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沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第15讲-含字母系数的方程(组)的解法(原卷版+解析)
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这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第15讲-含字母系数的方程(组)的解法(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了对于任意两个实数对和，规定，解方程组，已知实数，，满足，，求的值等内容，欢迎下载使用。
会解形如的方程；
理解二元一次方程组的解有多种可能性．
（此环节设计时间在10-15分钟）
说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z表示未知数。
回顾上次课的预习思考内容
形如的方程的解的情况讨论：
当时，方程有唯一解，为（等式基本性质）
当时，即，方程有无数个解，即解为一切数
当时，方程无解
二元一次方程组的解的可能性：
当时，方程组有唯一的解；
当，方程组无解；
当时，方程组有无数多个解
练习：
1．关于的方程无解，则a＝ ；
2．关于的方程无解，则m ，n ；
3．已知二元一次方程组无解，则a的值是（ ）
A．a＝－2 B．a＝6 C．a＝2 D．a＝－6
参考答案：1、5； 2、； 3、D
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：解关于的方程
教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变
参考答案：
试一试：解关于的方程
例题2：解关于、的二元一次方程组
教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便
参考答案：
试一试：解关于、的方程组：
参考答案：
例题3：若方程组的解与均为正数，求的取值范围．
教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m的看成是常数
参考答案：
解：解方程组得 因为与均为正数，即 所以.
解不等式组得，
所以的取值范围是．
试一试：已知关于的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
参考答案：
解：解方程组得
将代入 得，
例题4：关于x、y的二元一次方程组 的解中关于x与y的和等于1，求m的值。
教法说明：可先通过x与y的和等于1得 再和构成二元一次方程组
参考答案：
试一试：如果方程组的解满足，求的取值范围．
参考答案：
方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得 再根据得
解不等式得
方法二：由 得，
因为，所以 解不等式得：
1．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A．a＜−2B．a＞−2C．a＜2D．a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】
解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根题意分别把x=1、代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】
解析：∵当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，
∴代入得：，
①＋②得：，两边都除以2得：，
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
3．已知方程组的解满足方程x＋2y＝k，则k的值是__________.
【答案】－3
【解析】
【分析】
解出已知方程组中x，y的值代入方程x+2y=k即可．
【详解】
解：解方程组，
得，
代入方程x+2y=k，
得k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法．解二元一次方程利用把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
4．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解】
由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
5．（2017·上海浦东新区民办福山正达外国语学校七年级期中）对于任意两个实数对和，规定：当且仅当且时，，定义运算：若则_________；
【答案】3
【解析】
【分析】
根据所给的运算法则可得出，解得方程组求出p、q的值，进而可得出结论．
【详解】
∵（1，2）⊕（p，q）=（5，0），
∴，
解得，p=1，q=-2，
∴p-q=1-（-2）=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，解答此题的关键根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值．
6．（2021·上海市民办新复兴初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：，
得：，
代入②得：
故，
∴，
解得：．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法．
7．（2021·上海市延安初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
将①转化为的形式，然后代入②中消元求解的值，进而求解的值即可得方程组的解．
【详解】
解：，
由①得③，
将③代入②，，
解得
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的代入消元．
8．有一辆货车在运输行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，如表列出了部分剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）的对应关系：
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）；
（2）已知当油箱中剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【答案】（1）；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）设y关于x的函数关系式为：，结合题意，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合题意，当（升）时，通过列一元一次方程并求解，即可得到对应的行驶路程，经计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）设y关于x的函数关系式为：
根据题意，得：
∴
∴；
（2）当（升）时，得：
∴（千米）
∵行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程
∴这时离加油站的路程是：千米．
【点睛】
本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
9．（2021·上海市民办扬波中学期末）已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【详解】
解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：，，
，
代入得：，
，
可得：，，
，，
所以．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.
