第2章 对称图形-圆 苏科版九年级数学上册单元能力提升测试(含答案)

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【单元测试】第2章 对称图形——圆（提升能力）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（       ）A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：的半径为，点A到圆心的距离为，即点A到圆心的距离小于圆的半径，点A在内．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．2．如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．【详解】连接OB、OC，如图所示，∵的半径为1，四边形正方形，∴OB=OC=1，∠BOC=90°，∴,故选C．【点睛】此题考查了正多边形和圆、勾股定理，正确掌握正方形的性质是本题的关键．3．如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD是（        ）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【分析】根据垂径定理可知，，得出，即可得证四边形OEAD是矩形．【详解】 D，E分别为AB，AC的中点，，，四边形OEAD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．【点睛】本题考查垂径定理及矩形判定定理的理解和应用，解决本题的关键是对垂径定理的熟练应用．4．如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（       ）A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【详解】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．【点睛】此题主要考查三角形的外心的定义，解题的关键是根据题意作出垂直平分线求解．5．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（       ）A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小【答案】D【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解．【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°∴∠EOF= 120，∵OE= OF， ON⊥EF，∠OEF=∠OFE= 30°EN= FN=，OF= 2ON， FN =ON，ON= 1，FO= 2，OB=GO=OH=2，∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，∴ OG = OH， OP⊥GH，∴GH = 2PH，∵PH= ∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，∴ GH的长度是先变大再变小，故选： D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，，则的度数是（       ）A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=40°．【详解】解：∵AB是直径，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．7．如图，与相切于点A，将线段绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线性质得到∠OAB=90°，进而求得∠AOB，再根据旋转性质求得∠AOA′=110°即可求解．【详解】解：∵与相切于点A，∴∠OAB=90°，∵∠B=40°，∴∠AOB=90°-∠B=50°，∵线段绕点O逆时针旋转得到．∴∠AOA′=110°，∴∠BOA′=110°-50°=60°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的两锐角互余、旋转性质，熟练掌握切线的性质，准确找到旋转角是解答的关键．8．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．【详解】如图，连接, ，边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形， ，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．如图，在正方形中，以点A为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分），且扇形的面积为．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先利用扇形的面积求出扇形的半径，再求出扇形的弧长，由扇形正好是一个圆锥的侧面展开图可以得出圆锥底面圆周长为扇形的弧长，由此可解．【详解】解：设，∵，且扇形的面积为，∴，∴，∴扇形的弧长为：，∵扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，∴该圆锥底面圆周长为扇形的弧长，设该圆锥的底面圆的半径为r，则，解得．故选A．【点睛】本题考查扇形的面积计算、弧长计算，圆锥的侧面展开图等知识点，熟练掌握“圆锥侧面展开所得扇形的弧长为底面圆的周长”是解题的关键．10．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口的长度为（       ）A．8mm B．6mm C．10mm D．0.9mm【答案】A【分析】点O为圆心，过点O作OC⊥AB，垂进定理可得AC=BC，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案．【详解】解：如图，点O为圆心，过点O作OC⊥AB，根据垂进定理可得：AC=BC，∵直径是10mm，∴OA=5mm，OC=8-5=3mm，在Rt△AOC中，∠OCA=90°，∴，∴AB=2AC=8mm，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11．如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD＝40°，则∠A＝__．【答案】20°##20度【分析】由圆的性质得CB＝CD，由等边对等角得∠B＝∠CDB，利用三角形内角和定理求出∠B，再利用直角三角形两个锐角互余即可求出∠A．【详解】解：∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，∴∠B（180°－∠BCD）（180°－40°）＝70°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B＝20°．故答案为20°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质及圆的基本知识，利用圆的知识得出CB＝CD是解题的关键．12．如图，已知是的直径，且，弦于点，，则______．【答案】##2厘米【分析】连接，在中利用根据勾股定理求解．【详解】解：连接．弦直径于点，，，，，在中，由勾股定理得：，，故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．13．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．14．如图，OM为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为______．【答案】20°【分析】弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，根据垂径定理和圆周角定理即可得到∠MOE=∠FOE=∠AOB，进而得出∠FOE的度数．【详解】解：由作图可知，PQ垂直平分FM，∴，∴∠MOE=∠FOE=∠AOB，∵OM为半圆的直径，∴∠OFM=90°，∴∠FMO+∠AOB=90°，∵∠FMO=50°，∴∠AOB=40°，∴∠FOE=20°， 故答案为∶20°．【点睛】本题主要考查了基本作图-作垂线、圆周角定理，直角三角形两锐角互余以及垂径定理，熟练应用垂径定理是解题的关键．15．如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是___________度．【答案】35【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解．【详解】解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵，∴∠BAC=55°，∵AD与相切，∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．故答案为：35【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．16．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．【答案】36【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．