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2024年云南省昆明市第八中学中考数学一模试卷
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这是一份2024年云南省昆明市第八中学中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，三象限B．第一，四象限D．第二等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）
A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃
2．（2分）2023年12月31日据云南网报道，云南单体最大光伏项目在临沧市镇康县忙丙乡顺利并网发电，标志着360兆瓦光伏复合项目全部建成投产，与相同发电量的火电相比，每年可节约标准煤197000吨，可减少多种大气污染物的排放．其中数据197000用科学记数法表示为（ ）
A．1.97×106B．1.97×105C．19.7×106D．19.7×105
3．（2分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2分）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．D．
6．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
8．（2分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限
C．第三、四象限D．第二、四象限
9．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）nnB．（﹣1）n+1（n﹣1）an﹣1
C．（﹣1）nnanD．（﹣1）n+1nan﹣1
10．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
11．（2分）2024年1月24日上午云南省第十四届人民代表大会第二次会议开幕，省长王予波代表省人民政府向大会作政府工作报告．报告指出，2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，是三年新冠疫情防控转段后经济恢复发展的一年，也是本届政府依法履职的第一年．这一年，云南省经济总量首次突破3万亿元大关，新时代以来，我省经济总量继2012年迈上1万亿元台阶后，用6年时间、在2018年迈上2万亿元台阶，面对世纪疫情等超预期因素的影响，用5年时间、在2023年首次突破3万亿元大关，站在了新的发展起点上．如图是云南省2018年至2023年经济总量的条形统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．这6年中，云南省经济总量年增长率均逐年增加
B．这6年中，2023年云南省的经济总量比2018年翻一番
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加
D．这6年中，云南省经济总量的平均值超过2.72万亿元
12．（2分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980
C．D．
13．（2分）如图，在菱形ABCD中，E为CD边上的一点，且，连接BE，与对角线AC交于点F，则△CEF的面积与△ABF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
14．（2分）设n为正整数且，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
15．（2分）如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若CD＝，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：5x2﹣5＝ ．
17．（2分）如图所示，要使得△ABC∽△ACD，需要补充的一个条件可以是 （只需要填写一个即可）．
18．（2分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4，7，9，8，7．数据4，7，9，8，7的众数为 ．
19．（2分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 °．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（7分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣．
21．（6分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF，求证：∠E＝∠F．
22．（7分）甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
23．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
24．（8分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA（点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G．
（1）试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
（2）若AB＝5，AG＝1，求CE的长．
25．（8分）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元日前夕，某批发商购进A、B两种类型的玫瑰花共100束，其中A种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买B种类型的玫瑰花所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购买B种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于A种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3x的顶点是P，与y轴交于点K，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（0，2）．
（1）当a＝﹣1时，若M（m，y1）和N（m+n，y2）（n≠0）是抛物线上任意两点，且Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024，当y1＝y2时，求Q的值；
（2）若二次函数y＝a（x+1）2﹣3a的图象与线段AB只有一个公共点，求a的取值范围．
27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
【初步感知】（1）求证：EF为⊙O的切线；
【深入研究】（2）当∠BAC＜90°时，若BF＝2，EF＝4，求AD的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当∠BAC＞90°时，若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）
A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃
【解答】解：温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作﹣10℃，
故选：C．
2．（2分）2023年12月31日据云南网报道，云南单体最大光伏项目在临沧市镇康县忙丙乡顺利并网发电，标志着360兆瓦光伏复合项目全部建成投产，与相同发电量的火电相比，每年可节约标准煤197000吨，可减少多种大气污染物的排放．其中数据197000用科学记数法表示为（ ）
A．1.97×106B．1.97×105C．19.7×106D．19.7×105
【解答】解：197000＝1.97×105，
故选：B．
3．（2分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵∠1＝140°，
∴∠AEC＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝40°．
