=30°，
∴DF=AD=m，AF=DF=m，
∵A（-2，0），
∴D（m-2，m），
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，
∴BE、CD互相平分，
∵△AOB是等边三角形，点A（-2，0），
过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
∴AG=1，BG=，
∴B（-1，），
∴E（m-2+1，m+m-），即（m-1，m-），
设m-1=x，m-=y，
∴m=，m=，
∴=，
化简得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，熟练的掌握等边三角形和菱形的性质是解题的关键．
8．如图，直线l：y＝2x+b交y轴于点C，点A在y轴的正半轴上，以OA为斜边作等腰直角△AOB，点B（2，2）．将△AOB向右平移得到△DEF，连结BE交直线l于点G．当A，B，E三点共线时，点D恰好落在直线l上，则的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据等腰直角三角形的性质和点B的坐标，求出点A的坐标，进而求出AB及直线AB的关系式，再令y=0，求出点E的坐标，进而得出点D的坐标，即可求出直线CD的关系式，然后将两个直线关系式联立求出点G的坐标，最后根据两点之间距离公式求出EG，即可得出答案．
【详解】∵△ABO是等腰直角三角形，且点B（2，2），
∴AO=4，
∴点A（0，4），
则，
解得．
设直线AB的关系式为y=kx+b，得
，
解得，
∴直线AB的关系式为y=-x+4．
当y=0时，x=4，
∴点E（4，0），
∴点D（4，4），
将点D坐标代入y=2x+b，
得4=8+b，
解得b=-4，
∴所以直线CD的关系式为y=2x-4.
将两个直线关系式联立，得
，
解得，
则点G，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数与一元二次方程的关系，两点之间的距离公式，等腰直角三角形的性质等，求出点G的坐标是解题的关键．
9．在矩形ABCD中，，，M是BC中点，，垂足为E，请用含a，b的代数式表示DE的长．
【答案】
【分析】分点E在线段AM上和点E在线段AM的延长线上两种情况，分别运用矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积进行解答即可．
【详解】解：如图（1），当点E在线段AM上时，连接DM，过点M作MH⊥AD，垂足为H
矩形ABCD
，
四边形ABMH为矩形
M是BC的中点，
在中，,则
∴
∴
∴
如图（2），当点E在线段AM的延长线上时，同（1）可证．
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用矩形的判定和性质定理成为解答本题的关键．
10．如图1，在正方形ABCD中，，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP绕着点B顺时针旋转，得到．
(1)已知旋转角为60°，点P与D点重合（如图2）．
①证明：；
②证明：是等腰三角形；
(2)已知旋转角为45°．
①请用无刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点P，使P、、三点在一直线上（不写作法，保留作图痕迹）；
②当是直角三角形时，求AP的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)①图见解析；②1或
【分析】（1）①先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
②连接，先根据旋转的性质证出是等边三角形，再根据三角形全等的判定证出，然后根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）①连接，以点为圆心、为半径画弧，交于点，再过点作的垂线，分别交于点；
②过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质、角的和差求出，然后分和两种情况，利用勾股定理求解即可得．
（1）
证明：①四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
，，
，即，
在和中，，
；
②如图，连接，
四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，
是等边三角形，，
，
，
在和中，，
，
，
由（1）①已证：，
，
，
是等腰三角形．
（2）
解：①如图，点即为所求．
②由旋转的性质得：，
如图，过点作于点，
则是等腰直角三角形，，
，
解得或（舍去），
，
，
，
，
，
则分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
则，
是等腰直角三角形，，
设，则，
，
在中，，即，
整理得：，
解得或（舍去），
，
；
（Ⅱ）如图，当时，是直角三角形，
过点作，交于点，
同理可得：，
设，则，
，
，
整理得：，
，
解得或（舍去），
；
综上，当是直角三角形时，的长为1或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、二次根式的运算、利用平方根解方程、作垂线、勾股定理等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
11．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60°得到．
（1）点的坐标为______；连接，若轴，则的值为______；
（2）如果．
①当点落在上时，求的长；
②请直接写出最小值．
【答案】（1），；（2）①的长为；②最小值为2．
【分析】（1）如图，连接 过作于 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；
（2）①如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；②如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.
【详解】解：（1）如图，连接 过作于
是等边三角形，
如图，当轴于时，而
同理可得：为等边三角形，
故答案为：
（2）①如图，当点落在上时，
同理可得：为等边三角形，
过作于 则
解得： （负根舍去）
②如图，作直线 交于 过作于 过作于
由旋转与矩形的性质可得：
点旋转后落在直线上，
由矩形
四边形是矩形，
设 则
设为
则 解得：
为
结合①问可得点在直线上，
为则
当旋转到与重合时，最短，如图，
由旋转可得：
所以的最小值为：
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.
