沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第18讲-线段与角的概念(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上学期重难点精品讲义 第18讲-线段与角的概念(原卷版+解析)，共30页。

掌握用尺规画一条线段等于已知线段，了解一些基本的画图语句；
掌握用直尺、圆规作线段的和、差、倍，掌握用度量法求作线段的中点，了解如何用直尺圆规作线段中点；
掌握角的四种表示方法，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上．
直线、射线、线段间的区别：
线段的表示方法：
线段的大小比较方法：
连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，两点之间，线段最短。
尺规作线段AB的中点C：
角的定义：
角的表示方法：
1．经过一点，有________条直线；经过两点有_______条直线。
2．如图，图中共有_________条线段， 有_________条射线， 有_________条直线。
3．线段AB＝8，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是_________。
4．将线段AB延长至C，使BC＝AB，延长BC至点D，使CD＝BC，延长CD至点E，使DE＝CD，若CE＝8 ，则AB＝ 。
5．线段AD上两点B、C将AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，若MC＝2，求线段AD的长为 。
案例1：
问题1：下图中各有多少条线段？
问题2：下图中各有多少条线段？
问题3：下列图中共多少个三角形？
案例2：
问题1：如下图，C是AB中点，D是AC中点，DB ＝ 18 cm，求AB的长．
问题2：如下图，已知C、D、E、F是线段AB的五等分点
（1）点D是哪些线段的中点？ （2）点E是哪些线段的一个三等分点？
问题3：如下图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等分点，已知AB＝12 cm，求线段CF＋DF＋EF的长．
例题3：在右图中按所给的语句画图：
（1）画直线AB；
（2）画射线CA；
（3）画线段BC并反向延长线段CB；
（4）用圆规在线段BC上，画出点D，使CD＝BC—AC．
试一试：如图线段AB：
（1）用圆规和直尺，不写作法，保留作图痕迹，作出线段AC的中点M；
（2）如果点N为DB的中点，且AB＝6，CD＝2，则MN＝ ．
例题4：有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能帮他确定C地的位置吗？请你在图中画出C地．
试一试：
1．如图，世纪公园大致在东方明珠的什么位置？答：
2．A、B两个城市的位置如图所示， 则B城在A城的______________方向。
1．（2021·上海市进才中学北校期末）已知点C是线段AB上一点（与端点A、B不重合），点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，，那么线段MN的长等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
2．（2021·上海松江·期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DBB．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣ABD．AB﹣CD＝AC﹣BD
3．（2019·上海民办华二浦东实验学校阶段练习）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为，AB长为整数，则以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·上海闵行·期末）已知线段AB、CD，AB＜CD，如果将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，这时点B的位置必定是（ ）
A．点B在线段CD上（C、D之间）
B．点B与点D重合
C．点B在线段CD的延长线上
D．点B在线段DC的延长线上
5．（2021·上海市西南模范中学期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且，如果cm，cm，那么BD的长等于______cm．
6．（2021·上海市民办沪东外国语学校期末）如图，点C、D是线段的三等分点，如果点M、N分别是线段、的中点，那么的值等于_______．
7．（2021·上海市进才中学北校期末）如图，线段，点P是线段AB上一点．且，Q是直线AB上一点，且，则PQ：AB的值是______．
8．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）在射线OP上截取OC=5cm，在射线CO截取CD=3cm，点A、B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于______cm．
9．（2021·上海市延安初级中学期末）如图，点C、D在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)如图1，当点C在点D的左侧时，
①如果，，则_________．
②如果，，则________．
(2)如图2，当点C在点D的右侧时，与、的数量关系是_________．
10．（2021·上海普陀·期末）已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
①画射线OP；
②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；
③在线段OB上截取BC＝b；
④作出线段OC的中点D．
(1)根据以上作图可知线段OC＝ ；（用含有a、b的式子表示）
(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝ 厘米．