故选：B．
4．（2分）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形，所以A选项不符合题意；
B、主视图和左视图都为矩形，所以B选项不符合题意；
C、主视图和左视图均为等腰三角形，所以C符合题意；
D、主视图和左视图都为矩形，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．D．
【解答】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
7．（2分）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：A．
8．（2分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限
C．第三、四象限D．第二、四象限
【解答】解：由题意得，k＝﹣1×2＝﹣2＜0，
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选：D．
9．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）nnB．（﹣1）n+1（n﹣1）an﹣1
C．（﹣1）nnanD．（﹣1）n+1nan﹣1
【解答】解：由已知的单项式可以看出，第n个单项式的系数为（﹣1）nn，字母a的指数为n，
所以，第n个单项式是（﹣1）nnan，
故选：C．
10．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝CD＝2，
故选：A．
11．（2分）2024年1月24日上午云南省第十四届人民代表大会第二次会议开幕，省长王予波代表省人民政府向大会作政府工作报告．报告指出，2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，是三年新冠疫情防控转段后经济恢复发展的一年，也是本届政府依法履职的第一年．这一年，云南省经济总量首次突破3万亿元大关，新时代以来，我省经济总量继2012年迈上1万亿元台阶后，用6年时间、在2018年迈上2万亿元台阶，面对世纪疫情等超预期因素的影响，用5年时间、在2023年首次突破3万亿元大关，站在了新的发展起点上．如图是云南省2018年至2023年经济总量的条形统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．这6年中，云南省经济总量年增长率均逐年增加
B．这6年中，2023年云南省的经济总量比2018年翻一番
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加
D．这6年中，云南省经济总量的平均值超过2.72万亿元
【解答】解：A．2019年增长率为（2.32﹣2.09）÷2.09×100%＝11.00%，2020年增长率为（2.46﹣2.32）÷2.32×100%＝6.03%，增长率降低，此选项错误，不符合题意；
B．2023年云南省的经济总量为3万亿，2018年经济总量为2.09万亿，此选项错误，不符合题意；
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加，此选项正确，符合题意；
D．这6年中，云南省经济总量的平均值为＝2.58（万亿），未达到2.72万亿，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
12．（2分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980
C．D．
【解答】解：全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：A．
13．（2分）如图，在菱形ABCD中，E为CD边上的一点，且，连接BE，与对角线AC交于点F，则△CEF的面积与△ABF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝（）2＝，
故选：D．
14．（2分）设n为正整数且，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：原式＝﹣1，
∵49＜63＜64，
∴7＜＜8，
∴6＜﹣1＜7，
则n＝6，
故选：B．
15．（2分）如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若CD＝，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．C．D．
【解答】解：∵BC是直径，
∴∠A＝90°，
∵CD＝，AC＝3，
∴AD＝＝2，
∵OD⊥AB于点D，
∴AB＝2AD＝4，
∴BC＝＝＝5．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：5x2﹣5＝ 5（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1），
故答案为：5（x+1）（x﹣1）
17．（2分）如图所示，要使得△ABC∽△ACD，需要补充的一个条件可以是 ∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或 （只需要填写一个即可）．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或时，△ABC∽△ACD．
故答案为：∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或．
18．（2分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4，7，9，8，7．数据4，7，9，8，7的众数为 7 ．
【解答】解：这组数据数据4，7，9，8，7中，7出现的次数最多，所以众数为7，
故答案为：7．
19．（2分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 216 °．
【解答】解：∵圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，
∴圆锥的母线长为＝10，
∴＝12π，
解得n＝216．
故答案为：216．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（7分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣．
【解答】解：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣
＝﹣1﹣+1+﹣3
＝﹣3．
21．（6分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF，求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
22．（7分）甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
【解答】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝50﹣10＝40（元）．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
23．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【解答】解：（1）列表如下，
∴由表可知，（x，y）可能出现的结果为：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种；
（2）由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种，
即（A，A）、（B，B）、（C．C）．
∴P（小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影）＝．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．
24．（8分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA（点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G．