12．四边形具有不稳定性，现将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形和平行四边形（如图），且，在一条直线上，点落在边上．经测量，发现此时、、三个点在一条直线上，，．
(1)求的长度．
(2)设的长度为，________（用含的代数式表示）．
(3)在保证，位置不变的前提条件下，从点向右推动的正方形，直到四边形刚好变为矩形时停止推动（如图）．若此时，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）易得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）设，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理，求出a的值，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的长度为a，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵在推进过程中的长度保持不变，
设，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，位置不变，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，而
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的乘除混合运算，熟练掌握矩形，正方形的性质是解题的关键．
13．（1）方法回顾
证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．
求证：______．
证明：（请在答题纸上完成证明过程）
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的长．
【答案】（1）DE∥BC，DE=BC，证明见解析；（2）GF=7；（3）GF=．
【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；
（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA）进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；
（3）先求出AG=HD的长，进而判断出△PDH为等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．
【详解】（1）DE∥BC，DE=BC，
证明：如图，延长DE 到点F，使得EF=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC．
故答案为：DE∥BC，DE=BC；
（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，
∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，
在△AEG和△DEH中，，
∴△AEG≌△DEH（ASA），
∴AG=HD=3，EG=EH，
∵∠GEF=90°，
∴EF垂直平分GH，
∴GF=HF=DH+DF=3+4=7；
（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可证△AEG≌△DEH，GF=HF，
∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=2，
∵∠ADC=120°，
∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，
∴∠HDP=45°，
∴△PDH为等腰直角三角形，
∴PD=PH=，
∴PF=PD+DF=+=2，
在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=2，
∴HF=，
∴GF=．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出△ADE≌△CFE，解（2）的关键是判断出EF垂直平分GH，解（3）的关键是作出辅助线．
14．阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：．
类比应用：
（1）化简： ；
（2）化简： ．
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）
【分析】类比应用：
（1）仿照题干中的过程进行计算；
（2）仿照题干中的过程进行计算；
拓展延伸：
（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；
（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
【详解】解：类比应用：
（1）根据题意可得：
=；
（2）根据题意可得：
=
=
=
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC===；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，
∴FD=EC=AD-AF==，
∴=，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=，
∴AE=，
在△AED中，
S△AED =，
即，则，
解得DG=，
∴点D到线段AE的距离为.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识．
15．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=；
②如图2，
∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；
即△ABC的面积是2或2．
16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．
【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31
【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；
（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；
（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，
∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2，
∴OP＝5，
∴AP＝＝＝2，
∵△APE是等边三角形，
∴S△AEP＝×（2）2＝7，
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，
∴S△AEP＝×（2）2＝31，
【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．
17．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）10，
【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可；
（2）把M、N两点代入，把根号下函数转化为顶点式即可求解；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，两点之间线段最短；作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，三角形中两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2），
∴当a=3时，Q[M，N]有最小值，最小值为：；
故最小值为：；
（3）连接AB交x轴于点C，此时有最小值，
此时；
作B关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，AC-BC=AC-=，
在x轴上任取一点，，
即
故的最小值为：10m；的最大值为．
【点睛】本题主要考查的是根据给出的新定义求解最值问题，解答本题的关键是熟悉题意，掌握两点之间线段最短，以及三角形两边之差小于第三边的特性．
18．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM，MN＞BN，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ．
(2)如图，在等腰直角ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M、N为直线AB上两点，满足∠MCN＝45°．
①如图2，点M、N在线段AB上，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；
②如图3，若点M在线段AB上，点N在线段AB的延长线上，AM，BN，求BM的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，MN2=AM2+BN2，代入计算即可；
（2）①将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，利用SAS证明△MCN≌△MCP，得MN=PM，即可证明结论；
②将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，由①同理可证△MCE≌△MCN（SAS），得ME=MN，从而有MN2=AM2+BN2，将数据代入计算可得BM．
【详解】（1）解：∵△ANM是直角三角形，MN＞AM，MN＞BN，
∴MN2=AM2+BN2，
∴32=22+BN2，
∴BN=；
（2）①证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAP，连接AP，MP，
∴CP=CN，∠CAP=∠B=45°，AP=BN，
∴∠MAP=90°，
∵∠MCN=45°，∠NCP=90°，
∴∠MCP=∠MCN=45°，
∵CM=CM，CP=CN，
∴△MCN≌△MCP（SAS），
∴MN=PM，
∵MP2=AM2+AP2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点；
将△CBN绕点C逆时针旋转90°得到△CAE，连接ME，
∴AE=BN=，CE=CN，∠ACE=∠BCN，∠CAE=∠CBN=135°，
∴∠MAE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠BCN+∠ECB=90°，
∴∠ECN=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ECM=45°=∠MCN，
在△MCE和△MCN中，
，
∴△MCE≌△MCN（SAS），
∴ME=MN，
∵ME2=AM2+AE2，
∴MN2=AM2+BN2，
∴（+BM）2=（）2+（）2，
∴BM=．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量．
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