11．（2019·上海民办华二浦东实验学校阶段练习）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM=1，BC=4，求MN的长度；
（2）若MN=5，求AB的长度．
12．（2021·上海普陀·期末）已知点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：3：4，如果AB＝18，那么线段AD的长是（ ）
A．4B．5C．10D．14
13．（2013·上海静安·九年级期末）如果延长线段AB到C，使得，那么AC∶AB等于
A．2∶1B．2∶3C．3∶1D．3∶2
14．（2021·上海市延安初级中学期末）如图，C是线段上的一点，D是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段的长度是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
15．（2021·上海市西南模范中学期末）如图，已知线段，，点P、Q分别是AM、AB的中点．
（1）如图，当点M在线段AB上时，则PQ的长为______．
（2）当点M在BA的延长线上时，则PQ的长为______．
16．（2021·上海市建平中学西校期末）如图，点C是线段AB上一点，且AB＝3BC，点D是AB的中点，DC＝2，那么AB的长为______．
17．（2021·上海浦东新·期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝______．
18．（2021·上海·期末）已知射线，在射线上截取OC=10cm，在射线上截取CD=6cm，如果点、点分别是线段、的中点，那么线段的长等于_______cm．
19．（2021·上海中学东校期末）已知点A、B、C在同一直线上，，．若点P为AB的中点，点Q为BC的中点，求PQ的长．
20．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）A、B、C、D四个小区在同一条路上，为了给小区的居民出行带来方便准备在这条路上增设一个车站，车站应建在哪里使车站与各个小区的距离和最短，请同学们设计出方案．
21．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）线段上有两点P，Q，，，，求的长．
端点个数
延伸情况
能否延长
能否比较大小
直线
射线
线段
第18讲-线段与角的概念
掌握用尺规画一条线段等于已知线段，了解一些基本的画图语句；
掌握用直尺、圆规作线段的和、差、倍，掌握用度量法求作线段的中点，了解如何用直尺圆规作线段中点；
掌握角的四种表示方法，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上．
（此环节设计时间在10—15分钟）
直线、射线、线段间的区别：
线段的表示方法：
（1）用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点，记作线段AB；
（2）用一个小写英文字母，如a，记作线段a。
线段的大小比较方法：
（1）度量法，用尺测量；
（2）叠合法，将他们移到一起，把一端对齐，便可直接比较。
连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，两点之间，线段最短。
尺规作线段AB的中点C：
以点A为圆心，以大于的长a为半径作弧，以点B为圆心，以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、点F；
作直线EF，交线段AB于点C。
点C就是所求的线段AB的中点。
角的定义：
（1）角是具有公共端点的两条射线组成的图形；
（2）角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边。
角的表示方法：
（1）用一个角的符号∠，加上三个大写英文字母表示．例如，∠ABC、∠XYZ；
（2）用一个角的符号∠，加上表示顶点的一个大写字母表示．例如，∠A、∠B；
（3）用一个角的符号∠，加上一个希腊字母表示．例如，∠α、∠β；
（4）用一个角的符号∠，加上一个数字表示．例如，∠1、∠2
1．经过一点，有________条直线；经过两点有_______条直线。
2．如图，图中共有_________条线段， 有_________条射线， 有_________条直线。
3．线段AB＝8，C是AB的中点，D是BC的中点，A、D两点间的距离是_________。
4．将线段AB延长至C，使BC＝AB，延长BC至点D，使CD＝BC，延长CD至点E，使DE＝CD，若CE＝8 ，则AB＝ 。
5．线段AD上两点B、C将AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，若MC＝2，求线段AD的长为 。
参考答案：1、无数，一条； 2、6，8，1； 3、6； 4、54； 5、36。
（此环节设计时间在50—60分钟）
案例1：
问题1：下图中各有多少条线段？
解析：从点A出发有5条，分别是AB，AC，AD，AE，AF；
从点B出发有4条，分别是BC，BD，BE，BF；
从点C出发有3条，分别是CD，CE，CF；
从点D出发有2条，分别是DE，DF；
从点E出发有1条，分别是EF
所以共有：5＋4＋3＋2＋1＝15条．
问题2：下图中各有多少条线段？
解析，参考问题1的方法可得：2015＋2014＋…＋2＋1＝2031120
总结：如果一条线段上有n个点，则有线段（n—1）＋（n—2）＋…＋2＋1＝
问题3：下列图中共多少个三角形？
解析：线段AF上有15条线段，则有15个三角形．
案例2：
问题1：如下图，C是AB中点，D是AC中点，DB ＝ 18 cm，求AB的长．
参考答案：24
问题2：如下图，已知C、D、E、F是线段AB的五等分点
（1）点D是哪些线段的中点？ （2）点E是哪些线段的一个三等分点？
参考答案：（1）点D是线段CE和AF的中点，（2）点E是线段CF和DB的三等分点
问题3：如下图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等分点，已知AB＝12 cm，求线段CF＋DF＋EF的长．