（1）试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
（2）若AB＝5，AG＝1，求CE的长．
【解答】解：（1）四边形BEGF是正方形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
由旋转可知，
∠F＝∠BEC，∠ABF＝∠CBE，BE＝BF，
∴∠ABF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠EBF＝∠ABC＝90°．
又∵∠BEC＝90°，
∴∠F＝90°，∠GEB＝90°，
∴四边形BEGF为矩形．
又∵BE＝BF，
∴四边形BEGF为正方形．
（2）由（1）知，
四边形BEGF为正方形，
则令正方形的边长为x，
∴AF＝x+1，BF＝x．
在Rt△ABF中，
AF2+BF2＝AB2，
∴（x+1）2+x2＝52，
∴x＝3，
∴AF＝AG+GF＝3+1＝4，
∴CE＝AF＝4．
25．（8分）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元日前夕，某批发商购进A、B两种类型的玫瑰花共100束，其中A种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买B种类型的玫瑰花所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购买B种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于A种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
【解答】解：（1）由图知：当0≤x＜10时，y＝20x，
当x≥10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
它的图象经过点（10，200）与点（20，360），
∴，
解这个方程组得，
∴y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买B种类型玫瑰花的数量为m束，则A种类型的玫瑰花的数量为（100﹣m） 束，总费用为w元，
由题知：m≤60且m≥100﹣m，解得50≤m≤60，
∴w＝25（100﹣m）+16m+40＝﹣9m+2540，
∵﹣9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵50≤m≤60，
∴当 m＝60时，w有最小值为2000元；
此时，A种类型的玫瑰花：100﹣60＝40（束），
答：购买A种类型的玫瑰花40束，购买B种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为2000元．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3x的顶点是P，与y轴交于点K，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（0，2）．
（1）当a＝﹣1时，若M（m，y1）和N（m+n，y2）（n≠0）是抛物线上任意两点，且Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024，当y1＝y2时，求Q的值；
（2）若二次函数y＝a（x+1）2﹣3a的图象与线段AB只有一个公共点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+3，
故抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∵y1＝y2，
∴M（m，y1） 和 N（m+n，y2） 关于对称轴直线 x＝﹣1对称，
则 ，
∴n＝﹣2﹣2m，
∴Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024
＝（﹣2m﹣2）2﹣4m2+2（﹣2m﹣2）﹣4m+2024
＝4m2+8m+4﹣4m2﹣4m﹣4﹣4m+2024
＝2024；
（2）抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 的顶点是 P（﹣1，﹣3a），点K（0，﹣2a）
①当a＞0时，﹣3a＜0，﹣2a＜0，
∴抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 与y轴交点在点B下方，顶点在直线y＝2下方，
如图1
在 y＝a（x+1）2﹣3a 中，令x＝﹣3，得 y＝4a﹣3a＝a，
∵A（﹣3，2），
∴当a＝2时抛物线过点A．
由结合图可知，当a≥2时，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点；
②当a＜0时，
若顶点在线段AB时，如图2：
此时﹣3a＝2，
解得 ，
若顶点在直线y＝2上方，即﹣3a＞2时，如图3：
∵二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，A（﹣3，2），B（0，2）．
∴﹣2a＞2，
解得a＜﹣1；
综上所述，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，a的取值范围是a≥2或 或a＜﹣1．
27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
【初步感知】（1）求证：EF为⊙O的切线；
【深入研究】（2）当∠BAC＜90°时，若BF＝2，EF＝4，求AD的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当∠BAC＞90°时，若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC．
∴∠B＝∠C，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEF＝∠BFE＝90°，
∴EF⊥OE．
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OM⊥AB于点M．
∵OM⊥AB，
∴∠OMF＝90°，
∵∠AFE＝∠OEF＝∠OMF＝90°，
∴四边形OMFE是矩形，
∴OM＝EF＝4，MF＝OE，
∵∠AEF+∠BEF＝90°．∠B+∠BEF＝90°，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠BFE＝∠AFE＝90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴，即，
解得AF＝8，
设⊙O的半径为r，则有MF＝OE＝OA＝r，AM＝8﹣r，
∵OM⊥AD，
∴∠AMO＝90°，AD＝2AM．
在Rt△AMO中，∠AMO＝90°，
由勾股定理可得：AM2+OM2＝AO2，
即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
故AM＝8﹣5＝3，
∴AD＝2AM＝2×3＝6，
故AD的长为6；
（3）解：∵AC为⊙O的直径，
∴AE⊥CB，∠AEC＝90°
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
如图所示，连接CD，OE，
∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，
由勾股定理可得：
∴，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEC+∠AEO＝90°，
∴∠AEF＝∠OEC．
∴∠OCE＝∠AEF，
∵∠AEC＝∠AFE＝90°
∴△AEF∽△ACE，
∴，
即，
解得AC＝10，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D＝90°，
∴EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD＝2EF＝8，
∴．xy
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B．B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
1．（2分）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）
