中考数学考点集训分类训练17 特殊平行四边形(含答案)

这是一份中考数学考点集训分类训练17 特殊平行四边形(含答案)，共16页。试卷主要包含了求AC的长，【参考答案】　证明等内容，欢迎下载使用。
命题点1与矩形有关的证明与计算
1(2022陕西)在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A.AB=ACB.AC⊥BD
C.AB=ADD.AC=BD
2(2022邵阳)已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.
3(2022北京) 如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC=14,则AE的长为 .

(第3题) (第4题)
4(2022吉林)如图,在矩形ABCD中,对角线AC, BD相交于点O,点E是边AD的中点,点F在对角线AC上,且AF=14AC,连接EF.若AC=10,则EF= .
5(2022宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为 .
6(2022苏州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF;
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
7(2021贵阳)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
8(2022云南)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,点E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.
命题点2与菱形有关的证明与计算
9(2022株洲)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是( )
A.OB=12CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=12AE
D.BE=CE
10(2022天门)由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan∠ABC=( )
A.13B.12C.33D.32

(第10题) (第11题)
11(2022海南)如图,菱形ABCD中,点E是边CD的中点,EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF∶CE=1∶2,EF=7,则菱形ABCD的边长是( )
A.3B.4C.5D.45 7
12(2022营口)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是 .(写出一个即可)

(第12题) (第13题)
13(2022达州)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长是 .
14(2022哈尔滨)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为 .

(第14题) (第15题)
15(2022陕西)如图,在菱形ABCD中,AB=4,BD=7.若M,N分别是边AD,BC上的动点,且AM=BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E,F,则ME+NF的值为 .
16(2022温州)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF,使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,N在对角线AC上.若AE=3BE,则MN的长为 .
17(2022嘉兴)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD,求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
18(2022北京)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O.点E,F在AC上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.
19(2022滨州)如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积;
(2)求证:AE=EF.
20(2022长沙)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证: AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD, AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
21(2022凉山州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADBF是菱形.
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长.
命题点3与正方形有关的证明与计算
22(2021玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
d.一个角是直角
顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
则正确的是( )
A.仅①B.仅③C.①②D.②③

(第22题) (第23题)
23(2022重庆A卷)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45°B.60°
C.67.5°D.77.5°
24(2022黔东南州)如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为( )
A.23+2B.5-33
C.3-3 D.3+1

