贵州省黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

这是一份贵州省黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一元二次方程x2−3x−2=0的一次项系数是（ ）
A．3xB．−3xC．3D．−3
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是10米
4．点P(2，−1)关于原点对称的点P'的坐标是（ ）
A．(−2，1)B．(−2，−1)C．(−1，2)D．(1，−2)
5．二次函数y=(x−1)2+4的顶点坐标是（ ）
A．(1，4)B．(−1，4)C．(1，−4)D．(−1，−4)
6．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，若将△ABD经过旋转到△ACP的位置，则旋转角的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，已知∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
8．关于x的方程x2+mx−3=0的一根是1，则m的值是（ ）
A．−3B．3C．−2D．2
9．一次函数y=x+a与二次函数y=ax2−a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（ ）
A．5cmB．52cmC．53cmD．6cm
11．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm长为半径作圆．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．(23−π)cm2B．(π−3)cm2C．(43−2π)cm2D．(2π−23)cm2
12．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
若1A．该函数图象开口向上
B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C．对称轴是直线x=m
D．若x1是方程ax2+bx+c=0的正数解，则2二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．一天中钟表时针从上午6时到上午9时旋转的度数为 ．
14．抛物线y=x2−3可以由抛物线y=x2向 平移3个单位得到．
15．设a，b是一元二次方程3x2−2x−7=0的两根，则3a2−a+b= ．
16．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M是平面内一动点，且满足BM=2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17． 解方程：
（1）x2−x−3=0；
（2）(2x+3)2=5(2x+3)．
18． 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，对称轴是y轴，利用图象解答下列问题：
（1）点A、B的坐标分别是：A( )，B( )；
（2）若y>0，则x的取值范围是 ；
（3）函数y的最小值是 ．
19．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
20． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接BO并延长，交⊙O于点G，连接GC，若OE=3，求GC的长．
21． 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22． 如图，△ABC中，点E在BC边上．AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF=BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，∠FGC的度数为 °.
23． 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y(件)与每件的销售单价x(元)满足一次函数关系：y=−2x+140(x>40)．
（1）当x=50时，总利润为 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
24． 如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A(−1，0)、B两点，交y轴于C(0，3)，点P在抛物线上，横坐标设为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
（3）若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m，求m的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；
（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接写出PB的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】根据题意
一元二次方程x2−3x−2=0的一次项是-3x，
一次项系数是-3
故选：D
【分析】根据一元二次方程的一般式y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c，找到一次项系数。
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】
A：轴对称图形，不符合题意
B：中心对称图形，符合题意
C：轴对称图形，不符合题意
D：轴对称图形，不符合题意
故选：B
【分析】根据中心对称图形的定义把一个图形绕某点旋转180°后可以和原图形重合，这样的图象是中心对称图形，进行判定即可。
3．【答案】B
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】
A：打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意
B：太阳每天从东方升起，是必然事件，符合题意
C：某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，不是必然事件，不符合题意
D：某运动员跳高的最好成绩是10米，是随机事件，不符合题意
故选：B
【分析】根据必然事件的定义在某一条件下必然重复发生的事件，进行判定即可。
4．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意
点P(2，-1)关于原点对称的点P'的坐标（-2，1）
故选：A
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征横纵坐标分别互为相反数判定即可。
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】
二次函数y=(x−1)2+4的解析式是顶点式
图象的顶点坐标是(1，4）
故选：A
【分析】根据二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k，可直接判断出其图象的顶点坐标为（h，k）。
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】根据题意
∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°
∵△ABD经过旋转到△ACP位置，
∴AB绕点A逆时针旋转到AC位置，旋转角是∠BAC
∴旋转角的度数为 60°
故选：D
【分析】由图分析旋转的三要素，可知旋转角度是等边三角形的内角∠BAC，故选60°。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵AC=AC ，
∴∠ABC= 12 ∠AOC= 12 ×80°=40°，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理进行求解即可得.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意
将x=1代入方程x2+mx−3=0
得12+m×1−3=0
解得m=2
故选：D
【分析】根据方程的根的意义，将根代入原方程可求出m值。
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】
A： 抛物线开口向上a>0，直线与y轴交点在负半轴a<0，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
B： 抛物线开口向上a>0，直线与y轴交点在负半轴a<0且倾斜方向不符合k>0，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
​​​​​​C： 抛物线开口向下a<0，直线与y轴交点在负半轴a<0，倾斜方向符合k>0，两图象可在同一坐标系中，符合题意
D： 抛物线开口向下a<0，直线与y轴交点在正半轴a>0，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
故选：C
【分析】一次函数和二次函数具有相同的参数a，在同一坐标系中根据函数的图象性质与系数的关系，可以大致判断图象在坐标系的位置关系。
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EC，
∵∠E与∠B是AC对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE•sin45°=10×22=52（cm）.