A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃
2．（2分）2023年12月31日据云南网报道，云南单体最大光伏项目在临沧市镇康县忙丙乡顺利并网发电，标志着360兆瓦光伏复合项目全部建成投产，与相同发电量的火电相比，每年可节约标准煤197000吨，可减少多种大气污染物的排放．其中数据197000用科学记数法表示为（ ）
A．1.97×106B．1.97×105C．19.7×106D．19.7×105
3．（2分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2分）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．D．
6．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
8．（2分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限
C．第三、四象限D．第二、四象限
9．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）nnB．（﹣1）n+1（n﹣1）an﹣1
C．（﹣1）nnanD．（﹣1）n+1nan﹣1
10．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
11．（2分）2024年1月24日上午云南省第十四届人民代表大会第二次会议开幕，省长王予波代表省人民政府向大会作政府工作报告．报告指出，2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，是三年新冠疫情防控转段后经济恢复发展的一年，也是本届政府依法履职的第一年．这一年，云南省经济总量首次突破3万亿元大关，新时代以来，我省经济总量继2012年迈上1万亿元台阶后，用6年时间、在2018年迈上2万亿元台阶，面对世纪疫情等超预期因素的影响，用5年时间、在2023年首次突破3万亿元大关，站在了新的发展起点上．如图是云南省2018年至2023年经济总量的条形统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．这6年中，云南省经济总量年增长率均逐年增加
B．这6年中，2023年云南省的经济总量比2018年翻一番
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加
D．这6年中，云南省经济总量的平均值超过2.72万亿元
12．（2分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980
C．D．
13．（2分）如图，在菱形ABCD中，E为CD边上的一点，且，连接BE，与对角线AC交于点F，则△CEF的面积与△ABF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
14．（2分）设n为正整数且，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
15．（2分）如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若CD＝，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：5x2﹣5＝ ．
17．（2分）如图所示，要使得△ABC∽△ACD，需要补充的一个条件可以是 （只需要填写一个即可）．
18．（2分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4，7，9，8，7．数据4，7，9，8，7的众数为 ．
19．（2分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 °．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（7分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣．
21．（6分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF，求证：∠E＝∠F．
22．（7分）甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
23．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
24．（8分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA（点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G．
（1）试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
（2）若AB＝5，AG＝1，求CE的长．
25．（8分）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元日前夕，某批发商购进A、B两种类型的玫瑰花共100束，其中A种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买B种类型的玫瑰花所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购买B种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于A种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3x的顶点是P，与y轴交于点K，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（0，2）．
（1）当a＝﹣1时，若M（m，y1）和N（m+n，y2）（n≠0）是抛物线上任意两点，且Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024，当y1＝y2时，求Q的值；
（2）若二次函数y＝a（x+1）2﹣3a的图象与线段AB只有一个公共点，求a的取值范围．
27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
【初步感知】（1）求证：EF为⊙O的切线；
【深入研究】（2）当∠BAC＜90°时，若BF＝2，EF＝4，求AD的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当∠BAC＞90°时，若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谚语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）
A．﹣15℃B．+15℃C．﹣10℃D．+10℃
【解答】解：温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作﹣10℃，
故选：C．
2．（2分）2023年12月31日据云南网报道，云南单体最大光伏项目在临沧市镇康县忙丙乡顺利并网发电，标志着360兆瓦光伏复合项目全部建成投产，与相同发电量的火电相比，每年可节约标准煤197000吨，可减少多种大气污染物的排放．其中数据197000用科学记数法表示为（ ）
A．1.97×106B．1.97×105C．19.7×106D．19.7×105
【解答】解：197000＝1.97×105，
故选：B．
3．（2分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：∵∠1＝140°，
∴∠AEC＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝40°．
故选：B．
4．（2分）下列几何体中，主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、主视图和左视图都为矩形，所以A选项不符合题意；
B、主视图和左视图都为矩形，所以B选项不符合题意；
C、主视图和左视图均为等腰三角形，所以C符合题意；
D、主视图和左视图都为矩形，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C．D．
【解答】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