【详解】解：∵正五边形ABCDE，∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ACB＝∠BAC==36°，∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，∴DE∥AC，又∵DE＝AE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF，∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．17．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是_____．【答案】【分析】证明△OCG≌△OBE，经过观察易得出结论：阴影部分面积=扇形面积-正方形面积的．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，∵扇形的圆心角，∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，在△OCG和△OBE中，∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC∴△OCG≌△OBE，∵正方形边长为4，∴AC=，∴OC=∵，===故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．18．如图，从一块直径是m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将其围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是__________m．     【答案】【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．【详解】解：连接BC、AO，∵⊙O的直径为m，∴半径是m，∵AB＝AC，OB＝OC，∴BC⊥AO，AO＝BO＝m，在Rt△ABO中，AB＝m，∴圆锥底面圆的弧长，设圆锥底面圆的半径是r，则，∴m，故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．三、解答题（本大题共8个小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）19．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中，画出的中线AE；(2)在图（2）中，画出的角平分线AF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接CO、BD，CO交BD于点G，连接AG并延长交BC于E，线段AE即为所求作；（2）利用（1）的中点E，过点E作半径OH，连接AH交BC于点F，则线段AF即为所求作．【详解】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；；根据三角形三条中线交于一点即可证明；（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠CAH=∠H，∴∠CAF=∠BAF，∴AF为△ABC的角平分线．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．(1)求证：；(2)若，求弦的长．【答案】(1)见解析(2)弦BD的长为16cm【分析】（1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证；（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴∴∠ABD＝∠C，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO， ∴∠CBO＝∠ABD；（2）∵AE＝4，CE＝16，∴OA＝10，OE＝6， 在Rt△OBE中，，∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE＝16cm．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．21．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．(1)画出的外接圆圆心．(2)连结，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在正方形网格中，先画出的正方形网格的对角线，即EF，则EF为AB的中垂线，AC长度为4，取AC中点所在网格线即GH，则GH为AC中垂线 ，连接EF，GH交于点O，即为的外接圆圆心．（2）根据正方形边长为1，求出以BC为斜边的直角三角形BCM中BM、CM的长度，再利用勾股定理求出BC的长即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）如图，连接BM，CM，∴△BCM为直角三角形， ，∴ ．【点睛】本题考查三角形外接圆、勾股定理，熟练掌握定义是解题关键．22．如图，在中，，，以边上一点O为圆心，以为半径作，恰好经过边的中点D，并与边相交于另一点F．(1)求证：．(2)填空：①当为_______________度时，四边形是菱形；②当为_____________度时，是直角三角形．【答案】(1)证明见解析(2)①120；②180或60【分析】（1）由在中，，，恰好经过边BC的中点D，易得，继而证得，即可证得结论；（2）①根据由（1）得，结合得到，进而得到，利用菱形的性质求得，进而得到，即可求出的度数；②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：∵在中，，，∴．∵D是BC的中点，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①当时，四边形ABDE是菱形．设DE交AC于点M，由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵四边形ABDE是菱形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：120； ②或时，是直角三角形，若，则点E与点F重合，此时，∴AE是的直径，∴ ∴是直角三角形；若，则DE是的直径，则，∴是直角三角形；∵AD不是的直径，∴，∴此时不是直角三角形；；综上可得：当或时，△ADE是直角三角形．故答案为：180，60．【点睛】本题属于圆的综合题．考查了菱形的性质、直角三角形的判定和性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识．注意利用分类讨论思想求解是解此题的关键．23．如图，在△AEF中，点O是AF上的一点，以点O为圆心，AO为半径的⊙O与△AEF的三边分别交于点B、C、D． 给出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线 ． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由 ．(2)在（1）的情况下，若AO＝2，DF＝，求BF的长 ．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由见解析(2)4【分析】（1）根据切线的性质与判定任选2个作为条件，剩下的一个作为结论；（2）连接，在直角三角形ODF中利用勾股定理得，即可求解．【详解】（1）解：选择条件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；结论是③直线EF是⊙O的切线．理由如下，连接， AD平分∠EAF；，，，，，，，，直线EF是⊙O的切线．故答案为：①②，③选择条件是①AD平分∠EAF；③直线EF是⊙O的切线；结论是②∠AEF＝90°．理由如下，连接， AD平分∠EAF；，，，，，直线EF是⊙O的切线．，，，选择条件是②∠AEF＝90°；③直线EF是⊙O的切线；结论是①AD平分∠EAF．理由如下，连接，直线EF是⊙O的切线，，，，，，，，，AD平分∠EAF；（2）连接，直线EF是⊙O的切线，，在直角三角形ODF中，由勾股定理得，AO＝2，DF＝，，，解得，．【点睛】本题考查了切线的的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．24．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．【答案】(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．【详解】（1）解：∵正五边形．∴，∴，∵，∴(优弧所对圆心角)，∴；（2）解：是正三角形，理由如下：连接，由作图知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；（3）∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．25．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°= 90°∴OB⊥CE∵OB是半径     ∴EC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形 ∴∠AOM＝60°∴．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．26．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】(1)1：2(2)【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论．（2）根据求解即可．【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得：．∴．∴，ED与母线AD长之比为（2）∵∴答：加工材料剩余部分的面积为【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．