[数学]2023_2024学年5月云南文山广南县云南省广南县第一中学高二下学期月考数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年5月云南文山广南县云南省广南县第一中学高二下学期月考数学试卷
1. 已知集合
A.
，若
，则所有 的取值构成的集合为（
C.
）
B.
D.
答案
解析
C
【分析】
本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解.
【详解】
，
,
故当
当
时，易求
；
时，由
得，
或2.
综上得：
故选:C．
2. 已知
A.
，若
为纯虚数，则
B. 2
（
）
C. 1
D.
答案
解析
B
【分析】
借助复数运算法则计算后结合纯虚数定义即可得.
【详解】
，
若 为纯虚数，则
故选：B.
，即
.
3. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（
A. 14 B. 64 C. 72
）
D. 80
答案
B
解析
因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有
因此正确答案为：B．
种.
4. 若函数
A. 1
为偶函数，则实数
B. 0
（
）
C.
D. 2
答案
解析
D
【分析】
根据给定的函数，利用偶函数的定义列式计算即得.
【详解】
函数
则
的定义域为 ，由
，整理得
为偶函数，得
，
，而
不恒为0，
于是
，即
，解得
，

所以实数
故选：D
.
5. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布
，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数
占总人数的 ，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（
）
A. 1600
B. 1800
C. 2100
D. 2400
答案
解析
D
【分析】
根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答.
【详解】
依题意，随机变量
由
，有
，即正态曲线的对称轴为
，
，得
，
80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以设参加本次联考的总人数约为 ，
则
，解得：
.
故选：D.
6. 已知双曲线
：
的左，右焦点分别为
B．22
，
，过 的直线与双曲线 的右支交于
C．28
，
两点，且
，则
的周长
为（
）
A．20
D．36
答案
解析
C
【详解】
由题意知
所以
，
，所以
，又
，
，所以
的周长为
．故选C．
7. 3600的正因数的个数是（
A．55
）
B．50
C．45
D．40
答案
解析
C
【详解】
由题意
，因此正因数的个数是
．故选C．
8. 设等比数列
的公比为 ，且
，设甲：
；乙：
，则（
B. 甲是乙的必要不充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
）
A. 甲是乙的充分不必要条件
C. 甲是乙的充要条件
答案
解析
C
【分析】
根据给定条件，利用等比数列的通项，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】
等比数列
的公比为 ，且
时，有 ，即
，当
时，
，因此
；
当
又
，而
，于是
，则
，
，
，即
，又
，因此
，

所以甲是乙的充要条件.
故选：C
9. 已知圆
，圆
，则下列结论正确的是（
）
A. 若
C. 当
和
外离，则
或
B. 若
D. 当
和
外切，则
时，有且仅有一条直线与
和
均相切
时，
和
内含
答案
ABC
解析
【分析】
首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断.
【详解】
圆
的圆心为
的圆心为
，
，半径
，半径
，
圆
，
所以
若
和
和
外离，则
外切，则
，解得
或
，故A正确；
若
，解得
，故B正确；
当
时，
时，
，则
和
内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当
，则
和
相交，故D错误.
故选：ABC．
10. 四棱锥
的底面为正方形，
，
，
，
，动点 在线段
上，则（
）
A. 直线
与直线
为异面直线 B. 四棱锥
的体积为2
C. 在
时，
中，当
D. 四棱锥
面积为
的外接球表
答案
解析
ACD
【分析】
根据异面直线的定义判断A，根据锥体体积公式判断B，由条件确定点 的位置，结合锥体体积公式，判断C，确定四棱锥
的
外接球的半径，结合球的表面积公式判断D.
【详解】
对于A，因为
平面
上，
与直线
，
平面
，
点
不在直线
所以直线
为异面直线，A正确；
， 平面
对于B，因为
，
，
，
所以
又
平面
，
，
，四边形
的高
为正方形，
所以四棱锥
所以四棱锥
，底面面积为 ，
的体积
，B错误，
对于C，因为
所以
平面
，所以
，
平面
，
为直角三角形，又
，
，
所以
，又
，
，所以
，
，
所以
，所以
，
所以点 到平面
所以
的距离为
，C正确，
对于D，因为
平面
，
平面
，

所以
，
因为
，
，
平面
，
，
所以
平面
，故
为直角三角形，
，又
平面
，
所以
为直角三角形，
同理可证
取
的中点 ，则
，
所以四棱锥
的外接球的外接球的球心为
，
所以四棱锥
所以四棱锥
故选：ACD.
的外接球的半径为
的外接球得表面积
，
，D正确，
11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为 ，“第一次取得白球”为 ，“第二次取得黑
球”为 ，“第二次取得白球”为 ，则（
A. B.
）
C.
D.
答案
解析
BC
【分析】
由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可.
【详解】
由题意
因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球，
所以
因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球，
所以
，
，
,
,
,
第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：
第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：
第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：
第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：
第二次取得黑球的概率为
，
，故A错误；
，
，
，
，
第二次取得白球的概率为
所以
，故B正确；
，
，
，
故
，故C正确；
，故D错误；
故选：BC.
12. 已知
，则
.
答案
解析
【分析】
由二倍角的正切公式可得.
【详解】
因为
所以
，
.
故答案为：
.
13. 已知
，
，则
.