7．（2分）函数的自变量的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故选：A．
8．（2分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限B．第一、三象限
C．第三、四象限D．第二、四象限
【解答】解：由题意得，k＝﹣1×2＝﹣2＜0，
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选：D．
9．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a2，﹣3a3，4a4，﹣5a5，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）nnB．（﹣1）n+1（n﹣1）an﹣1
C．（﹣1）nnanD．（﹣1）n+1nan﹣1
【解答】解：由已知的单项式可以看出，第n个单项式的系数为（﹣1）nn，字母a的指数为n，
所以，第n个单项式是（﹣1）nnan，
故选：C．
10．（2分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC，AD的中点，连接EF．已知BC＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
∵E、F分别是AC，AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝CD＝2，
故选：A．
11．（2分）2024年1月24日上午云南省第十四届人民代表大会第二次会议开幕，省长王予波代表省人民政府向大会作政府工作报告．报告指出，2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，是三年新冠疫情防控转段后经济恢复发展的一年，也是本届政府依法履职的第一年．这一年，云南省经济总量首次突破3万亿元大关，新时代以来，我省经济总量继2012年迈上1万亿元台阶后，用6年时间、在2018年迈上2万亿元台阶，面对世纪疫情等超预期因素的影响，用5年时间、在2023年首次突破3万亿元大关，站在了新的发展起点上．如图是云南省2018年至2023年经济总量的条形统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（ ）
A．这6年中，云南省经济总量年增长率均逐年增加
B．这6年中，2023年云南省的经济总量比2018年翻一番
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加
D．这6年中，云南省经济总量的平均值超过2.72万亿元
【解答】解：A．2019年增长率为（2.32﹣2.09）÷2.09×100%＝11.00%，2020年增长率为（2.46﹣2.32）÷2.32×100%＝6.03%，增长率降低，此选项错误，不符合题意；
B．2023年云南省的经济总量为3万亿，2018年经济总量为2.09万亿，此选项错误，不符合题意；
C．这6年中，云南省经济总量均逐年增加，此选项正确，符合题意；
D．这6年中，云南省经济总量的平均值为＝2.58（万亿），未达到2.72万亿，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
12．（2分）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980B．x（x+1）＝1980
C．D．
【解答】解：全班同学有x名学生，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：A．
13．（2分）如图，在菱形ABCD中，E为CD边上的一点，且，连接BE，与对角线AC交于点F，则△CEF的面积与△ABF的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝（）2＝，
故选：D．
14．（2分）设n为正整数且，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：原式＝﹣1，
∵49＜63＜64，
∴7＜＜8，
∴6＜﹣1＜7，
则n＝6，
故选：B．
15．（2分）如图，在⊙O中，AB，AC为两条弦，BC是直径，OD⊥AB于点D，连接CD，若CD＝，AC＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．C．D．
【解答】解：∵BC是直径，
∴∠A＝90°，
∵CD＝，AC＝3，
∴AD＝＝2，
∵OD⊥AB于点D，
∴AB＝2AD＝4，
∴BC＝＝＝5．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）分解因式：5x2﹣5＝ 5（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝5（x2﹣1）＝5（x+1）（x﹣1），
故答案为：5（x+1）（x﹣1）
17．（2分）如图所示，要使得△ABC∽△ACD，需要补充的一个条件可以是 ∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或 （只需要填写一个即可）．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或时，△ABC∽△ACD．
故答案为：∠B＝∠ACD或∠ACB＝∠ADC或．
18．（2分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4，7，9，8，7．数据4，7，9，8，7的众数为 7 ．
【解答】解：这组数据数据4，7，9，8，7中，7出现的次数最多，所以众数为7，
故答案为：7．
19．（2分）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为 216 °．
【解答】解：∵圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，
∴圆锥的母线长为＝10，
∴＝12π，
解得n＝216．
故答案为：216．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（7分）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣．
【解答】解：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+（）﹣1﹣
＝﹣1﹣+1+﹣3
＝﹣3．
21．（6分）如图，A，B，C，D四点共线，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF，求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS），
∴∠E＝∠F．
22．（7分）甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用1000元购进A款和用800元购进B款文化衫的数量相同．求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
【解答】解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件（x﹣10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，
∴x﹣10＝50﹣10＝40（元）．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
23．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【解答】解：（1）列表如下，
∴由表可知，（x，y）可能出现的结果为：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种；
（2）由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种，
即（A，A）、（B，B）、（C．C）．
∴P（小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影）＝．
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为．