∴AC的长为52cm.
故答案为：B.
【分析】连接EC，根据圆周角定理可得∠E=∠B，∠ACE=90°，结合已知条件可得∠E=∠EAC，则∠E=∠EAC=45°，然后利用三角函数的概念即可求出AC.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图所示
S阴影=S△ABC−3S扇形
∵△ABC是正三角形，边长为2×2=4cm，
∴三角形的高ℎ=AB2−BD2=42−22=23cm
∴S△ABC=12BC×ℎ=12×4×23=43cm2
∵三个扇形的半径相等、圆心角度数都是60°
∴3S扇形=12S圆形=12π×22=2πcm2
∴S阴影=S△ABC−3S扇形=43−2πcm2
故选：C
【分析】掌握割补法求不规则图形的面积及三角形面积和扇形面积的计算，熟悉等边三角形由边长快速计算高进而求面积。
12．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据表格可知
若1A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意
B：该函数图象与y轴的交点在x轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意
C：对称轴是直线x=m，叙述错误，对称轴是直线x=1，不符合题意
D：若x1是方程ax2+bx+c=0的正数解，则20，m−2<0，有2故选：D
【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 m−4.5可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；10.5，故 函数图象与y轴的交点在x轴的上方；由零点定理m−0.5>0，m−2<0，函数必有一个交点在对应的x值之间。
13．【答案】90°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】根据题意
时针旋转一周是12小时
∴时针1小时旋转360°÷12=30°
上午6时到上午9时是3个小时
∴时针转过的度数为30°×3=90°
故填：90°
【分析】掌握钟面角的计算，根据钟面上时针旋转一周计时12时的性质计算时针3个小时旋转的角度。
14．【答案】下
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】根据函数图象平移的性质，
抛物线y=x2−3可以由抛物线y=x2向下平移3个单位得到
故填：下
【分析】根据二次函数平移的性质，对于y=a（x-h）2+k的图象由y=ax2的图象平移得到，左加右减上加下减的原则，当k小于0时，图象向下移动。
15．【答案】723
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意
a+b=−−23=23
∵3x2−2x−7=0
∴3x2=2x+7即3a2=2a+7
∴3a2−a+b=2a+7−a+b=a+b+7=723
故填：723
【分析】根据一元二次方程根的意义，利用整理代入的思想将所求代数式降次，最后根据韦达定理计算求值。
16．【答案】32≤CN≤72
【知识点】矩形的性质；圆-动点问题
【解析】【解答】解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC，
∵N为MD的中点，
∴ON为△DMB的中位线，
∴ON=12BM=1，
∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，
在矩形ABCD中，OC=12AC=12AB2+BC2=1232+42=52，
∴CN的取值范围为52−1≤CN≤52+1，
即32≤CN≤72，
故答案为：32≤CN≤72．
【分析】根据题意，M是平面内一点，因此动点M的运动轨迹是以B为圆心、BM=2为半径的圆， N为MD的中点，点M运动过程中N的运动轨迹是以对角线交点为圆心、12BM为半径的圆，在此基础上勾画出运动轨迹，由图可知，当N、O、C三点共线时CN最大而O、N、C三点共线时CN最小，应用勾股定理可进一步计算出取值范围。本题的关键在于正确判断动点N的运动轨迹和位置关系。
17．【答案】（1）解：x2−x−3=0，
这里a=1，b=−1，c=−3，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，
∴x=1±132×1=1±132，
∴x1=1+132，x2=1−132；
（2）解：(2x+3)2=5(2x+3)，
(2x+3)2−5(2x+3)=0，
(2x+3)(2x+3−5)=0，
∴2x+3=0或2x−2=0，
∴x1=−32，x2=1．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据求根公式求解一元二次方程，先计算判别式判断根的情况，再套用公式求解；（2）根据一元二次方程的特点，采用提公因式法进行分解因式，进而求解方程。
18．【答案】（1）-2，0；2，0
（2）x<−2或x>2．
（3）-4
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
（1）如图所示
A的坐标为（-2，0）
∵本函数图象关于y轴对称
∴B的坐标为（2，0）
故第一空填：-2，0 第二空填：2，0
（2）如图所示
当x<−2时，y>0
当x>2时，y>0
∴若y>0，x的取值范围是x<−2或x>2
故填： x<−2或x>2
（3）如图所示
函数是最低点在（0，-4）
∴函数y的最小值是-4
故填：-4
【分析】根据二次函数图象与坐标轴交点的意义和性质，可直接在图象上读取相关信息。
19．【答案】此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
列表如下，
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【解答】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等。
【分析】此题考查了树状图的列法和利用概率说明游戏的公平性问题。
20．【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD；
（2）解：根据题意，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴OE=12CG
