13，江苏省盐城市建湖高级中学2023-2024学年高一下学期开学情检测数学试题（竞赛班）

这是一份13，江苏省盐城市建湖高级中学2023-2024学年高一下学期开学情检测数学试题（竞赛班），共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分150分·时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）
A. 290B. 295C. 300D. 330
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.
【详解】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以分位数.
故选：B
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. －6B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】因为，则，即，解得
故选：A
3. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
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【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到原图形的面积.
【详解】
还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为.
故选：B
4. 设，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
【考点】 充要条件
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.
5. 冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，
因为，所以，
在中，由得，
故选：C
6. 四名同学各投掷质地均匀的骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ）
A. 众数为3，极差为3B. 平均数为2，中位数为2
C. 平均数为2，标准差为2D. 中位数为3，众数为3
【答案】B
【解析】
【分析】根据各项数据特征分析投掷5次对应数据是否可能出现点数6即可.
【详解】A：若众数为数据中的最小值，结合极差为3，则数据中最大值为6，故可能出现点数6；
B：由平均数为2，则所有数据之和为，又中位数为2，将数据从小到大排列，则前3个数据之和最小的情况为，故后2个数据之和最大为，所以不可能出现数据6；
C：若出现点数6，平均数为2，满足条件的情况有，则方差为，即标准差为2，故可能出现点数6；
D：如满足中位数为3，众数为3，故可能出现点数6；
故选：B
7. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
故选：C.
8. 已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，结合正方体的性质，即可求解.
【详解】由题意，正三棱锥中，，
则，所以，同理可得，
即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，
则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径，
所以球心位于正方体对角线的中点,
所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，下列结论正确有（ ）
A. B. 若，则
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设，根据复数的运算与模的定义计算后判断AC，根据复数乘法判断B，由复数的模的定义和复数相等的定义判断D．
【详解】设，
则，，A正确；
当时，，因此B错误；
，
，C正确；
时，，，D错．
故选：AC．
10. 香囊，又名香袋､花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A. AB⊥DEB. 直线CD与直线EF所成的角为45°
C. 该六面体的体积为D. 该六面体内切球的表面积是
【答案】AD
【解析】
【分析】对应展开图的各点，标出立体图形的各顶点.利用线面垂直，可以得到线线垂直；与分别为正三角形的边，其所成的角为；把几何体分割成二个四面体求体积；计算内切球的半径，就可以求内切球的表面积.
【详解】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合.
对于A：
取的中点，连接，则.
又
平面
又平面
故正确.
对于B：
由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为
故错误.
对于C：
连接，过点作平面，则垂足在上，且，
该六面体的体积
故C错误.
对于D：
该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点作，则就是内切球的半径.
在Rt中，
该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.
11. 已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（ ）
A. 设总样本的平均数为，则
B. 设总样本的平均数为，则
C. 设总样本的方差为，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A选项，因为，由放缩可得；
对于B选项，举例说明B不正确；
对于C选项，举例说明C不正确；
对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得.
【详解】对于A选项，因为，所以
，即，A正确；
对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确；
对于C选项，取第一部分数据为，则，，
取第二部分数据为，则，，则，
，C不正确；
对于D选项，若，则，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到）
【答案】
【解析】
【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案.
【详解】因为， ，即，
，
所以年龄在内的人数为，
所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为.
故答案为：
13. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，c=4，，且的面积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式求出，再由余弦定理的变形即可得出.
【详解】由，且，可得，
，解得，
，，
可得，
代入，即，
故答案为：
14. 在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，由勾股定理可得半径，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台，
直线与直线的交点为，所以四棱锥为正四棱锥，
得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接，
设该外接球的半径为，由，，
所以，则，
即，解得，
则四棱锥外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；
（2）（i）中位数为342.9，平均数为352.5；
（2）128.
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；
（2）（i）根据中位数和平均数的定义计算即可；
（ii）根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.
【小问1详解】
，，
所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.
【小问2详解】
（i）根据题意可得，解得，
设中位数为，因为，，所以，解得，
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
（ii）,
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.
16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；
（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且三棱锥的体积为，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件证得平面即可得解；
（2）根据三棱锥的体积求得，可得，作辅助线作于，作于，连，利用定义法找到二面角的平面角，再求得相关线段长，解三角形可得答案.
【小问1详解】
在三棱锥中，因为为的中点，
且，则，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以.
【小问2详解】
因是边长为的等边三角形，所以，则，

因平面，所以为三棱锥的高，设为，
所以，，
所以，即有，所以，
作于，作于，连，则，
因为平面， 所以平面，
平面，则，因为，
平面，所以平面，
而平面，故，
则为二面角的平面角.
又，所以，
在中，，，所以，
由知，故，所以，即,
∴，从而，
又因为在中，，所以为等腰直角三角形，
所以，即二面角的大小为.
17. 在锐角中，角的对边分别是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到，从而求出结果；
（2）先利用向量的中线公式得到，再利用正、余弦定理及条件求出的范围，进而求出结果.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得：
即，所以，
因为，所以，所以，因为，所以.
【小问2详解】
由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:
，
所以，
因为，又，，
所以,
又因为为锐角三角形， 所以，，得到，
所以，由的图像与性质知，，
所以，所以，得到
故.
18. 已知函数（，且）满足.
（1）求a的值；
（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得，即求；
（2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数在定义域内有且只有一个零点，利用对数的运算可得，再利用对勾函数的性质即得.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
解得
【小问2详解】
由题意可知函数的图象在上连续不断.
①当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
又因为，
所以.
根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以在上有且只有一个零点.
②当时，，所以，
所以在上没有零点.
③当时，，所以，
所以在上没有零点.
综上所述，在定义域上有且只有一个零点.
因为，即.
所以，
又因为在上单调递减，
所以，
即.
【点睛】关键点点睛：对分类讨论时，①当时，函数与在上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；②当时，函数没有零点；③当时，函数没有零点.
19. 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
（1）若，求函数的“平衡”数对；
（2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）是 （3）
【解析】
【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.
【小问1详解】
根据题意可知,对于任意实数,,
即,即对于任意实数恒成立,
只有,,故函数的“平衡”数对为,
【小问2详解】
若,则,
,
要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有,
此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.
【小问3详解】
假设存在实数，对于定义域内任意均有
则
均为函数的“平衡”数对，
，函数单调递增，
即的取范围为