11．方程组有实数解，则k的取值范围是( )
A．B．C．D．．
【答案】D
【解析】
【分析】
使用代入法，易得x2-(2x-k)=2，再根据题意可得4-4(k-2)≥0，解即可．
【详解】
解：由得，y=2x-k，
将其代入，得
x2-(2x-k)=2，
∴△=4-4(k-2)≥0，
解得k≤3，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握△≥0时，方程有实数根．
12．如果方程组的解x、y的值相等 则m的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意x、y值相等，可计算出x=y=2,然后代入含有m的代数式中计算m即可
【详解】
x、y相等 即x=y=2，x-(m-1)y =6 即2−(m-1)×2=6 解得m=-1
故本题答案应为：B
【点睛】
二元一次方程组的解法是本题的考点，根据题意求出x、y的值是解题的关键
13．（2021·上海普陀·期末）将方程x＋2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y
【答案】B
【解析】
【详解】
解：，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
14．（2021·上海市进才中学北校期中）若+|a+b-3|=0，那么=_________________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵，，+|a+b-3|=0
∴，
解得，
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）整数为__________．时，方程组有正整数解．
【答案】-4
【解析】
【分析】
先用加减消元法解二元一次方程组得到，，再由方程组的解是正整数，得到，即可求出a．
【详解】
，
①-②2，得
，
，
将代入②式，得
，
又方程组是正整数解，
12时满足x、y均为正整数，
解得，
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若的展开式中不包含项和项，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可；
【详解】
，
，
，
∵不包含项和项，
∴，
解得：，
∴；
故答案是4．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．
17．（2021·上海市文来中学阶段练习）若方程组与有公共解，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】
先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到x、y的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于a、b的二元一次方程组求解得到a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
因为方程组与有公共解
所以方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
把代入方程组，得
解得，
∴a＋b＝1＋（−1）＝0．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题的关键是明确题意，知道二个二元一次方程组的公共解，适合任何一个二元一次方程，从而可以建立新的方程组进行解答．
18．（2021·上海市文来中学阶段练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
运用加减消元法解方程组，得到，然后解不等式，即可得到答案．
【详解】
解：，
则得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组．
19．（2021·上海市文来中学阶段练习）求使方程组的解成立的最小整数．
【答案】0
【解析】
【分析】
先用表示出，的值，再根据得出关于的不等式，据此求出的取值范围，再找出符合题意的最小整数值即可．
【详解】
解：
可得：
∴，
把代入①可得，
∵，
∴，解得，
∴最小的整数是0．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，根据题意用表示出，的值，是解决本题的关键．
20．解方程组：
【答案】或
【解析】
【分析】
因式分解方程组中的②，转化为两个二元一次方程，与原方程组中的①组成两个一次方程组，求解即可．
【详解】
由②，得（x＋3y）（x−2y）＝0．
∴x＋3y＝0③，x−2y＝0④．
由①③，①④组成新的方程组
，
解方程组，
得；
解方程组，
得．
∴方程组的解为: 或．
【点睛】
本题考查了高次方程的解法，二元一次方程组的解法．把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．
行驶路程x（千米）
0
150
300
……
剩余油量y（升）
60
45
30
……
第15讲-含字母系数的方程（组）的解法
会解形如的方程；
理解二元一次方程组的解有多种可能性．
（此环节设计时间在10-15分钟）
说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z表示未知数。
回顾上次课的预习思考内容
形如的方程的解的情况讨论：
当时，方程有唯一解，为（等式基本性质）
当时，即，方程有无数个解，即解为一切数
当时，方程无解
二元一次方程组的解的可能性：
当时，方程组有唯一的解；
当，方程组无解；
当时，方程组有无数多个解
练习：
1．关于的方程无解，则a＝ ；
2．关于的方程无解，则m ，n ；
3．已知二元一次方程组无解，则a的值是（ ）
A．a＝－2 B．a＝6 C．a＝2 D．a＝－6
参考答案：1、5； 2、； 3、D
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：解关于的方程
教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变
参考答案：
试一试：解关于的方程
例题2：解关于、的二元一次方程组
教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便
参考答案：
试一试：解关于、的方程组：
参考答案：
例题3：若方程组的解与均为正数，求的取值范围．
教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m的看成是常数
参考答案：
解：解方程组得 因为与均为正数，即 所以.
