北京首都师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题

这是一份北京首都师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了16×10​7B．1，3表示收入 6，5h，25+-3-214-1；等内容，欢迎下载使用。

2024.2
一.选择题（本题共30分，每小题3分）
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．2与12B．2与 -2C．1与 -1​2D．-1​2与1
2．“两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”.2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的 mate60系列低调开售. 据统计，截至2023年10月21日，华为 made60系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.16×10​7B．1.6×10​6.C．1.6×10​7D．16×10​6
3．小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是（ ）
A．-6.3表示收入 6.3元B．-6.3表示支出 -6.3元
C．-6.3表示支出 6.3元D．收支总和为 16.8元
4．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法. “牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体. 如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知直线 a//b,∠1=100​∘，则 ∠2等于（ ）
A．60​∘B．70​∘C．80​∘D．100​∘
6．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若 a=b，则 ac=bcB．若 a=b，则 ac=bc
C．若 ax​2+1=bx​2+1，则 a=bD．若 x=y，则 x-3=y-3
7．如图，某海域有三个小岛 A,B,O，在小岛 O处观测到小岛 A在它的北偏东 65​∘的方向上，观测到小岛 B在它的南偏西 15​∘的方向上，则 ∠AOB的度数是（ ）
A．80​∘B．100​∘C．130​∘D．140​∘
8．有理数 a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a<-3B．a0D．ab>1
9．长江上有 A、B两个港口，艘轮船从 A到 B顺水航行要用时 2h，从 B到 A（航线相同）逆水航行要用时 3.5h.已知水流的速度为 15km/h，求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为 xkm/h，则可列方程为（ ）
A．x-15×3.5=x+15×2B．x+15×3.5=x-15×2
C．x-153.5=x+152D．x+15×2+x-15×3.5=1
10．定义：把互不相等的3个正整数 x,2,5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串. 现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作. 下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1,2,3，则 x=1或3.
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1,2,3，则 x有4种不同的取值.
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数中1,2,3.
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二.填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若 x=1是关于 x的方程 5x-3a=4的解，则 a的值为 .
12．如果单项式 2x​my​3与单项式 -13x​2y​n的和仍是单项式，那么 m+n= .
13．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是 .
14．《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分. 其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的 14，则《风》有 .
15．如图，将一副三角板如图所示放置，∠COD=∠AOB=90​∘，若 ∠AOD=20​∘，则 ∠BOC的度数为 .
16．如图，国际象棋棋盘，由64个黑白相间的格子组成，棋盘上2个不同的正方形格如果有一条公共边，就称它们为相邻的. 将棋盘上 N个白色正方形格作上标记，使得板上的任意黑色正方形格都与至少一个作上标记的白色正方形格相邻，则 N的最小值为 .若棋盘由 2n×2n个黑白相间的格子组成，则 N的最小值为 .
三.解答题（本题共52分，第17-19题，每小题4分，第20题5分，第21题4分，第22题5分，第23-24题，每小题4分，第25-27题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：
（1）2.25+-3-214-1；
（2）312×-67+-10÷-23；
18．解关于x的方程：
（1）4-x=32-x
（2）x+12-2-3x3=1.
19．先化简，再求值：23x​2y-xy​2--xy​2+3x​2y. 其中 x=2,y=-1.
20．如图，平面上有 A,B,C,D四点. 按下列语句画图：
（1）画直线 AB;
（2）画射线 BC;
（3）连接 CD;
（4）反向延长线段 CD至点 E，使 CE=2CD;
（5）连接 AE，与 BC相交于点 F.
21．阅读材料：在合并同类项中，5a-3a+a=5-3+1a=3a，类似地，我们把 x+y看成一个整体，则 5x+y-3x+y+x+y=5-3+1x+y=3x+y.“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用：
（1）把 x-y​2看成一个整体，合并 3x-y​2-6x-y​2+2x-y​2的结果是 .
（2）已知 a​2-2b=1，求 3-2a​2+4b的值；
22．已知：如图，∠AOB=40​∘，在 ∠AOB的外部引射线 OC，使 ∠BOC=20​∘，再画出 ∠AOC的角平分线 OD.