∵OE=3，
∴CG=6．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所证两角都在弦BC的同侧，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可以判定 ∠BAD=∠CAD； （2）同样根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得到E平分BC，由中位线定理得到OE=12GC，OE已知，则GC可求。
21．【答案】（1）解：设BC=xm，则AB=(33−3x)m，
依题意，得：x(33−3x)=90，
解得：x1=6，x2=5．
当x=6时，33−3x=15，符合题意，
当x=5时，33−3x=18，18>15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m．
（2）解：不能，理由如下：
设BC=ym，则AB=(33−3y)m，
依题意，得：y(33−3y)=100，
整理，得：3y2−33y+100=0．
∵△=(−33)2−4×3×100=−111<0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
22．【答案】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴EF=BC；
（2）78
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：由全等性质可知
∠AFE=∠ACB=28°
∵AE=AB
∴∠ABC=∠AEB=65°
∴∠BAE=180°−∠ABC−∠AEB=180°−65°−65°=50°
∴∠CAF=50°
∴∠FGC=∠CAF+∠AFE=50°+28°=78°
故填：78
【分析】（1）通常证明线段相等先考虑证明线段所在的三角形全等，由已知和旋转的性质，找到符合判定定理SAS的条件，故可证明；（2）所求角是三角形FAG的外角，根据外角定理等于不相邻的两个内角和，一个内角由全等性质可知，另一个内角根据等腰三角形内角和定理可求，故外角度数可求。
23．【答案】（1）400
（2）w=−2x2+220x−5600
（3）解：∵y≥38，
∴−2x+140≥38，
解得：x≤51．
∵w=−2x2+220x−5600=−2(x−55)2+450，
∴对称轴为x=55，抛物线开口向下，
∴当x≤55时，w随x的增大而增大，
∵x≤51，
∴当x=51时，w有最大值，最大值为：−2×512+220×51−5600=418．
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【知识点】二次函数的最值；列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意
y=−2x+140(x>40)
当x=50时
y=−2×50+140=40件
每件进价40元
总利润为50−40×40=400元
（2）根据题意
单件利润为（x-40）元
销售数量为（-2x+140）件
设总利润为w元，
w=x−40−2x+140=−2x2+220x−5600（x>40）
故填： w=−2x2+220x−5600x>40
【分析】（1）根据题中一次函数的意义可直接代入求得销售数量，再根据总利润=单件利润×销售数量计算求值；（2）在第一问的基础上找到总利润和销售单价的函数关系式，注意销售数量是在给定函数基础上计算的，故要统一x的取值范围；（3）不小于即大于等于，根据题意可计算出售价 x≤51 ，根据二次函数w=−2x2+220x−5600x>40的解析式，可知图象开口向下，在对称轴左侧递增，故x=51时w有最大值，最大值可求。
24．【答案】（1）解：由题意，将A、C两点坐标代入已知解析式得，−1−b+c=0c=3，
∴b=2c=3．
∴所求解析式为：y=−x2+2x+3．
（2）−1（3）解：由题意，y=−x2+2x+3的对称轴为x=1．
当m≤1时，当x=1时，P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m=4，
∴m=−5．
当m>1时，当x=m时，P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为−1−m=−m2+2m+3，
∴m1=−1(舍去)，m2=4．
综上，符合题意得m为−5或4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）二次函数的解析式有2个未知系数，题中给定抛物线上两点坐标，代入列出方程组，求解即可；（2）根据二次函数的图象，且与x轴的交点已知，可直接写出P在x轴上方时m的取值范围；（3）抛物线的顶点坐标可求，为（1，4），当P在抛物线的对称轴左侧时，-1-m=4，当P在抛物线的对称轴右侧时，最高点是P点， −1−m=−m2+2m+3，区分这两种情况分别计算即可。
25．【答案】（1）解：如图
（2）解：BD和CE的数量是：BD=CE；
∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．
∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．
（3）PB的长是 255 或 655
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）①CE= 22+12=5 .
∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE，
∴△ACD∽△PBE，
∴PBAC=BECE ，
∴PB=2×15=225 ；
②∵△ABD∽△PDC，
∴PDAD=CDBD ，
∴PD=1×15=55 ；
∴PB=PD+BD= 55+5=665 .
∴PB的长是 255 或 655 ．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而可得BD=CE；（3）①根据“SAS”可证△ABD≌△ACE，从而得到∠ABD=∠ACE，再由两角对应相等的两个三角形相似可证△ACD∽△PBE，列比例方程可求出PB的长；②与①类似，先求出PD的长，再把PD和BD相加.
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
m−4.5
m−2
m−0.5
m
m−0.5
m−2
m−4.5
…