浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）精练

第2章　一元二次方程

2.4　一元二次方程根与系数的关系

基础过关全练

知识点　一元二次方程根与系数的关系

1.【新独家原创】下列四张卡片上各写有一个一元二次方程,其中两根之和等于负数的有              (　　)

x2+3x-4=0　　　　 x2-4x+4=0

x2+4x+5=0　　　　 x2+4x+4=0

A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

2.一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1,x2,则x1x2= (　　)

A.-3　　　　  B.2　　　　  C.-

3.若两实数a,b满足a+b=3,ab=2,则以a,b为根的一元二次方程是 (　　)

A.x2-3x+2=0　　　   B.x2+3x+2=0

C.x2-3x-2=0　　　　  D.x2+3x-2=0

能力提升全练

4.(2022浙江诸暨浣纱中学月考,5,)已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是              (　　)

A.-3　　　　B.-2　　　　C.3　　　　D.6

5.(2022贵州黔东南州中考,5,)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a-的值为              (　　)

A.7　　　　B.-7　　　　C.6　　　　D.-6

6.(2022浙江宁波模拟,14,)已知方程x2-3x+1=0的根是x1和x2,则x1+x2-x1x2=　　　　. 

7.若x1、x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根,且=7,则b的值是　　　　. 

8.对于实数m、n,定义运算“※”:m※n=mn(m+n).例如,4※2=4×2×(4+2)=48.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+4=0的两个实数根,则x1※x2=　　　　. 

9.(2022浙江绍兴上虞期末改编,20,)设x1,x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两根,则的值为　　　　. 

10.【代数推理】(2022湖北随州中考,18,)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1x2=5,求k的值.

素养探究全练

11.【运算能力】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0,x2=-1,则方程x2+x=0是“邻根方程”.

(1)通过计算,判断下列方程是不是“邻根方程”:

①x2-x-6=0;

②2x2-2x+1=0;

(2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,求m的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.B　设方程的两根为x1,x2,x2+3x-4=0中,x1+x2=-=-3<0,符合题意;

x2-4x+4=0中,x1+x2=-=4>0,不符合题意;

x2+4x+5=0中,42-4×1×5=-4<0,方程没有实数根,

不符合题意;x2+4x+4=0中,x1+x2=-=-4<0,符合题意.故选B.

2.B　因为一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1,x2,

所以x1x2==2.

3.A　根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-,x1x2=,可知A正确.故选A.

能力提升全练

4.A　设另一个根是m,因为关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,所以2+m=-1,解得m=-3.

5.B　方法一:因为关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,x1=-1,

所以(-1)2+2-a=0,解得a=3.

所以x1+x2=-=2,x1x2==-3.

所以a-=a-()=a-[(x1+x2)2-2x1x2]

=3-[22-2×(-3)]=-7.

方法二:∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,

∴x1+x2=2,x1x2=-a,

∵x1=-1,∴x2=3,∴x1x2=-3=-a,∴a=3,

∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.

6.2

解析　∵方程x2-3x+1=0的两个根为x1、x2,

∴x1+x2=3,x1x2=1,∴x1+x2-x1x2=3-1=2.

7.1

解析　∵x1、x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根,

∴x1+x2=-b,x1x2=-3b.

又∵=7,

∴(x1+x2)2-2x1x2=b2+6b=7,解得b=-7或b=1,

当b=-7时,b2+12b=49-84=-35<0,方程无实数根,∴b=1.

8.20

解析　∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+4=0的两个实数根,

∴x1+x2=5,x1x2=4,

∴x1※x2=x1x2(x1+x2)=4×5=20.

9.

解析　因为x1,x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两根,所以x1+x2=-,x1x2=,

所以=(x1+x2)2-2x1x2=.

10.解析　(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,

∴(2k+1)2-4(k2+1)>0,解得k>.

(2)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2,

∴x1x2=k2+1,∵x1x2=5,∴k2+1=5,

解得k1=-2,k2=2,∵k>,∴k=2.

素养探究全练

11.解析　(1)①解方程x2-x-6=0,得x=3或x=-2,

∵3-(-2)=5,∴x2-x-6=0不是“邻根方程”.

②解方程2x2-2x+1=0,

得x=,∵=1,

∴2x2-2x+1=0是“邻根方程”.

(2)根据根与系数的关系可知方程x2-(m-1)x-m=0的解为x=m或x=-1,

∵方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,∴m-(-1)=1或-1-m=1,

解得m=0或m=-2.