2024-2025学年云南省高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(1+i)(2+i)(3+i)=( )
A. −10iB. 10iC. −10D. 10
2.用card(A)表示有限集合A中元素的个数，例如，A={a,b,c}，则card(A)=3.对于任意两个有限集合A，B，若card(A)=8，card(B)=6，card(A∩B)=4，则card(A∪B)=( )
A. 10B. 12C. 14D. 18
3.在平行四边形ABCD中，已知AC=(5,4),BD=(1,2)，则AB⋅AD=( )
A. 5B. 9C. 13D. 18
4.已知a=lg25，b=lg38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. c>b>aC. a>c>bD. b>a>c
5.已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( )
A. 2 2πB. 4 2πC. 2 3πD. 4 3π
6.中华人民共和国体育代表团参加夏季奥运会以来，中国健儿们不断取得好成绩，到今天成长为体育大国，从2000年以来，金牌情况统计如下(不含中国香港、中国台湾)：
中国体育代表团夏季奥运会获得金牌数
根据以上数据，建立y关于t的线性回归方程，若不考虑其他因素，根据回归方程预测第33届(2024年巴黎奥运会)中国体育代表团金牌总数为( )
(b ,a 精确到0.01，金牌数精确到1，参考数据：i=16(ti−t−)(yi−y−)=11.00,i=16(ti−t−)2=17.50)；参考公式：回归方程y​=a​+b​t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2,a =y−−b t−．
A. 29B. 33C. 37D. 45
7.若x0是函数f(x)=ex−2−lnx−2的零点，则x0−lnx0=( )
A. eB. e2C. 2D. 1
8.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值等于( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某个单选题(只有一个选项符合题目要求)为：给出以下4个命题，命题序号为①②③④(注：命题具体内容省略)，则所有正确命题的序号是：
A.①②B.③④C.①④D.②③
根据以上信息，则下列判断正确的是( )
A. ①②③④中可能有3个正确B. 若①错误，则③一定正确
C. ①②有一个正确，③④有一个错误D. 若②正确，则④一定错误
10.已知数列{anan+1}(n∈N∗)是公比为2的等比数列，且a1=1，则下列结论正确的是( )
A. 若{an}是等比数列，则公比为 2
B. {a2n}是公比为2的等比数列
C. a2n−1=2n−1
D. 若a2=12，则an=2n−12,n为奇数2n2−2,n为偶数
11.如图，曲线C是一条“双纽线”，其C上的点满足：到点F1(−2,0)与到点F2(2,0)的距离之积为4，则下列结论正确的是( )
A. 点D(2 2,0)在曲线C上
B. 点M(x,1)(x>0)在C上，则|MF1|=2 2
C. 点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1Q⊥F2Q，则Q∈C
D. 过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|<2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是公差为2的等差数列，且a5+a11=16，则a16= ______．
13.自然常数e是自然对数的底数，大约等于2.71828.某人用“调日法”找逼近e的分数，称小于2.718281的值为弱值，大于2.718282的值为强值.由2114.动圆M经过原点，且与直线x=−2相切，记圆心M的轨迹为C，直线y= 2x与C交于A，B两点，则|AB|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4,C=2π3,D为AB边上一点．
(1)若D为AB的中点，且CD= 3，求b；
(2)若CD平分∠ACB，且CD=43，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱DD1垂直于上、下底面，且DD1=2．
(1)证明：直线AA1//平面BC1D；
(2)求平面BC1D与平面BCD夹角的余弦值；
(3)求多面体ABD−A1B1C1D1的体积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−12x2+ax+a．
(1)若f(x)为增函数，求a的取值范围；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2<0．
18.(本小题17分)
羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成20：20后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为34，乙发球时甲得分的概率为12，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为20：20．
(1)若再打两个球，这两个球甲得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率p1；
(3)用p1估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2 33，右焦点为F(2,0)．
(1)求C的方程；
(2)设动直线l：y=kx+m与双曲线C有且只有一个公共点P(P在第一象限)，且与直线x=32相交于点Q．
①证明：FP⋅FQ=0；
②设O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5.D
6.C
7.C
8.B
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.24
13.6
14.6
15.解：(1)在△ABC中，a=4,C=2π3，因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，
两边平方得CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，
则3=14(b2+16+2×4×b×cs2π3)，解得b=2．
