贵州省黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份贵州省黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省黔东南州教学资源共建共享实验基地名校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若关于x的方程（m﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
6．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
8．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
9．（3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如所示，则化简|a+b+c|+|2a+b|得（　　）

A．z+b B．a﹣c C．a﹣b D．3a+2b
11．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB＝（　　）

A．110° B．120° C．150° D．170°
二、填空题：（每小题4分，4个小题共16分）
13．（4分）点P（2，3）关于原点的对称点P'的坐标为 　 　．
14．（4分）抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 　 　．
15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有　 　．（只填序号）

三、解答题：（9个小题，共98分）
16．（12分）解方程：（1）x2﹣x﹣3＝0；
（2）4（x+1）2＝2x+2．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）求△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于原点中心对称的△A'B'C'；
（3）写出A'、B'、C'三点的坐标．

18．（10分）抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图中画出这条抛物线；
（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．

19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F．
（1）若∠BAC＝30°，BC＝1，求线段AD的长；
（2）求证：AB⊥DF．

20．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
21．（10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2010年盈利1500万元，到2012年盈利2160万元，且从2010年到2012年，每年盈利的年增长率相同．求该公司每年盈利的年平均增长率多少？
22．（12分）如图1，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝2，将△DEF的直角顶点D放置在△ABC斜边的中点处，△DEF的两直角边与△ABC的两直角边都相交，交点分别为P、Q．
[探究发现]
（1）在图1中，若DE⊥AC．则CP+CQ＝　 　．
[拓展迁移]
（2）将△DEF绕点D旋转适当角度，使DE与AC不垂直（如图2），求CP+CQ的值．

23．（12分）某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价x元，商场每天获利y元．
（1）若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
（2）写出y与x的函数关系式；并求出销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（18分）如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题：（每小题3分，12个小题共36分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）若关于x的方程（m﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值．
解：∵关于x的方程（m﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，
∴，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+5＝0，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+3）2＝﹣4 B．（x﹣3）2＝﹣4 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
【分析】把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
解：把方程x2﹣6x+5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x＝﹣5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，
配方得（x﹣3）2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了配方法，解题的关键是注意：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0没有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（m﹣1）×1＜0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝12﹣4（m﹣1）×1＜0，
所以m＞．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
6．（3分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据旋转的性质：旋转变化前后，图形的大小、形状都不改变，进行分析．
解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，
∴OA＝OA′．
∴△OAA′是等边三角形．
∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小可以是60°．
故选：C．
【点评】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识．难度中等．
7．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的两点，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【分析】求出二次函数的图象开口方向的对称轴，再根据二次函数的性质即可判断出y1与y2的大小关系．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为点A（4，y1），且2＜4，
∴y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是本题的关键．
8．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2﹣2可化为为3（x1+x2）+x1x2﹣3，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x1为方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．注意先降次，再利用根与系数的关系解决问题．
9．（3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．
解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如所示，则化简|a+b+c|+|2a+b|得（　　）

A．z+b B．a﹣c C．a﹣b D．3a+2b
【分析】根据图象可知﹣＜1，a＞0，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，再化简所求式子即可．
解：∵抛物线的对称轴x＜1，
∴﹣＜1，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b+2a＞0，
∵图象经过原点，
∴c＝0，
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴|a+b+c|+|2a+b|＝﹣a﹣b﹣c+2a+b＝a﹣c，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特点，绝对值的性质是解题的关键．
11．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝﹣，与y轴的交点坐标为（0，c）．
解：A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
12．（3分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB＝（　　）

A．110° B．120° C．150° D．170°
【分析】根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，则△BPC≌△BEA，

∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题：（每小题4分，4个小题共16分）
13．（4分）点P（2，3）关于原点的对称点P'的坐标为 　（﹣2，﹣3）　．
【分析】由关于原点对称的点的坐标关系，即可得出答案．
解：点P（2.3）关于原点对称点P（﹣2．﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查坐标系点的对称，属于基础题．
14．（4分）抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为 　y＝2（x+3）2﹣2　．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可．
解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2﹣2；
故答案为：y＝2（x+3）2﹣2．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有　①②③⑤　．（只填序号）

【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x＝1时，y＜0，可判断⑥
【解答】解由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，Δ＝b2﹣4ac＞0，对称轴为x＝
∴abc＞0，4ac＜b2，当x＜时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确
∵﹣＝＜1
∴2a+b＞0
故③正确
由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误
当x＝1时，y＝a+b+c＜0
故⑥错误
故答案为①②③⑤
【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，利用函数图象解决问题是本题的关键．
三、解答题：（9个小题，共98分）
16．（12分）解方程：（1）x2﹣x﹣3＝0；
（2）4（x+1）2＝2x+2．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项得到4（x+1）2﹣2（x+1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为2（x+1）＝0或2x+2﹣1＝0，然后解一次方程即可．
解：（1）x2﹣x﹣3＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
x＝＝，
所以x1＝，x2＝；
（2）4（x+1）2＝2x+2，
4（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
2（x+1）（2x+2﹣1）＝0，
2（x+1）＝0或2x+2﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）求△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于原点中心对称的△A'B'C'；
（3）写出A'、B'、C'三点的坐标．