解不等式组得，
所以的取值范围是．
试一试：已知关于的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
参考答案：
解：解方程组得
将代入 得，
例题4：关于x、y的二元一次方程组 的解中关于x与y的和等于1，求m的值。
教法说明：可先通过x与y的和等于1得 再和构成二元一次方程组
参考答案：
试一试：如果方程组的解满足，求的取值范围．
参考答案：
方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得 再根据得
解不等式得
方法二：由 得，
因为，所以 解不等式得：
1．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A．a＜−2B．a＞−2C．a＜2D．a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】
解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根题意分别把x=1、代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】
解析：∵当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，
∴代入得：，
①＋②得：，两边都除以2得：，
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
3．已知方程组的解满足方程x＋2y＝k，则k的值是__________.
【答案】－3
【解析】
【分析】
解出已知方程组中x，y的值代入方程x+2y=k即可．
【详解】
解：解方程组，
得，
代入方程x+2y=k，
得k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法．解二元一次方程利用把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
4．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解】
由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
5．（2017·上海浦东新区民办福山正达外国语学校七年级期中）对于任意两个实数对和，规定：当且仅当且时，，定义运算：若则_________；
【答案】3
【解析】
【分析】
根据所给的运算法则可得出，解得方程组求出p、q的值，进而可得出结论．
【详解】
∵（1，2）⊕（p，q）=（5，0），
∴，
解得，p=1，q=-2，
∴p-q=1-（-2）=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，解答此题的关键根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值．
6．（2021·上海市民办新复兴初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：，
得：，
代入②得：
故，
∴，
解得：．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法．
7．（2021·上海市延安初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
将①转化为的形式，然后代入②中消元求解的值，进而求解的值即可得方程组的解．
【详解】
解：，
由①得③，
将③代入②，，
解得
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的代入消元．
8．有一辆货车在运输行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，如表列出了部分剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）的对应关系：
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）；
（2）已知当油箱中剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【答案】（1）；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）设y关于x的函数关系式为：，结合题意，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合题意，当（升）时，通过列一元一次方程并求解，即可得到对应的行驶路程，经计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）设y关于x的函数关系式为：
根据题意，得：
∴
∴；
（2）当（升）时，得：
∴（千米）
∵行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程
∴这时离加油站的路程是：千米．
【点睛】
本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
9．（2021·上海市民办扬波中学期末）已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【详解】
解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：，，
，
代入得：，
，
可得：，，
，，
所以．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.
11．方程组有实数解，则k的取值范围是( )
A．B．C．D．．
【答案】D
【解析】
【分析】
使用代入法，易得x2-(2x-k)=2，再根据题意可得4-4(k-2)≥0，解即可．
【详解】
解：由得，y=2x-k，
将其代入，得
x2-(2x-k)=2，
∴△=4-4(k-2)≥0，
解得k≤3，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握△≥0时，方程有实数根．
12．如果方程组的解x、y的值相等 则m的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意x、y值相等，可计算出x=y=2,然后代入含有m的代数式中计算m即可
【详解】
x、y相等 即x=y=2，x-(m-1)y =6 即2−(m-1)×2=6 解得m=-1
故本题答案应为：B
【点睛】
二元一次方程组的解法是本题的考点，根据题意求出x、y的值是解题的关键
13．（2021·上海普陀·期末）将方程x＋2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y
【答案】B
【解析】
【详解】
解：，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
14．（2021·上海市进才中学北校期中）若+|a+b-3|=0，那么=_________________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵，，+|a+b-3|=0
∴，
解得，
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）整数为__________．时，方程组有正整数解．
【答案】-4
【解析】
【分析】
先用加减消元法解二元一次方程组得到，，再由方程组的解是正整数，得到，即可求出a．
【详解】
，
①-②2，得
，
，
将代入②式，得
，
又方程组是正整数解，
12时满足x、y均为正整数，
解得，
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若的展开式中不包含项和项，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可；
【详解】
，
，
，
∵不包含项和项，
∴，
解得：，
∴；
故答案是4．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．
17．（2021·上海市文来中学阶段练习）若方程组与有公共解，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】
先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到x、y的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于a、b的二元一次方程组求解得到a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
因为方程组与有公共解
所以方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
把代入方程组，得
解得，