参考答案：8
例题3：在右图中按所给的语句画图：
（1）画直线AB；
（2）画射线CA；
（3）画线段BC并反向延长线段CB；
（4）用圆规在线段BC上，画出点D，使CD＝BC—AC．
参考答案：略
试一试：如图线段AB：
（1）用圆规和直尺，不写作法，保留作图痕迹，作出线段AC的中点M；
（2）如果点N为DB的中点，且AB＝6，CD＝2，则MN＝ ．
参考答案：（1）略； （2）5
例题4：有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能帮他确定C地的位置吗？请你在图中画出C地．
参考答案：略。
教法说明：在描述方位角时，我们一般要求按南北偏东西
试一试：
1．如图，世纪公园大致在东方明珠的什么位置？答：
2．A、B两个城市的位置如图所示， 则B城在A城的______________方向。
参考答案：（1）南偏东70°； （2）南偏西30°
1．（2021·上海市进才中学北校期末）已知点C是线段AB上一点（与端点A、B不重合），点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，，那么线段MN的长等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由于点M是线段AC中点，所以，由于点N是线段BC中点，则，而，从而可以求出MN的长度．
【详解】
如图，
∵M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，
∴
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．
2．（2021·上海松江·期末）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）
A．CD＝AC﹣DBB．BD+AC＝2BC﹣CD
C．2CD＝2AD﹣ABD．AB﹣CD＝AC﹣BD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．
【详解】
解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD＝AC﹣BD；
∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；
∵CD＝AD﹣AC，
∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；
∴选项A、B、C均正确．
而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；
∴答案D错误符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2019·上海民办华二浦东实验学校阶段练习）如图，在线段AB上有C、D两点，CD长度为，AB长为整数，则以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC＋CD＋DB＋AD＋CB＋AB，然后根据CD＝1，线段AB的长度是一个正整数，可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC＋CD＋DB＋AD＋CB＋AB＝（AC＋CD＋DB）＋（AD＋CB）＋AB＝AB＋AB＋CD＋AB＝3AB＋CD，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1，
∴以A、B、C、D为端点的所有线段长度和不可能为21．
故选A．
【点睛】
本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（2021·上海闵行·期末）已知线段AB、CD，AB＜CD，如果将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，这时点B的位置必定是（ ）
A．点B在线段CD上（C、D之间）
B．点B与点D重合
C．点B在线段CD的延长线上
D．点B在线段DC的延长线上
【答案】A
【解析】
【分析】
根据叠合法比较大小的方法始点重合，看终点可得点B在线段CD上，可判断A，点B与点D重合，可得线段AB=CD，可判断B，利用AB＞CD，点B在线段CD的延长线上，可判断C, 点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，无法比较大小可判断D．
【详解】
解：将AB移动到CD的位置，使点A与点C重合，AB与CD叠合，如图，
点B在线段CD上（C、D之间），故选项A正确，
点B与点D重合，则有AB=CD与AB＜CD不符合，故选项B不正确；
点B在线段CD的延长线上，则有AB＞CD，与AB＜CD不符合，故选项C不正确；
点B在线段DC的延长线上，没有将AB移动到CD的位置，故选项D不正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查线段的比较大小的方法，掌握叠合法比较线段大小的方法与步骤是解题关键．
5．（2021·上海市西南模范中学期末）如图，点C、点D是线段AB上的两个点，且，如果cm，cm，那么BD的长等于______cm．
【答案】5
【解析】
【分析】
先求出，再由进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，即，
∵cm，
∴cm．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查了线段的和与差，解题的关键在于能够求出．
6．（2021·上海市民办沪东外国语学校期末）如图，点C、D是线段的三等分点，如果点M、N分别是线段、的中点，那么的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用点C、D是线段的三等分点分别用表示AC和BD，然后再利用点M和N分别是和的中点得到与 ，最后用表示出MN的长度，即可求解.
【详解】
解：∵点C、D是线段的三等分点，
∴，
∵点M和N分别是和的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键.
