河南省鹤壁市浚县实验初级中学2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题

这是一份河南省鹤壁市浚县实验初级中学2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从，，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个.
A.0B.1C.2D.3
2.对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）.
A.B.C.且D.且
3.神舟十六号载人飞船于2023年5月30日从酒泉卫星发射中心发射升空，随后与天和核心舱对接形成组合体.空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（ ）.
A.B.C.D.
4.如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）.
A.4B.3C.2D.1
5.某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元.若设月平均增长率是，那么可列出的方程是（ ）.
A.B.
C.D.
6.已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）.
A.或B.或C.D.
7.图1是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形.若.，则的值为（ ）.
图1 图2
A.B.C.D.
8.如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）.
A.B.C.D.
9.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）.
A.B.C.D.
10.若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.在函数中，自变量的取值范围______.
12.一个二次函数的顶点在轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______.
13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）.若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则______.
14.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）.（参考数据：，，）
15.与之间的函数关系可记为.例如：函数可记为.若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个，都有，则是奇函数.例如：是偶函数，是奇函数.若是偶函数，则实数______.
三、解答题（本大题共8个小题，75分）
16.（1）（5分）计算：.
（2）（5分）化简：.
17.（9分）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大.将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率.
18.（9分）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值.
19.（9分）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，
（1）求证：
（2）若，求证：
20.（9分）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具.图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角大小的绳索.
图1 图2
（1）求绳索长的最大值.
（2）若时，求桑梯顶端到地面的距离.
（参考数据：，，，最后结果精确到0.01米）
21.（9分）小林同学不仅是一名篮球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对篮球比赛进行技术分析，下面是他对定点投篮篮球飞行轨迹的分析.
他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度.图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系.已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为2.25m.当球运行至点处时，与出手点的水平距离为2.5m，达到最大高度为3.5m.
图1 图2
（1）求该抛物线的表达式.
（2）若运动员的站立点距篮圈中心的水平距离为3.5m，篮圈中心距地面的高度为3.05m，试判断该运动员本次投篮能否直接投中篮圈中心？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该运动员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心.
22.（9分）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务.
任务：（1）不等式的解集为______；
（2）3种方法都运用了______的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论B.转化思想C.特殊到一般D.数形结合
（3）请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答.
23.（11分）【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系
图1 图2 备用图
（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：______；
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
【拓展应用】
（3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长.
九年级数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8.B 9.C 10.B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 12.（答案不唯一） 13.9 14.21 15.5
三、解答题（本大题共8个小题，75分）
16.（1）（5分）计算：解：原式……3分
. ……5分
（2）（5分）化简：解：原式……3分
. ……5分
17.（1）；……2分
（2）解：画出树状图：
共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，7分
∴抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为.……9分
18.（1）证明：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，……3分
∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；……5分
（2）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，……7分
∴，∴，整理，得，解得，，
∴的值为或1.……9分
19.（1）证明：∵，∴，……1分
在和中，，∴，……3分
∴.……4分
（2）证明：∵，∴，
∴，即，……5分
在和中，，
∴，∴，……7分
由（1）已证：，∴，∴.……9分
20.（1）解：由题意得：当时，绳索的长最大，
∵米，∴是等边三角形，∴米，
∴绳索长的最大值为1.5米；……3分
（2）解：过点作，垂足为，
∴，∵米，，……5分
∴，
∵米，∴（米）……7分
在中，（米），
答：桑梯顶端到地面的距离约为2.54米. ……9分
21.（1）解：根据题意，得，，且为抛物线的顶点.
设该抛物线的表达式为. ……2分
将代入，得，解得.
∴该抛物线的表达式为. ……4分
（2）解：不能.……5分
令，解得（舍去）或. ……7分
∴当时，能直接投中篮圈中心A..
故该运动员只要向后移动0.5m就能使篮球直接投中篮圈中心A. ……9分
22.（1）解：如图1，作的图像，
由方法1可知，不等式的解集为，……3分
图1
（2）D；……5分
（3）解：如图2，作函数与的图像，
由图像可得，的解集为，或，
综上，的解集为.……9分
图2
23.（1）解：∵，∴，，∵，
∴，∴，
∴，∴，
∵
，∴，∴；……2分
（2）解：成立；……3分
理由如下：∵，∴，
∴，∵，∴，……5分
∴，∵，
，
∴，∴；……7分
（3）解：当点在线段上时，连接，如图所示：
设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，∴，
根据解析（2）可知，，∴，
根据勾股定理得：，即，
解得：或（舍去），∴此时；……9分
当点在线段上时，连接，如图所示：
设，则，根据解析（2）可知，，
∴，∴，
根据解析（2）可知，，
∴，根据勾股定理得：，即，
解得：或（舍去），∴此时；
综上分析可知，或.……11分
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1：方程的两根为，，可得函数的图像与轴的两个交点横坐标为、3，画出函数图像，观察该图像在轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集.
方法2：不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系.画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集.
方法3：当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为.问题转化为研究函数与的图像关系…