∴a＋b＝1＋（−1）＝0．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题的关键是明确题意，知道二个二元一次方程组的公共解，适合任何一个二元一次方程，从而可以建立新的方程组进行解答．
18．（2021·上海市文来中学阶段练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
运用加减消元法解方程组，得到，然后解不等式，即可得到答案．
【详解】
解：，
则得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组．
19．（2021·上海市文来中学阶段练习）求使方程组的解成立的最小整数．
【答案】0
【解析】
【分析】
先用表示出，的值，再根据得出关于的不等式，据此求出的取值范围，再找出符合题意的最小整数值即可．
【详解】
解：
可得：
∴，
把代入①可得，
∵，
∴，解得，
∴最小的整数是0．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，根据题意用表示出，的值，是解决本题的关键．
20．解方程组：
【答案】或
【解析】
【分析】
因式分解方程组中的②，转化为两个二元一次方程，与原方程组中的①组成两个一次方程组，求解即可．
【详解】
由②，得（x＋3y）（x−2y）＝0．
∴x＋3y＝0③，x−2y＝0④．
由①③，①④组成新的方程组
，
解方程组，
得；
解方程组，
得．
∴方程组的解为: 或．
【点睛】
本题考查了高次方程的解法，二元一次方程组的解法．把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．
行驶路程x（千米）
0
150
300
……
剩余油量y（升）
60
45
30
……
会解形如的方程；
理解二元一次方程组的解有多种可能性．
（此环节设计时间在10-15分钟）
说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z表示未知数。
回顾上次课的预习思考内容
形如的方程的解的情况讨论：
当时，方程有唯一解，为（等式基本性质）
当时，即，方程有无数个解，即解为一切数
当时，方程无解
二元一次方程组的解的可能性：
当时，方程组有唯一的解；
当，方程组无解；
当时，方程组有无数多个解
练习：
1．关于的方程无解，则a＝ ；
2．关于的方程无解，则m ，n ；
3．已知二元一次方程组无解，则a的值是（ ）
A．a＝－2 B．a＝6 C．a＝2 D．a＝－6
参考答案：1、5； 2、； 3、D
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：解关于的方程
教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变
参考答案：
试一试：解关于的方程
例题2：解关于、的二元一次方程组
教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便
参考答案：
试一试：解关于、的方程组：
参考答案：
例题3：若方程组的解与均为正数，求的取值范围．
教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m的看成是常数
参考答案：
解：解方程组得 因为与均为正数，即 所以.
解不等式组得，
所以的取值范围是．
试一试：已知关于的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
参考答案：
解：解方程组得
将代入 得，
例题4：关于x、y的二元一次方程组 的解中关于x与y的和等于1，求m的值。
教法说明：可先通过x与y的和等于1得 再和构成二元一次方程组
参考答案：
试一试：如果方程组的解满足，求的取值范围．
参考答案：
方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得 再根据得
解不等式得
方法二：由 得，
因为，所以 解不等式得：
1．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A．a＜−2B．a＞−2C．a＜2D．a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】
解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根题意分别把x=1、代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】
解析：∵当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，
∴代入得：，
①＋②得：，两边都除以2得：，
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
3．已知方程组的解满足方程x＋2y＝k，则k的值是__________.
【答案】－3
【解析】
【分析】
解出已知方程组中x，y的值代入方程x+2y=k即可．
【详解】
解：解方程组，
得，
代入方程x+2y=k，
得k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法．解二元一次方程利用把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
4．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解】
由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
5．（2017·上海浦东新区民办福山正达外国语学校七年级期中）对于任意两个实数对和，规定：当且仅当且时，，定义运算：若则_________；
【答案】3
【解析】
【分析】
根据所给的运算法则可得出，解得方程组求出p、q的值，进而可得出结论．
【详解】
∵（1，2）⊕（p，q）=（5，0），
∴，
解得，p=1，q=-2，
∴p-q=1-（-2）=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，解答此题的关键根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值．
6．（2021·上海市民办新复兴初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：，
得：，
代入②得：
故，
∴，
解得：．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法．
7．（2021·上海市延安初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
将①转化为的形式，然后代入②中消元求解的值，进而求解的值即可得方程组的解．
【详解】
解：，
由①得③，
将③代入②，，
解得
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的代入消元．
8．有一辆货车在运输行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，如表列出了部分剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）的对应关系：
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）；
（2）已知当油箱中剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【答案】（1）；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）设y关于x的函数关系式为：，结合题意，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合题意，当（升）时，通过列一元一次方程并求解，即可得到对应的行驶路程，经计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）设y关于x的函数关系式为：
根据题意，得：
∴
∴；
（2）当（升）时，得：
∴（千米）
∵行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程
∴这时离加油站的路程是：千米．
【点睛】
本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
9．（2021·上海市民办扬波中学期末）已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【详解】
解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：，，
，
代入得：，
，
可得：，，
，，
所以．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.