（1）请借助直尺和量角器补全图形；
（2）求 ∠BOD的度数.
以下是求 ∠BOD的度数的解题过程，
请你补充完整.解： ∵∠AOB=40​∘,∠BOC=20​∘，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC= °.
∵OD平分 ∠AOC,
∴∠AOD=12∠ （ ）（填写推理依据）.
∴∠AOD= °.
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD= °.
23．如图所示，点 C在线段 AB上，AB=30,AC=12，点 M,N分别是 AB,BC的中点.
（1）求 CN的长度；
（2）求 MN的长度；
24．某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品. 现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成. 已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件.
（1）求这批纪念品共有多少件？
（2）该外贸公司请甲、乙两个工厂一起生产这批纪念品. 在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用是1000元. 求该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和.
25．阅读材料：对于任意有理数 a,b，规定一种特别的运算“◎”：a◎b=a​2-2b​2+ab.
例如，5◎2=5​2-2×2​2+5×2=27.
（1）求 3◎-1的值；
（2）若 x◎2x=-5，求 x的值；
（3）试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律？
26．如图，∠AOB=α0∘<α<60∘,∠COD=2α,OE为 ∠AOC的平分线，点 B与点 E在直线 AO的两侧.
（1）如图1，当点 A,O,C在一条直线上时，求 ∠AOD和 ∠BOE的大小（用含α的式子表示）；
（2）将图1中的 ∠COD绕点 O顺时针旋转 180​∘，用等式表示旋转过程中 ∠AOD与 ∠BOE的数量关系，并说明理由.
27．日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短：
实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间. 如：若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队时间为3，第三个人的排队时间为7.
不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足. 于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短.
假设现有三人需要排队办公，分别为甲、乙、丙，他们的办公时间分别为20、23、29.
数据计算：．对三种排队方案进行计算比较.
方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则排队时间为 .
方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则排队时间为 .
方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则排队时间为 .
实验结论：对比可知，方案 的排队时间最短. （填“一”、“二”、“三”）
推广证明：．甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为 a、b、c（其中a【参考答案】
首都师大附中初一年级开学练习
数学
一.选择题（本题共30分，每小题3分）
1．D
解：A、2+12≠0，故A不符合题意.
B、2+-2≠0，故B不符合题意.
C、1+-12≠0，故C不符合题意.
D、-12+1=0，故D符合题意.
故选：D.
2．B
解：1600000=1.6×106，
故选：B.
3．C
解：根据+10.5表示收入10.5元，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，-6.3表示支出6.3元，
故选：C.
4．A
解：该几何体的俯视图是：
故选： A.
5．C
解：∵a//b,∠1=100​∘，
∴∠3=100​∘，
∴∠2=80​∘，
故选：C.
6．A
解：∵若 a=b，只有 c≠0时，ac=bc成立，
∴选项 A符合题意；
∵若 a=b，则 ac=bc,
∴选项 B不符合题意；∵若 ax​2+1=bx​2+1，则 a=b,
∴选项 C不符合题意；
∵若 x=y，则 x-3=y-3,
∴选项 D不符合题意.
故选：A.
7．C
解：如图所示：
根据方向角的定义得：∠1=65​∘,∠2=15​∘，
∴∠3=90​∘-∠1=90​∘-65​∘=25​∘，
∴∠AOB=∠2+90​∘+∠3=15​∘+90​∘+25​∘=130°.
故选：C.
8．D
解：由数轴得，-3b,a+b<0,ab>1,
故选： D.
9．A
解：设轮船在静水中的航行速度为 xkm/h，则轮船顺水航行的速度为 x+15km/h，轮船逆水航行的速度为 x-15km/h,
依题意，得：2x+15=3.5x-15.