(第24题) (第25题)
25(2022广州)如图,正方形ABCD的面积为3,点E在边CD上,且CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M,N 分别是BE,BF的中点,则 MN的长为( )
A.62B.32
C.2-3D.6-22
26(2021天津)如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为 .
27(2022邵阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.
求证:四边形AECF是正方形.
28(2022恩施州)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.
分类训练17 特殊平行四边形
基础分类题组
1.D
2.48 【解析】 矩形的面积为6×102-62=48(cm2).
3.1 【解析】 ∵∠ABC=90°,∴BC=AC2-AB2=52-32=4.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴AECB=AFCF=14,∴AE=14BC=14×4=1.
4.52 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,BD=AC=10.∵AF=14AC,∴AF=12OA,即点F是OA的中点.又点E是AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=12OD=14BD=52.
5.48 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=∠CDE=90°.又∵点F,G分别是BE,CE的中点,AF=3,DG=4,FG=5,∴BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,∴BE2+CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°,∴S△BCE=12·BE·CE=12×6×8=24,∴S矩形ABCD=2S△BCE=2×24=48.
6.【参考答案】 (1)证明:将矩形ABCD沿对角线AC折叠,
则AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°.
在△DAF和△ECF中,
∠DFA=∠EFC,∠D=∠E,DA=EC,
∴△DAF≌△ECF.
(2)∵△DAF≌△ECF,
∴∠DAF=∠ECF=40°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=50°.
由折叠可知∠EAC=∠CAB,
∴∠CAB=25°.
7.【参考答案】 (1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,则∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∠BAN=∠AMD,∠BNA=∠D=90°,BA=AM,
∴△ABN≌△MAD.
(2)∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD=2.
在Rt△ABN中,由勾股定理,得AB=AN2+BN2=25.
∵S矩形ABCD=2×25=45,S△MAD=S△ABN=12×2×4=4,
∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=45-8.
8.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BAE=∠FDE,∠EBA=∠EFD.
∵E是AD的中点,
∴AE=ED,∴△BAE≌△FDE,
∴AB=FD.
又AB∥FD,∴四边形ABDF是平行四边形.
又∠BDF=90°,∴四边形ABDF是矩形.
(2)∵四边形ABDF是矩形,
∴∠AFD=90°,AF=BD,AB=DF=3.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3.
根据勾股定理,得AF=AD2-DF2=52-32=4,
∴BD=4,
∴S=S△BCD+S矩形ABDF=12×4×3+4×3=18.
9.D 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC.∵CE∥BD,∴∠ACE=∠AOB=90°,OB是△ACE的中位线,∴△ACE是直角三角形,OB=12CE.∵CD∥BE,CE∥BD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BC=AB=CD=BE=12AE.不确定∠ABC的大小,故BE和CE的长度大小无法确定.
10.C 【解析】 如图,延长BC于点D.易得OD=OB,OA=AD.∵∠O=60°,∴△OBD是等边三角形,∴BA⊥OD,∠ADB=60°,∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC=33.
11.B 【解析】 ∵四边形ABCD为菱形,E是CD的中点,∴AB∥CD,BC=CD=2CE.设BF=a,则CE=2a,∴BC=4a.如图,过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,则四边形CEFM为矩形,∴FM=EC=2a,CM=EF=7.在Rt△CBM中,CB2=BM2+CM2,即(4a)2=(3a)2+(7)2,解得a=1(负值已舍去),∴BC=4.
12.AB=AD(答案不唯一)
13.52 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=12AC=12,OB=12BD=5, ∴AB=OA2+OB2=13, ∴菱形ABCD的周长为4×13=52.
14.25 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,OB=OD,AC⊥BD,∴AE=OE2+AO2=32+42=5,∴BE=AE=5,∴OB=8,∴BC=AB=OA2+OB2=42+82=45.∵OB=OD,DF=CF,∴OF=12BC=25.
归纳总结
菱形的性质
(1)边:菱形的对边平行,四条边相等;
(2)角:菱形的对角相等;
(3)对角线:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
(4)对称性:菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,菱形也是中心对称图形.
15.152 【解析】 连接AC交BD于点O,则OB=OD=72,AC⊥BD.在Rt△AOB中,AB=4,BO=72,∴AO=152.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB.∵AM=BN,ME⊥BD,NF⊥BD,∴ME+NF=MDsin∠MDE+BNsin∠NBF=MDsin∠ADO+AMsin∠ADO=ADsin∠ADO=AO=152.
16.32 【解析】 如图,连接BD交AC于点O.∵∠BAD=60°,四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,∠BAO=30°,∴AC=2OA=2AB·cs∠BAO=3.∵AE=3BE,∴AE=34.同理求得AN=CM=334,∴MN=AC-2(AC-AN)=-AC+2AN=-3+2×334=32.
17.【参考答案】 赞成小洁的说法.
补充条件:AB=CB.
证明:由小惠的证法得,AB=AD,CB=CD.
又∵AB=CB,
∴AB=AD=CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
(答案不唯一,正确即可)
18.【参考答案】 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC.
又∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC.
又∵∠BAC=∠DAC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴BA=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,即EF⊥BD.
由(1)知四边形EBFD是平行四边形,
∴四边形EBFD是菱形.
19.【参考答案】 (1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,且AO=CO,BO=DO.
∵∠ABC=60°,
∴∠ABO=30°.
又∵AB=10,
∴CO=AO=5,OD=OB=53,
∴AC=2AO=10,BD=2BO=103,
∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×10×103=503.
(2)证明:如图,连接EC, 则AE=CE.
设∠AEO=α,则∠CEO=α,∴∠CEF=120°-2α,∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°,
∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α,
∴∠F=∠ECF,∴CE=EF,
∴AE=EF.
20.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
(2)∵点E,F分别是AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线,
∴OD=2EF=3.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD=2OD=6.
在Rt△AOD中,AD=OA2+OD2=22+32=13,
∴四边形ABCD的周长为413.
归纳总结
特殊四边形的判定
1.平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的平行四边形是矩形.
3.菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(3)四条边都相等的四边形是菱形.
4.正方形的判定
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(5)对角线相等的菱形是正方形;
(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
21.【参考答案】 (1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵点E是AD的中点,
∴AE=DE,
∴△FAE≌△CDE,
∴AF=CD.
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD,∴AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵∠BAC=90°,点D是BC的中点,
∴AD=12BC=BD,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)∵四边形ADBF是菱形,
∴S菱形ADBF=2S△ABD.
∵点D是BC的中点,
∴S△ABC=2S△ABD,
∴S△ABC=S菱形ADBF=40,
∴12AB·AC=40,即12×8AC=40,
∴AC=10.
22.C
23.C 【解析】 ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,AB=DA,∠DAF=∠B=90°.又∵AF=BE,∴△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=90°-22.5°=67.5°,故选C.
24.D 【解析】 如图,延长DA,BC交于点G.由题意知∠BAG=180°-90°=90°,∠ABC=60°,AD=AB=2,∴AG=3AB=23,∴DG=AD+AG=2+23.∵∠G=90°-60°=30°,DF⊥BC,∴DF=12DG=1+3.
25.D 【解析】 如图,连接EF.∵正方形ABCD的面积为3,∴它的边长为3.在Rt△BCE中,CE=1,BC=3,∴tan∠CBE=CEBC=33,∴∠CBE=30°,∴∠ABE=90°-30°=60°.∵AF平分∠ABE,∴∠ABF=12×60°=30°,∴AF=ABtan 30°=1,∴DF=3-1.又DE=3-1,∴在Rt△DEF中,EF=6-2.∵点M,N分别为BE,BF的中点,∴MN是△BEF的中位线,∴MN=12EF=6-22.
26.132 【解析】 如图,连接OF,过点O作OM⊥FC于点M,则OM=DM=2,∴OM=CE,FM=3,∴OF=22+32=13.易证△OMH≌△ECH,∴OH=HE.又点G为EF的中点,∴HG为△EOF的中位线,∴GH=12OF=132.
27.【参考答案】 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DF,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,
∴AC=2OA=2OE=EF,
∴菱形AECF是正方形.
28.【参考答案】 证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°.
∵CE⊥BG,DF⊥CE,
∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF.
在△CBE和△DCF中,
∠CBE=∠FCD,∠BEC=∠CFD,BC=CD,∴△CBE≌△DCF,
∴BE=CF,CE=DF,
∴DF=CE=CF+EF=BE+EF.