11．方程组有实数解，则k的取值范围是( )
A．B．C．D．．
【答案】D
【解析】
【分析】
使用代入法，易得x2-(2x-k)=2，再根据题意可得4-4(k-2)≥0，解即可．
【详解】
解：由得，y=2x-k，
将其代入，得
x2-(2x-k)=2，
∴△=4-4(k-2)≥0，
解得k≤3，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握△≥0时，方程有实数根．
12．如果方程组的解x、y的值相等 则m的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意x、y值相等，可计算出x=y=2,然后代入含有m的代数式中计算m即可
【详解】
x、y相等 即x=y=2，x-(m-1)y =6 即2−(m-1)×2=6 解得m=-1
故本题答案应为：B
【点睛】
二元一次方程组的解法是本题的考点，根据题意求出x、y的值是解题的关键
13．（2021·上海普陀·期末）将方程x＋2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y
【答案】B
【解析】
【详解】
解：，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
14．（2021·上海市进才中学北校期中）若+|a+b-3|=0，那么=_________________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵，，+|a+b-3|=0
∴，
解得，
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）整数为__________．时，方程组有正整数解．
【答案】-4
【解析】
【分析】
先用加减消元法解二元一次方程组得到，，再由方程组的解是正整数，得到，即可求出a．
【详解】
，
①-②2，得
，
，
将代入②式，得
，
又方程组是正整数解，
12时满足x、y均为正整数，
解得，
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若的展开式中不包含项和项，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可；
【详解】
，
，
，
∵不包含项和项，
∴，
解得：，
∴；
故答案是4．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．
17．（2021·上海市文来中学阶段练习）若方程组与有公共解，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】
先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到x、y的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于a、b的二元一次方程组求解得到a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
因为方程组与有公共解
所以方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
把代入方程组，得
解得，
∴a＋b＝1＋（−1）＝0．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题的关键是明确题意，知道二个二元一次方程组的公共解，适合任何一个二元一次方程，从而可以建立新的方程组进行解答．
18．（2021·上海市文来中学阶段练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
运用加减消元法解方程组，得到，然后解不等式，即可得到答案．
【详解】
解：，
则得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组．
19．（2021·上海市文来中学阶段练习）求使方程组的解成立的最小整数．
【答案】0
【解析】
【分析】
先用表示出，的值，再根据得出关于的不等式，据此求出的取值范围，再找出符合题意的最小整数值即可．
【详解】
解：
可得：
∴，
把代入①可得，
∵，
∴，解得，
∴最小的整数是0．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，根据题意用表示出，的值，是解决本题的关键．
20．解方程组：
【答案】或
【解析】
【分析】
因式分解方程组中的②，转化为两个二元一次方程，与原方程组中的①组成两个一次方程组，求解即可．
【详解】
由②，得（x＋3y）（x−2y）＝0．
∴x＋3y＝0③，x−2y＝0④．
由①③，①④组成新的方程组
，
解方程组，
得；
解方程组，
得．
∴方程组的解为: 或．
【点睛】
本题考查了高次方程的解法，二元一次方程组的解法．把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．
行驶路程x（千米）
0
150
300
……
剩余油量y（升）
60
45
30
……
第15讲-含字母系数的方程（组）的解法
会解形如的方程；
理解二元一次方程组的解有多种可能性．
（此环节设计时间在10-15分钟）
说明：本讲内容如果没有特别说明，在含有字母系数的方程（组）或不等式（组）中，一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z表示未知数。
回顾上次课的预习思考内容
形如的方程的解的情况讨论：
当时，方程有唯一解，为（等式基本性质）
当时，即，方程有无数个解，即解为一切数
当时，方程无解
二元一次方程组的解的可能性：
当时，方程组有唯一的解；
当，方程组无解；
当时，方程组有无数多个解
练习：
1．关于的方程无解，则a＝ ；
2．关于的方程无解，则m ，n ；
3．已知二元一次方程组无解，则a的值是（ ）
A．a＝－2 B．a＝6 C．a＝2 D．a＝－6
参考答案：1、5； 2、； 3、D
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：解关于的方程
教法说明：首先回顾下等式的基本性质：等式的两边同乘以（除以）同一个不为零的数，等式的性质不变
参考答案：
试一试：解关于的方程
例题2：解关于、的二元一次方程组
教法说明：解关于字母系数的二元一次方程组通常用加减消元比较简便
参考答案：
试一试：解关于、的方程组：
参考答案：
例题3：若方程组的解与均为正数，求的取值范围．
教法说明：要求学生会解简单的含字母系数的二元一次方程组，将本方程组中字母m的看成是常数
参考答案：
解：解方程组得 因为与均为正数，即 所以.