故选：A
10．A
解：①若新数串为1,2,3则2不是新数串中最大值,
∴5是被替换的数，即存在 5-2x=3时x=1或5-2x=1时x=3，故①正确；
②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：x-10,2,5,
经过第二次操作，新数串为1,2,3，
则可知，第二次操作，5被替换，即5为最大数，
∴x-10<5或x-10>-5,
解得：5∴新数串为 x-10,2,5-2x-10,
当 x-10=3,x=13或x=7,
当 x=13​时，5-2x-10=1，符合题意；
当 x=7时，5-2x-10=1，符合题意；
当 x-10=1,x=11或x=9，
当 x=11时，5-2x-10=3，符合题意；
当 x=9时，5-2x-10=3，符合题意；
∴当x为最大值时，x=7或9或11或13；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：5-2x,2,x,
∵经过第二次操作后仍然存在2，
∴5-2x>x或5-2x当5-2x>x时，5-2x>05-2x>x0由5-2x>05-2x>x0∴x=1,
当 x=1时，第一次操作后新数串为1,2,3，进行第二次操作后为1, 1,2，不符合题意；
∴x=1不符合题意；
不等式组5-2x<05-2x<-x0当5-2x05-2x-x0不等式组5-2x>05-2x由5-2x<05-2x>-x0∵x为正整数，
∴x=3或x=4,
当x=3时，第一次操作后新数串为1,2,3，进行第二次操作后为1, 1,2，不符合题意；
当x=4时，第一次操作后新数串为3,2,4，进行第二次操作后为2,2,3，不符合题意；
综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确；
③当 x=24时，第一次操作后新数串为 14,2,5，
进行第二次操作后为4,2,5，
进行第三次操作后为 4,2,3，
进行第四次操作后为2,2,3，不符合题意，
∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当 x=24时，在整个操作过程中不存在新数串1，2,3，故③错误；
二.填空题（本题共18分，每小题3分）
11．13
解： ∵x=1是关于 x的方程 5x-3a=4的解，
∴5-3a=4,
解得：a=13.
故答案为： 13.
12．5
解：∵单项式 2x​my​3与单项式 -13x​2y​n的和仍是单项式，
∴2​my​3与 -13x​2y​n是同类项，
∴ m=2,n=3.
故答案为：5.
13．两点之间线段最短
解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短.
14．160
解：设《风》有x篇，则《颂》为 14x篇，
根据题意得，x+14x=200,
解得 x=160,
答：《风》有160篇.
故答案为：160.
15．160°
解： ∵∠COD+∠AOB=∠BOC+∠AOD,
∴∠BOC=∠COD+∠AOB-∠AOD,
∵∠AOD=20​∘，∠COD=∠AOB=90​∘，
∴∠BOC=160​∘，
故答案为：160°.
16．10； nn+12
解：如图1，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，
则各奇数行白格子的个数分别为 1,3,5,7,7,5,3,1，
在第3、7、11、15行将奇数位置的白格子作上标记，
从而作上标记的白格子共有 2+4+3+1=10，
若由 2n×2n个黑白相间的格子组成，将“棋盘”按最长的黑格子对角线水平放置，
则各奇数行白格子的个数分别为 1,3,⋯,2n-1,2n-1,⋯,3,1,
在第 4k-1行将奇数位置的白格子作上标记，
如图2，从而作上标记的白格子共有 2+4+…+n+…+3+1=nn+12.
故答案为：10；nn+12.
三.解答题（本题共52分，第17-19题，每小题4分，第20题5分，第21题4分，第22题5分，第23-24题，每小题4分，第25-27题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（1） 解：2.25+-3-214-1
=2.25+-3+-2.25+-1
=-4;
（2） 312×-67+-10÷-23
=72×-67+10×32
=-3+15
=12;
18．（1） 解：去括号得，4-x=6-3x,
移项得，3x-x=6-4,
合并同类项得，2x=2,
系数化为1得，x=1;
（2） x+12-2-3x3=1,
去分母得，3x+1-22-3x=6,
去括号得，3x+3-4+6x=6,
移项、合并得，9x=7,
系数化为1得，x=79.
19．解：原式 =6x​2y-2xy​2+xy​2-3x​2y
=3x​2y-xy​2,
当 x=2,y=-1时，原式 =3×2​2×-1-2×-1​2=-12-2=-14.
20．解：如图：
直线 AB，射线 BC，线段 CD，线段 CE，线段 AE，即为所求.