【分析】（1）根据割补法求解即可；
（2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
（2）根据图形直接写出答案．
解：（1）S﹣＝；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求；

（3）A'（﹣1，﹣3），B'（﹣4，﹣2），C'（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
18．（10分）抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图中画出这条抛物线；
（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．

【分析】（1）根据顶点坐标设其顶点式，再将（1，0）代入求解可得；
（2）利用五点画出函数图象即可；
（3）根据函数图象即可求解．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，

（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），
令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
画出函数图象如下：


（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次不等式间的关系．
19．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F．
（1）若∠BAC＝30°，BC＝1，求线段AD的长；
（2）求证：AB⊥DF．

【分析】（1）由直角三角形的性质及勾股定理求出AB和AC的长，由旋转的性质得出AC＝CD＝，由勾股定理可得出答案；
（2）由旋转的性质得出∠BAC＝∠CDE，证出∠AFE＝∠ECD＝90°，则可得出AB⊥DE．
【解答】（1）解：∵BC＝1，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠BAC＝∠CDE，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AFE＝∠ECD＝90°，
∴AB⊥DE．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．
解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），
答：每个支干长出9个小分支．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．
21．（10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2010年盈利1500万元，到2012年盈利2160万元，且从2010年到2012年，每年盈利的年增长率相同．求该公司每年盈利的年平均增长率多少？
【分析】设该公司每年盈利的年平均增长率是x，根据题意条件建立方程求出其解就可以得出结论．
解：设该公司每年盈利的年平均增长率是x，由题意，得：
1500（1+x）2＝2160，
∴（1+x）2＝1.44，
∴1+x＝±1.2，
∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2＝﹣220%，
因为增长率是正数，所以x2＝﹣2.2＝﹣220%舍去．
∴只取x1＝0.2＝20%，
答：该公司每年盈利的年平均增长率是20%．
【点评】本题考查了列一元二次方程解增长率的实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，在解答时根据条件建立方程是关键，求解后要验根是否符合实际问题是容易忘记的地方．
22．（12分）如图1，在△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC＝2，将△DEF的直角顶点D放置在△ABC斜边的中点处，△DEF的两直角边与△ABC的两直角边都相交，交点分别为P、Q．
[探究发现]
（1）在图1中，若DE⊥AC．则CP+CQ＝　2　．
[拓展迁移]
（2）将△DEF绕点D旋转适当角度，使DE与AC不垂直（如图2），求CP+CQ的值．

【分析】（1）证出DE∥BC，求出CP＝1，CQ＝1，则可得出答案；
（2）连接CD，由等腰直角三角形的性质可得CD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝45°，证明△CPQ≌△DBQ，由全等三角形的性质可得出CP＝BQ，则可得出答案．
解：（1）∵DE⊥AC，∠C＝90°，
∴DE∥BC，
∵D为AB的中点，
∴P为AC的中点，
∴PC＝AC＝1，
同理CQ＝BC＝1，
∴CP+CQ＝1+1＝2；
故答案为：2；
（2）连接CD，

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝45°，
∵AC＝BC，
∴CD⊥BD，
∴∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠PDC＝∠QDB，
∴△CPQ≌△DBQ（ASA），
∴CP＝BQ，
∴CP+CQ＝BQ+CQ＝BC＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△CPQ≌△DBQ是解题的关键．
23．（12分）某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价x元，商场每天获利y元．
（1）若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？
（2）写出y与x的函数关系式；并求出销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；
（2）根据（1）的关系式利用二次函数的性质即可求解．
解：（1）根据题意，得，
（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，
整理，得x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8．
答：每件商品应降价2元或8元．
（2）y＝（100﹣80﹣x）（100+10x）
＝﹣10x2+100x+2000
＝﹣10（x﹣5）2+2250，
当x＝5时，y有最大值为2250．
答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+2000．
当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练应用销售问题的数量关系．
24．（18分）如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据直线BC的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC即可得答案；
（3）假设存在符合条件的P点，连接BP、CP，过C作CF⊥x轴于F，若∠BPC＝90°，则△BPO∽△CPF，可设出点P的坐标，分别表示出OP、PF的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标．
解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，
得：，

解得，
∴解析式y＝x2﹣x+1．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．
∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
∴P（﹣2，0）．
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，
∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴，
即，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．

【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，掌握三角形相似性质是解题关键．