初中数学浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）课时练习

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知识点 一元二次方程根与系数的关系
1.【新独家原创】下列4个方程中,其中两根互为倒数的是( )
A.x2-3x+1=0 B.2x2-3x+1=0 C.x2-3x+2=0 D.x2-3x+3=0
2.【易错题】一元二次方程2x2-4x+2=1的两根为x1,x2,则下列各式正确的是( )
A.x1x2=1 B.x1+x2=4 C.x1+x2=-2 D.x1x2=12
3.【新课标例67变式】若两实数a,b满足a+b=-3,ab=2,则以a,b为根的一元二次方程可以是( )
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x+2=0 C.x2-3x-2=0 D.x2+3x-2=0
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4.(2023浙江宁波鄞州期中,7,★★☆) 已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是( )
A.-3,1 B.3,1 C.-32,-1 D.-32,1
5.【一题多解】(2022贵州黔东南州中考,5,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a-x12-x22的值为( )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
6.【教材变式·P45例1】若一元二次方程x2-3x+2=0的两根分别为x1、x2,则x12+x22= .
7.(2023湖北黄冈中考,12,★★☆)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= .
8.(2023浙江杭州外国语学校期中,14,★★☆)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则x22-x1+2 023的值为 .
9.(2023浙江杭州观城教育集团期中,21,★★☆)已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1? 若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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10.【运算能力】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.
(1)通过计算,判断下列方程是不是“邻根方程”:①x2-x-6=0;②2x2-23x+1=0.
(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值.
第2章 一元二次方程
选学2.4 一元二次方程根
与系数的关系
答案全解全析
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1.A 易知选项A、B、C中的方程均有两个实数根.若x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则x1x2=1,所以x1,x2互为倒数,所以A符合题意.
若2x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则x1x2=12,所以x1,x2不互为倒数,所以B不符合题意.
若x2-3x+2=0的两根为x1,x2,则x1x2=2,所以x1,x2不互为倒数,所以C不符合题意.
x2-3x+3=0中a=1,b=-3,c=3,则b2-4ac=(-3)2-4×1×3=-3<0,所以方程无实数根,所以D不符合题意.故选A.
2.D 本题考查一元二次方程的根与系数的关系.
一元二次方程2x2-4x+2=1,化为一般形式,得2x2-4x+1=0,因为一元二次方程2x2-4x+2=1的两根为x1,x2,所以x1+x2=2,x1x2=12,只有D符合,故选D.
易错点 易因未化为一般形式而出错.
3.B 根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba,x1x2=ca,可知B符合.故选B.
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4.D 因为x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根,
所以x1+x2=-2a,x1x2=b,
因为x1+x2=3,x1x2=1,
所以-2a=3,b=1,解得a=-32,b=1.故选D.
5.B 解法一:【代入求根法】因为关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,x1=-1,
所以(-1)2+2-a=0,解得a=3.
所以x1+x2=--21=2,x1x2=-a1=-3.
所以a-x12-x22=a-(x12+x22)=a-[(x1+x2)2-2x1x2]
=3-[22-2×(-3)]=-7.
解法二:【根与系数关系法】∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,∴x1+x2=2,x1x2=-a,∵x1=-1,∴x2=3,∴x1x2=-3=-a,
∴a=3,
∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.
方法解读 关于一元二次方程根与系数关系的问题,通常解法是先求出两根之和与两根之积,然后化简或整理所求代数式,将两根之和与两根之积整体代入求值,最后一定不能忘记计算判别式检验取值范围.
6 答案 5
解析 ∵一元二次方程x2-3x+2=0的两根分别为x1、x2,∴x1+x2=3,x1x2=2,
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×2=5.
7 答案 -5
解析 ∵方程有两个实数根,
∴b2-4ac=(-3)2-4k≥0,解得k≤94,
∵一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,∴x1+x2=3,x1x2=k,
∵x1x2+2x1+2x2=x1x2+2(x1+x2)=1,
∴k+2×3=1,解得k=-5,
综上可知实数k=-5.
8 答案 2 027
解析 ∵x2是一元二次方程x2+x-3=0的一个实数根,∴x22+x2-3=0,∴x22=-x2+3,
∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,
∴x1+x2=-1,
∴x22-x1+2 023=-x2+3-x1+2 023
=-(x1+x2)+2 026,
=-(-1)+2 026
=2 027.
9 解析 (1)∵关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根,
∴[-2(k+1)]2-4k(k-1)>0且k≠0,
解得k>-13且k≠0.
(2)不存在.理由如下:设方程的两根为x1,x2,
则x1+x2=2k+2k,x1x2=k-1k,由题意得,1x1+1x2=1,
即x1+x2x1x2=2k+2k-1=1,解得k=-3,经检验,k=-3是分式方程的根,
∵k>-13且k≠0时方程有两个不相等的实数根,
∴不存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1.
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10.解析 (1)①解方程x2-x-6=0,得x=3或x=-2,
∵3-(-2)=5,∴x2-x-6=0不是“邻根方程”.
②解方程2x2-23x+1=0,
得x=23±12-84=3±12,∵3+12-3-12=1,
∴2x2-23x+1=0是“邻根方程”.
(2)设方程x2-(m-1)x-m=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=m-1,x1x2=-m,
∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,∴|x1-x2|=1,即(x1-x2)2=1,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(m-1)2+4m=1,
解得m=0或m=-2.