解不等式组得，
所以的取值范围是．
试一试：已知关于的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
参考答案：
解：解方程组得
将代入 得，
例题4：关于x、y的二元一次方程组 的解中关于x与y的和等于1，求m的值。
教法说明：可先通过x与y的和等于1得 再和构成二元一次方程组
参考答案：
试一试：如果方程组的解满足，求的取值范围．
参考答案：
方法一：解关于字母系数的二元一次方程组得 再根据得
解不等式得
方法二：由 得，
因为，所以 解不等式得：
1．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞2，则a的取值范围为（ ）
A．a＜−2B．a＞−2C．a＜2D．a＞2
【答案】A
【解析】
【分析】
先解根据关于x，y的二元一次方程组①+②得4x+4y=2-3a，；然后将其代入x＋y＞2，再来解关于a的不等式即可．
【详解】
解：
①+②得
4x+4y=2-3a
∴由x+y>2，得
即a<-2
故选A
【点睛】
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
2．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，则的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根题意分别把x=1、代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】
解析：∵当时，多项式的值是32，且当该多项式值为0，
∴代入得：，
①＋②得：，两边都除以2得：，
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
3．已知方程组的解满足方程x＋2y＝k，则k的值是__________.
【答案】－3
【解析】
【分析】
解出已知方程组中x，y的值代入方程x+2y=k即可．
【详解】
解：解方程组，
得，
代入方程x+2y=k，
得k=-3．
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法．解二元一次方程利用把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
4．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若关于x，y方程组无解，则m＝__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解；
【详解】
由得，
代入得，
整理得：，
当时，即时，无解，
∴当时，原方程组无解．
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
5．（2017·上海浦东新区民办福山正达外国语学校七年级期中）对于任意两个实数对和，规定：当且仅当且时，，定义运算：若则_________；
【答案】3
【解析】
【分析】
根据所给的运算法则可得出，解得方程组求出p、q的值，进而可得出结论．
【详解】
∵（1，2）⊕（p，q）=（5，0），
∴，
解得，p=1，q=-2，
∴p-q=1-（-2）=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，解答此题的关键根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值．
6．（2021·上海市民办新复兴初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：，
得：，
代入②得：
故，
∴，
解得：．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用加减消元法．
7．（2021·上海市延安初级中学期末）解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
将①转化为的形式，然后代入②中消元求解的值，进而求解的值即可得方程组的解．
【详解】
解：，
由①得③，
将③代入②，，
解得
将代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的代入消元．
8．有一辆货车在运输行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，如表列出了部分剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）的对应关系：
（1）求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）；
（2）已知当油箱中剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程，在开往加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【答案】（1）；（2）千米
【解析】
【分析】
（1）设y关于x的函数关系式为：，结合题意，通过求解二元一次方程组，即可得到答案；
（2）结合题意，当（升）时，通过列一元一次方程并求解，即可得到对应的行驶路程，经计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）设y关于x的函数关系式为：
根据题意，得：
∴
∴；
（2）当（升）时，得：
∴（千米）
∵行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站还有25千米路程
∴这时离加油站的路程是：千米．
【点睛】
本题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
9．（2021·上海市民办扬波中学期末）已知乘以得到的积中常数项为12，且不含有二次项，求的值．
【答案】-27
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积中常数项为12，且不含二次项，
得到，由此求出，，最后代值计算即可．
【详解】
解：
，
∵乘积中常数项为12，且不含二次项，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式中的不含某一项的问题，代数式求值，解二元一次方程组，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知实数，，满足，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先把化为 再代入可得，利用非负数的性质求解 从而可得的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：，，
，
代入得：，
，
可得：，，
，，
所以．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.