24．（8分）如图，点E为正方形ABCD内一点，∠BEC＝90°，将△BEC绕点B逆时针方向旋转90°得到△BFA（点E的对应点为点F），延长CE交AF于点G．
（1）试判断四边形BEGF的形状，并说明理由；
（2）若AB＝5，AG＝1，求CE的长．
【解答】解：（1）四边形BEGF是正方形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
由旋转可知，
∠F＝∠BEC，∠ABF＝∠CBE，BE＝BF，
∴∠ABF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠EBF＝∠ABC＝90°．
又∵∠BEC＝90°，
∴∠F＝90°，∠GEB＝90°，
∴四边形BEGF为矩形．
又∵BE＝BF，
∴四边形BEGF为正方形．
（2）由（1）知，
四边形BEGF为正方形，
则令正方形的边长为x，
∴AF＝x+1，BF＝x．
在Rt△ABF中，
AF2+BF2＝AB2，
∴（x+1）2+x2＝52，
∴x＝3，
∴AF＝AG+GF＝3+1＝4，
∴CE＝AF＝4．
25．（8分）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元日前夕，某批发商购进A、B两种类型的玫瑰花共100束，其中A种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买B种类型的玫瑰花所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购买B种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于A种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
【解答】解：（1）由图知：当0≤x＜10时，y＝20x，
当x≥10时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
它的图象经过点（10，200）与点（20，360），
∴，
解这个方程组得，
∴y与x的函数关系式为y＝；
（2）设购买B种类型玫瑰花的数量为m束，则A种类型的玫瑰花的数量为（100﹣m） 束，总费用为w元，
由题知：m≤60且m≥100﹣m，解得50≤m≤60，
∴w＝25（100﹣m）+16m+40＝﹣9m+2540，
∵﹣9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵50≤m≤60，
∴当 m＝60时，w有最小值为2000元；
此时，A种类型的玫瑰花：100﹣60＝40（束），
答：购买A种类型的玫瑰花40束，购买B种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为2000元．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x+1）2﹣3x的顶点是P，与y轴交于点K，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，2），（0，2）．
（1）当a＝﹣1时，若M（m，y1）和N（m+n，y2）（n≠0）是抛物线上任意两点，且Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024，当y1＝y2时，求Q的值；
（2）若二次函数y＝a（x+1）2﹣3a的图象与线段AB只有一个公共点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+3，
故抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∵y1＝y2，
∴M（m，y1） 和 N（m+n，y2） 关于对称轴直线 x＝﹣1对称，
则 ，
∴n＝﹣2﹣2m，
∴Q＝n2﹣4m2+2n﹣4m+2024
＝（﹣2m﹣2）2﹣4m2+2（﹣2m﹣2）﹣4m+2024
＝4m2+8m+4﹣4m2﹣4m﹣4﹣4m+2024
＝2024；
（2）抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 的顶点是 P（﹣1，﹣3a），点K（0，﹣2a）
①当a＞0时，﹣3a＜0，﹣2a＜0，
∴抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 与y轴交点在点B下方，顶点在直线y＝2下方，
如图1
在 y＝a（x+1）2﹣3a 中，令x＝﹣3，得 y＝4a﹣3a＝a，
∵A（﹣3，2），
∴当a＝2时抛物线过点A．
由结合图可知，当a≥2时，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点；
②当a＜0时，
若顶点在线段AB时，如图2：
此时﹣3a＝2，
解得 ，
若顶点在直线y＝2上方，即﹣3a＞2时，如图3：
∵二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，A（﹣3，2），B（0，2）．
∴﹣2a＞2，
解得a＜﹣1；
综上所述，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，a的取值范围是a≥2或 或a＜﹣1．
27．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB所在直线、BC分别交于点D、E，EF⊥AB于点F．
【初步感知】（1）求证：EF为⊙O的切线；
【深入研究】（2）当∠BAC＜90°时，若BF＝2，EF＝4，求AD的长．
【拓展延伸】（3）如图2，当∠BAC＞90°时，若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC．
∴∠B＝∠C，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠OEC＝∠B，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEF＝∠BFE＝90°，
∴EF⊥OE．
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OM⊥AB于点M．
∵OM⊥AB，
∴∠OMF＝90°，
∵∠AFE＝∠OEF＝∠OMF＝90°，
∴四边形OMFE是矩形，
∴OM＝EF＝4，MF＝OE，
∵∠AEF+∠BEF＝90°．∠B+∠BEF＝90°，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠BFE＝∠AFE＝90°，
∴△BFE∽△EFA，
∴，即，
解得AF＝8，
设⊙O的半径为r，则有MF＝OE＝OA＝r，AM＝8﹣r，
∵OM⊥AD，
∴∠AMO＝90°，AD＝2AM．
在Rt△AMO中，∠AMO＝90°，
由勾股定理可得：AM2+OM2＝AO2，
即（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
故AM＝8﹣5＝3，
∴AD＝2AM＝2×3＝6，
故AD的长为6；
（3）解：∵AC为⊙O的直径，
∴AE⊥CB，∠AEC＝90°
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
如图所示，连接CD，OE，
∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，
由勾股定理可得：
∴，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEC+∠AEO＝90°，
∴∠AEF＝∠OEC．
∴∠OCE＝∠AEF，
∵∠AEC＝∠AFE＝90°
∴△AEF∽△ACE，
∴，
即，
解得AC＝10，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠BFE＝∠D＝90°，
∴EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴，
∴，
∴CD＝2EF＝8，
∴．xy
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B．B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
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