21．（1） -x-y​2
解：把 x-y​2看成一个整体，合并 3x-y​2-6x-y​2+2x-y​2的结果是-x-y​2，
故答案为：-x-y​2;
（2） ∵a​2-2b=1,
∴原式 =3-2a​2-2b=3-2=1;
22．（1） 解：如图：
射线 OC,OD即为所求；
（2） 60； AOC； 角平分线的定义； 30； 10
解：∵∠AOB=40​∘,∠BOC=20​∘，
. ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60​∘.
∵OD平分 ∠AOC,
∴∠AOD=12∠AOB（角平分线的定义）.
∴∠AOD=30​∘.
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=10​∘，
故答案为：60，AOC，角平分线的定义，30,10.
23．（1） 解：∵AB=30cm,AC=12cm,
∴BC=AB-AC=30-12=18cm, ∵点 N是 BC中点，
∴CN=BN=12BC=9cm,
∴CN的长为 9cm;
（2） ∵点 M是 AB的中点，
∴AM=BM=12AB=15(cm),
∵BN=9cm,
∴MN=BM-BN=15-9=6cm,
∴MN的长度为 6cm;
24．（1） 解： 1240-1360=1720，
5÷1720=3600（件），
答：这批纪念品共有3600件.
（2） 3600÷240+360=6（天），
11000×6+16000×6+1000×6=168000（元），
答：所支出的费用总和是168000元.
25．（1） 解：3◎-1=3​2-2×-1​2+3×-1=4；
（2） ∵x◎2x=-5,
∴x​2-2×2x​2+x×2x=-5
∴-5x​2=-5
∴x​2=1.
∴x=±1
（3） 不具有交换律.
答案不唯一，例如：
∵3◎-1=3​2-2×-1​2+3×-1=4，
-1◎3=-1​2-2×3​2+-1×3=-20，
∴3◎-1≠-1◎3.
∴不具有交换律.
26．（1） 解：∵点A,O,C在一条直线上，
∴∠AOC=180​∘.
∵OE为 ∠AOC的平分线，
∴∠AOE=12∠AOC=90​∘.
∵∠AOB=α,∠COD=2α,
∴∠AOD=180​∘-∠COD=180​∘-2α，∠BOE=∠AOE+∠AOB=90​∘+α.
（2） ∵OE为 ∠AOC的平分线，∴∠AOE=12∠AOC.
如图2，当 OD在直线 AO上方或与直线 AO重合时，
∵∠AOB=α,∠COD=2α，
∴∠AOD=360​∘-∠COD-∠AOC=360​∘-2α-∠AOC
∠BOE=∠AOB+∠AOE=α+12∠AOC.
∴∠AOD+2∠BOE=360​∘.
如图3，当 OD在直线 AO下方时，
∵∠AOB=α,∠COD=2α，
∴∠AOD=∠COD+∠AOC=2α+∠AOC,
∠BOE=∠AOB+∠AOE=α+12∠AOC.
∴∠AOD=2∠BOE.
综上所述，在旋转过程中，∠AOD+2∠BOE=360​∘或∠AOD=2∠BOE.
27．数据计算： 0+20+20+23=63； 0+23+23+29=75； 0+29+29+23=81； 一
【解析】方案一：总排队时间为 0+20+20+23=63；
方案二：总排队时间为 0+23+23+29=75；
方案三：总排队时间为 0+29+29+23=81.
实验结论：
∵63<75<81，
∴方案一的排队时间最短.
推广证明： 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 2a+b;
方案二：排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为 2a+c;
方案三：排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为 a+2b;
方案四：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 2b+c;
方案五：排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为 a+2c;
方案六：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 b+2c.
∵2a+b-2a+c=b-c<0
∴方案一比方案二总排队时间短
∵2a+b-a+2b=a-b<0
∴方案一比方案三总排队时间短
∵2a+b-2b+c=a-b+a-c<0
∴方案一比方案四总排队时间短
∵2a+b-a+2c=a-c+b-c<0
∴方案一比方案五总排队时间短
∵2a+b-b+2c=2a-c<0
∴方案一比方案六总排队时间短
综上所述，方案一总排队时间最短.