7．（2021·上海市进才中学北校期末）如图，线段，点P是线段AB上一点．且，Q是直线AB上一点，且，则PQ：AB的值是______．
【答案】或1
【解析】
【分析】
由题意易求得，．分类讨论①当Q在线段AB上、②当Q在线段AB延长线上时和③当Q在线段BA延长线上，根据线段的和与差，计算出PQ的长，作比即可．
【详解】
，，，
，，
①如图，当Q在线段AB上时，
，，，
，即，
∴，
；
②如图，当Q在线段AB延长线上时，
，
，
，
；
③如图，当Q在线段BA延长线上时，
，
∴此情况不成立．
综上可知，的值为或1．
故答案为：或1．
【点睛】
本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
8．（2021·上海市嘉定区金鹤学校期末）在射线OP上截取OC=5cm，在射线CO截取CD=3cm，点A、B分别是线段OC、CD的中点，那么线段AB的长等于______cm．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据线段的差得到OD=OC-CD=2，根据线段的中点，得到BD=1.5，OA=2.5，
从而得到AD的长为0.5，从而得到AB的长．
【详解】
如图，∵OC=5cm，CD=3cm，点A、B分别是线段OC、CD的中点，
∴OD=OC-CD=2，BD=1.5，OA=2.5，
∴AD=0.5，
∴AB=BD-AD=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了线段的和差运算，线段的中点即线段上一点，把线段分成相等的两条线段，熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和差计算是解题的关键．
9．（2021·上海市延安初级中学期末）如图，点C、D在线段上，点M是的中点，点N是的中点．
(1)如图1，当点C在点D的左侧时，
①如果，，则_________．
②如果，，则________．
(2)如图2，当点C在点D的右侧时，与、的数量关系是_________．
【答案】(1)①3；②4
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据线段中点的定义可得，，利用线段的和可得，再加上CD即可得到结论；②根据线段中点的定义可得DN的长，利用线段的和可得结论；
（2）根据线段中点的定义可得，，利用线段的和差可得结论．
(1)
①∵点M是的中点，点N是的中点，
，，
∵，，
∴，即，
∴．
故答案为：3．
②由①可知，
又，
∴，
∴
．
故答案为：4．
(2)
∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，，
∵，，
，
∴
，
∴与，的数量关系是：．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键．
10．（2021·上海普陀·期末）已知线段a、b（如图），用直尺和圆规在方框内按以下步骤作图：（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论）
①画射线OP；
②在射线OP上顺次截取OA＝a，AB＝a；
③在线段OB上截取BC＝b；
④作出线段OC的中点D．
(1)根据以上作图可知线段OC＝ ；（用含有a、b的式子表示）
(2)如果OD＝2厘米，CD＝2AC，那么线段BC＝ 厘米．
【答案】(1)作图见解答，
(2)6
【解析】
【分析】
利用基本作图画出对应的几何图形，（1）根据线段的和差得到；（2）先利用点为的中点得到厘米，则厘米，然后利用进行计算．
(1)
解：如图，
；
故答案为：；
(2)
解：点为的中点，
厘米，
，
厘米，
（厘米）；
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了作图复杂作图，两点间的距离，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
11．（2019·上海民办华二浦东实验学校阶段练习）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM=1，BC=4，求MN的长度；
（2）若MN=5，求AB的长度．
【答案】（1）MN= 3；（2）AB= 10．
【解析】
【分析】
（1）由已知可求得CN的长，即可求得MN的长度；
（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知MN的长则不难求得AB的长度．
【详解】
（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM=1，BC=4
∴CN=2，AM=CM=1
∴MN=MC+CN=3；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，MN=5，
∴AB=AC+BC=2CM+2CN=2（CM+CN）=2MN=10．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
12．（2021·上海普陀·期末）已知点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：3：4，如果AB＝18，那么线段AD的长是（ ）
A．4B．5C．10D．14
【答案】C
【解析】
【分析】
设AC=2x，CD=3x，DB=4x，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】
∵AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，CD=3x，DB=4x，
∴AB=9x，
∵AB=18，
∴x=2，
∴AD=2x+3x=5x=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，线段的中点的定义，正确的理解题意是解题的关键．
13．（2013·上海静安·九年级期末）如果延长线段AB到C，使得，那么AC∶AB等于
A．2∶1B．2∶3C．3∶1D．3∶2
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得AC=AB+BC=AB+AB=AB，所以AC∶AB=AB：AB=3:2.