11．方程组有实数解，则k的取值范围是( )
A．B．C．D．．
【答案】D
【解析】
【分析】
使用代入法，易得x2-(2x-k)=2，再根据题意可得4-4(k-2)≥0，解即可．
【详解】
解：由得，y=2x-k，
将其代入，得
x2-(2x-k)=2，
∴△=4-4(k-2)≥0，
解得k≤3，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握△≥0时，方程有实数根．
12．如果方程组的解x、y的值相等 则m的值是（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意x、y值相等，可计算出x=y=2,然后代入含有m的代数式中计算m即可
【详解】
x、y相等 即x=y=2，x-(m-1)y =6 即2−(m-1)×2=6 解得m=-1
故本题答案应为：B
【点睛】
二元一次方程组的解法是本题的考点，根据题意求出x、y的值是解题的关键
13．（2021·上海普陀·期末）将方程x＋2y＝11变形为用含x的式子表示y，下列变形中正确的是（ ）
A．y＝B．y＝C．x＝2y﹣11D．x＝11﹣2y
【答案】B
【解析】
【详解】
解：，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
14．（2021·上海市进才中学北校期中）若+|a+b-3|=0，那么=_________________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵，，+|a+b-3|=0
∴，
解得，
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）整数为__________．时，方程组有正整数解．
【答案】-4
【解析】
【分析】
先用加减消元法解二元一次方程组得到，，再由方程组的解是正整数，得到，即可求出a．
【详解】
，
①-②2，得
，
，
将代入②式，得
，
又方程组是正整数解，
12时满足x、y均为正整数，
解得，
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，属于基础题，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
16．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若的展开式中不包含项和项，则＝__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据多项式乘以多项式的方法展开，根据已知条件求出m，n，代入求解即可；
【详解】
，
，
，
∵不包含项和项，
∴，
解得：，
∴；
故答案是4．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组的求解、代数式求值，准确计算是解题的关键．
17．（2021·上海市文来中学阶段练习）若方程组与有公共解，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】
先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到x、y的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于a、b的二元一次方程组求解得到a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
因为方程组与有公共解
所以方程组的解也是方程组的解，
解方程组得，
把代入方程组，得
解得，
∴a＋b＝1＋（−1）＝0．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题的关键是明确题意，知道二个二元一次方程组的公共解，适合任何一个二元一次方程，从而可以建立新的方程组进行解答．
18．（2021·上海市文来中学阶段练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
运用加减消元法解方程组，得到，然后解不等式，即可得到答案．
【详解】
解：，
则得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组．
19．（2021·上海市文来中学阶段练习）求使方程组的解成立的最小整数．
【答案】0
【解析】
【分析】
先用表示出，的值，再根据得出关于的不等式，据此求出的取值范围，再找出符合题意的最小整数值即可．
【详解】
解：
可得：
∴，
把代入①可得，
∵，
∴，解得，
∴最小的整数是0．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，根据题意用表示出，的值，是解决本题的关键．
20．解方程组：
【答案】或
【解析】
【分析】
因式分解方程组中的②，转化为两个二元一次方程，与原方程组中的①组成两个一次方程组，求解即可．
【详解】
由②，得（x＋3y）（x−2y）＝0．
∴x＋3y＝0③，x−2y＝0④．
由①③，①④组成新的方程组
，
解方程组，
得；
解方程组，
得．
∴方程组的解为: 或．
【点睛】
本题考查了高次方程的解法，二元一次方程组的解法．把原方程组转化为两个二元一次方程组是解决本题的关键．
行驶路程x（千米）
0
150
300
……
剩余油量y（升）
60
45
30
……
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