(2)因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=π3，
又S△ACD+S△BCD=S△ABC，
所以12×43×b×sinπ3+12×4×43×sinπ3=12×4×b×sin2π3，解得b=2，
所以S△ABC=12×4×2×sin2π3=2 3．
16.解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接C1O，A1C1，
由棱台的性质知A1C1/​/AC，
又根据题意可知A1C1= 2，AO= 2，
∴四边形AOC1A1为平行四边形，∴AA1//OC1，
又OC1⊂平面BC1D，AA1⊄平面BC1D，
∴直线AA1/​/平面BC1D；
(2)∵DD1⊥平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，
∴DA，DC，DD1两两垂直，
故建系如图：

∵DD1=2，∴D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,1,2)，
∴DC1=(0,1,2)，DB=(2,2,0)，
设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DC1=0,n⋅DB=0,，y+2z=0,2x+2y=0,，取n=(2,−2,1)，
同理取平面BCD的一个法向量m=(0,0,1)，
∴平面BC1D与平面BCD夹角的余弦值为：
|cs|=|m⋅n||m||n|=11×3=13；
(3)∵四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为V=13×2×(1+4+2)=143，
又三棱锥C1−BCD的体积为V1=13×2×2=43，
∴多面体ABD−A1B1C1D1的体积为V2=V−V1=103．
17.解：(1)f′(x)=ex−x+a，f(x)为增函数，则f′(x)≥0恒成立，
设g(x)=ex−x+a，则g′(x)=ex−1，
令g′(x)=0，则x=0，
当x<0时，g′(x)<0，所以f′(x)在(−∞,0)上单调递减；
当x>0时，g′(x)>0，所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以x=0是函数f′(x)的极小值点，
故当f′(0)=1+a≥0，即a≥−1，f′(x)≥0恒成立，
所以当f(x)为增函数，a的取值范围为[−1,+∞)；
(2)证明：f′(x)=ex−x+a，由(1)知当f′(0)<0，
即a<−1时，f(x)有两个极值点x1，x2，
故f′(x1)=f′(x2)=0，设x1<0，则x2>0，
设ℎ(x)=f′(x)−f′(−x)=ex−x+a−(e−x+x+a)=ex−e−x−2x，x>0，
则ℎ′(x)=ex+e−x−2>0，
故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，
所以f′(x)>f′(−x)，又x2>0，
故f′(x2)>f′(−x2)，
所以f′(x1)>f′(−x2)，
又x1<0，−x2<0，f′(x)在(−∞,0)上单调递减，
故x1<−x2，
所以x1+x2<0．
18.解：(1)依题意，X的所有可取值为0，1，2，
设打成20：20后甲先发球为事件A，则乙先发球为事件A−，
所以P(A)=P(A−)=12，
所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(A−)⋅P(X=0|A−)=12×14×12+12×12×12=316，
P(X=1)=P(A)⋅P(X=1|A)+P(A−)⋅P(X=1|A−)=12×(34×14+14×12)+12×(12×14+12×12)=1132，
P(X=2)=P(A)⋅P(X=2|A)+P(A−)⋅P(X=2|A−)=12×34×34+12×12×34=1532，
所以X的分布列为：
故X的数学期望为E(X)=0×316+1×1132+2×1532=4132；
(2)设第一局比赛甲获胜为事件B，
则P(B|X=0)=0，P(B|X=1)=P(B)，P(B|X=2)=1，
由(1)知，P(X=0)=316，P(X=1)=1132，P(X=2)=1532，
由全概率公式得：
P(B)=P(X=0)⋅P(B|X=0)+P(X=1)⋅P(B|X=1)+P(X=2)⋅P(B|X=2)，
即P(B)=316×0+1132×P(B)+1532×1，
解得P(B)=57，
所以p1=57；
(3)由(2)知，估计每一局甲获胜的概率均为57，
设甲获胜时比赛的总局数为Y，因为每一局比赛的结果相互独立，
所以P(Y=2)=(57)2=2549，P(Y=3)=C2157×(1−57)×57=100343，
故该场比赛甲获胜的概率为P=P(Y=2)+P(Y=3)=275343．
19.解：(1)设双曲线C的半焦距为c，由题意知c=2，而ca=2 33，解得a= 3，
由b2=c2−a2=1，所以C的方程为x23−y2=1．
(2)由y=kx+mx2−3y2=3，消去y得(1−3k2)x2−6kmx−3m2−3=0，
由题意得(−6km)2+4(1−3k2)(3m2+3)=0，化简得m2=3k2−1．
则xP=−3km1−3k2=−3km,yP=−3km⋅k+m=−1m，故P(−3km,−1m)，
因为点P在第一象限，所以m<0，则k>0．
将x=32代入y=kx+m，得Q(32,3k2+m)．
①证明：由已知F(2,0)，所以FP=(−3km−2,−1m),FQ=(−12,3k2+m)，
所以FP⋅FQ=3k2m+1−3k2m−1=0．
②设直线l与y轴的交点为M，则xM=−mk，
所以△OPQ的面积为S△OPQ=12×|OM||yP−yQ|=12×(−mk)|m+1m+3k2|=12×(−mk)|m2+1m+3k2|，
由m2=3k2−1，m<0，k>0，所以S△OPQ=32|k+m2|=|3k2−3 3k2−14|，
设f(x)=3x2−3 3x2−14,x>0，则f′(x)=32−9x4 3x2−1=6 3x2−1−9x4 3x2−1，
令f′(x)=0，解得x=2 33，
故f(x)在(0,2 33)上单调递减，在(2 33,+∞)上单调递增，
所以当x=2 33时，f(x)取得最小值为 34．
所以当k=2 33,m=− 3时，△OPQ面积的最小值为 34． 届数
第27届
第28届
第29届
第30届
第31届
第32届
届数代码t
1
2
3
4
5
6
地点
2000年
悉尼
2004年
雅典
2008年
北京
2012年
伦敦
2016年
里约热内卢
2021年
东京
金牌数(y)
28
32
48
38
26
38
X
0
1
2
P
316
1132
1532