考点：线段的加减
点评：该题较为简单，主要考查学生对线段的加减，可以通过画图直观表示出来．
14．（2021·上海市延安初级中学期末）如图，C是线段上的一点，D是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段的长度是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
可以设出AC和CD的长，再根据图中所有线段的长度之和为16，即可列出等式，再根据线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，即可求出答案．
【详解】
解：设，，
，
即：，
得：．
因为线段的长度与线段的长度都是正整数，
所以可知x最大为2，
可知：，y为小数，不符合；
，，符合题意．
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查了比较线段长短的知识，有一定难度，解题的关键是根据题意列出方程式，并探讨解的合理性．
15．（2021·上海市西南模范中学期末）如图，已知线段，，点P、Q分别是AM、AB的中点．
（1）如图，当点M在线段AB上时，则PQ的长为______．
（2）当点M在BA的延长线上时，则PQ的长为______．
【答案】 8 ##
【解析】
【分析】
（1）当点M在线段AB上时，根据，，可得，，再由点P、Q分别是AM、AB的中点，可得，，即可求解；
（2）当点M在线段AB外时，根据，，可得，从而得到，，再由点P、Q分别是AM、AB的中点，可得，，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，当点M在线段AB上时，
∵，，
∴，，
∵点P、Q分别是AM、AB的中点，
∴，，
∴．
故答案为：8．
（2）当点M在线段AB外时，如图：
∵，，
∴，
∴，，
∵点P、Q分别是AM、AB的中点，
∴，，
∴．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
16．（2021·上海市建平中学西校期末）如图，点C是线段AB上一点，且AB＝3BC，点D是AB的中点，DC＝2，那么AB的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据已知条件得到，由点是线段的中点，得到，根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得到结论．
【详解】
解析 ，
，
又因为点是线段的中点，所以，，
由题中可以看出，，即，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，也考查了同学们的准确识图能力，是基础题．
17．（2021·上海浦东新·期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝15cm，，点O是线段AC的中点，则线段OB＝______．
【答案】5cm
【解析】
【分析】
先求出AC，再由中点定义求出CO即可得到OB．
【详解】
解：∵AB＝15cm，，
∴AC＝AB+BC＝15+5＝20（cm）；
∵点O是线段AC的中点，
∴CO＝AC＝×20＝10（cm），
∴OB＝CO﹣BC＝10﹣5＝5（cm）．
故答案为：5cm．
【点睛】
此题考查了线段的和与差计算，正确掌握线段中点的定义及各线段之间的位置关系是解题的关键．
18．（2021·上海·期末）已知射线，在射线上截取OC=10cm，在射线上截取CD=6cm，如果点、点分别是线段、的中点，那么线段的长等于_______cm．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据OC、CD和中点A、B求出AC和BC，利用AB=AC-BC即可．
【详解】
解：如图所示，
，，
点、点分别是线段、的中点，
，，
．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查线段的和差计算，以及线段的中点，能准确画出对应的图形是解题的关键．
19．（2021·上海中学东校期末）已知点A、B、C在同一直线上，，．若点P为AB的中点，点Q为BC的中点，求PQ的长．
【答案】或
【解析】
【详解】
解：∵，，且P为AB的中点，Q为BC中点．
①如图，当点C在线段AB上时：
则，，
，且，故．
∴，，
∴，Q为BC中点，∴，
∴．
②如图，当点C在AB的延长线上时，
∵P为AB的中点，Q为BC中点，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴．
故PQ的长为：或9cm．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，线段的和差；分C点在AB上和C点在AB延长线上两种情况讨论是解题关键．
20．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）A、B、C、D四个小区在同一条路上，为了给小区的居民出行带来方便准备在这条路上增设一个车站，车站应建在哪里使车站与各个小区的距离和最短，请同学们设计出方案．
【答案】车站应建在C、D之间的任意位置（可以与C、D重合），若点M在CD之间（可以与C、D重合），设车站为点M，CM+DM=CD，CA+CB=AB，最短距离和为AB+AC．
【解析】
【分析】
设车站为点M，将M点分别设在线段AC、线段CD、线段BD上，再分别求出到各个小区的距离之和，比较即得．
【详解】
解：车站应建在C、D之间的任意位置（可以与C、D重合），理由如下：
设车站为点M
当M在线段CD上时
MA+MB+MC+MD=AB+CD
当M在线段AC上时
MA+MB+MC+MD=AB+MC+CD+MC=AB+CD+2MC
当M在线段BD上时
MA+MB+MC+MD=AB+MD+CD+MD=AB+CD+2MD
∵AB+CD∴车站在线段CD上即车站应建在C、D之间的任意位置（可以与C、D重合）．
【点睛】
本题考查了线段和差，解题关键是分情况求解距离和，并比较大小．
21．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）线段上有两点P，Q，，，，求的长．
【答案】23或1
【解析】
【分析】
本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、P、Q四点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．
【详解】
解：本题有两种情形：
（1）当点Q在线段AP上时，如图，BQ＝BP＋PQ＝AB−AP＋PQ＝26−14＋11＝23；
（2）当点Q在线段BP上时，如图，BQ＝BP−PQ＝AB−AP-PQ＝26−14−11＝1．
故答案为：23或1．
【点睛】
本题考查了比较线段长短的知识，注意在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
端点个数
延伸情况
能否延长
能否比较大小
直线
0
向两方延伸
否
否
射线
1
向一方延伸
可，反向延长
否
线段
2
不能延伸
可，两向延长
能