答案
解析
2
【分析】
根据对数性质判断
【详解】
且
，由已知条件利用对数运算可求解.
因为
所以
所以
，
，则
且
，
，
，
.
故答案为： .
14. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
10
非优秀
总计
甲班
乙班
30
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为
，则下列说法正确的是
.
①列联表中 的值为
②列联表中 的值为
的值为40；
的值为50；
③根据列联表中的数据，若按
④根据列联表中的数据，若按
的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
附：
，其中
0.1
.
0.15
2.072
0.05
0.025
5.024
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
答案
解析
①
【分析】
根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出 的值，即可判断选项③④.
【详解】
由题意知，成绩非优秀的学生数是
，
成绩非优秀的学生数是70，所以
选项①正确、②错误；
，
根据列联表中的数据，
得到
因此没有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.
故③，④错误，
故答案为：①.
15.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的值；
，
.
(1)求
(2)若
，求
的面积.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理可得
，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得
【详解】
，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解.
（1）因为
，
，所以
，

因为
，所以
，所以
，所以
.
（2）因为
，
因为
因为
所以
， 为锐角，
，所以
，
，
故
的面积为
.
16. 如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
是等边三角形，
为
的中点．
(1)证明：
(2)若
平面
；
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
答案
解析
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先证明
，
，然后利用线面垂直的判定定理证明
垂直于平面
；
（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.
【详解】
（1）由于
是等边三角形， 为
的中线，所以
的中点．
，
故
是等边
平面
在平面
的中点 ，连接
平面
又因为
由于
，
在平面
内，所以
，
和
内，且交于点 ，
，则由 是
，
，所以
平面
；
（2）取
的中点，知
是三角形
的中位线，故
平行于
.
因为
，
平行于
，即
，
所以
垂直于平面
三线两两垂直.
以 为坐标原点，
的方向分别为
轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则由
，
，
，
，
，知
，
，
，
，
，
所以
．
设平面
的法向量为
，即
，则
令
，则
，
，故
．
显然平面
的一个法向量为
.
而
，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．

17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用
户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：
用户一个月月租减免的费用x（元）
用户数量y（万人）
4
2
5
6
7
8
2.1
2.5
2.9
3.2
已知x与y线性相关.
(1)求y关于x的经验回归方程（
，
）；
(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
答案
解析
(1)
(2)5.10万人
【分析】
（1）分别求出
，
的值，再由公式可计算得
，继而易得 ，从而得出答案；
（2）
代入（1）得到的回归方程即可得出结论.
【详解】
（1）由
，
，
有
，
，
故y关于x的经验回归方程为
；
（2）由（1）知经验回归方程为
所以预测该月的用户数量为5.10万人
，当
时，
，
18. 已知函数
.
(1)若
(2)若
，求
在
上的值域；
对任意
恒成立，求实数 的取值范围.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）求导可得
，利用导数可得
的单调性，进而分析最值和值域；
（2）分析可知原题意等价于
在
上恒成立，构建
，利用导数求
的单调性和最值，结合恒成立问题分析
求解.
【详解】
（1）若
令
，则
，
，
，解得
；令
上单调递减，在
，解得
；
可知
则
在
上单调递增，
，且
，
当
时，
在
，可知
在
上的最大值为
，
所以
上的值域是
；
（2）当
时，
满足要求，所以
恒成立，即
，
原题意等价于
令
对
在
上恒成立，
，则
，
当
时，
；当
上单调递减，在
，可得
时，
；
可知
则
在
上单调递增，
，
综上，实数 的取值范围是
.

19. 甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为 ，乙射击一次命中的概率为 ，比赛共进行 轮次，且每次射击结果相互独立，现
有两种比赛方案，方案一：射击 次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未
命中，则得0分，并终止射击．
(1)设甲同学在方案一中射击 轮次总得分为随机变是
，求
；
(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定 的最小值，使得当
时，甲的总得分期望大于乙．
答案
解析
(1)20
(2)12
【分析】
（1）由已知设
，则 服从二项分布，根据二项分布期望的公式和期望的性质求解即可；
（2）设乙同学的总得分为随机变量 ，写出 的所有可能取值，并计算相应的概率，并求解
，利用设
，求解 的最小值即可.
【详解】
（1）设
，故
，
所以
故
，
；
（2）由（1）知
，
设乙同学的总得分为随机变量
，
的所有可能取值为 ， ，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
所以
设
，
，
则
，
故
，
即
故
，代入
，
，
设
，
易知，当
时，
，且
，
则满足题意的 最小为12.
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查概率的综合问题，方案一利用二项分布求期望，方案二的期望表达式与数列知识结合，通过变形转化为错
位相减法求和问题，再利用作差法求解.