江苏省建湖高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省建湖高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角等于( )
A.B.C.D.
2．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
3．设为等差数列的前n项和,若,,则等于( )
A.26B.27C.28D.29
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得至其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”释义:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.最后一天他走的路程为(“里”为古代长度单位)( )
A.15里B.12里C.9里D.6里
5．已知M是抛物线上的一点且在轴上方,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的,则FM等于( )
A.16B.20C.4D.8
6．已知圆,过直线在第一象限内的一动点P作圆O的两条切线,切点分别是A,B,直线AB与两坐标轴分别交于M,N两点,则的面积的最小值为( )
A.B.C.D.2
7．已知,若关于x的方程在上有根,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知函数有两个不同的极值点,,则下列说法不正确的是( )
A.a的取值范围是B.是极小值点
C.当时,D.
二、多项选择题
9．若为等比数列,则下列数列为等比数列的是( )
A.B.C.D.
10．已知椭圆,,分别为它的左,右焦点,A,B分别为它的左,右顶点,P是椭圆E上异于A,B的一个动点,则下列结论正确的有( )
A.椭圆E的长轴长为8B.满足的面积为4的点P恰有2个
C.的最大值为16D.直线PA与直线PB的斜率乘积为定值
11．已知函数,函数,则下列结论正确的有( )
A.有2个零点
B.若,则有4个零点
C.若只有1个零点,则m的取值范围是
D.若恰有5个零点,则m的取值范围是
三、填空题
12．已知直线l经过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为___________.
13．设函数,利用课本中推导等差数列前n项和的方法,求得__________.
14．设实数,对任意的,不等式恒成立,则实数a的取值范围是___________.
四、解答题
15．在①是三次函数,且,,,,;
②是二次函数且恒成立这两个条件中任选一个作为已知条件,并求:
（1）函数的解析式;
（2）的图像在处的切线l与两坐标轴围成三角形的面积.
16．已知圆经过,两点,且在y轴上截得的线段长度为,圆C的半径小于.
（1）求直线PQ与圆C的方程;
（2）若直线,且l与圆C交于点,,求直线l的方程.
17．已知数列的前项和.
（1）求的通项公式;
（2）若数列满足对任意正整数n,恒成立,求证:
18．已知函数.
（1）求在上的最大值;
（2）若关于x的不等式恒成立,求k的取值范围.
19．在平面直角坐标系中xOy中,已知椭圆的长轴为4,过坐标原点的直线交椭圆C于P,Q两点,若A,B分别为椭圆C的左,右顶点,且直线PA与直线PB的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若点P在第一象限,轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.
①求证:为直角三角形;
②若的面积为,求直线PQ的斜率.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可知,可知直线的斜率,
设直线的倾斜角为,且,又,所以直线的倾斜角.
故选:A.
2．答案：C
解析：双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,其中,
一个焦点到一条渐近线的距离为,即,由此可得双曲线的离心率为.故选:C.
3．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,
由,得,即,
所以,
所以,
故选:B.
4．答案：D
解析：由题设,每天行程是公比为的等比数列,所以,可得,故里.故选:D
5．答案：A
解析：如图所示,抛物线的准线与x轴相交于点P,作于N,过F作于E,
因为,所以,设,
在中,,显然,又由抛物线的定义得,
所以,解得:,即.
故选:A.
6．答案：B
解析：设,则,
设,,
当,时,
,所以切线PA方程为,两边同乘得,
即,而,代入得,显然当或时也适合,
所以切线PA方程为,同理,
将P的坐标代入上述直线方程,则有,
于是直线AB的方程为,
分别令,,易得,,则,,
的面积为,
当且仅当结合,即时取等号.
所以面积的最小值为.
故选:B.
7．答案：A
解析：令,则,
当时,,
当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在上的最小值为,又,,
所以在上的最大值为,所以在上的值域为,因为关于x的方程在上有根,所以在上有解,
所以实数m的取值范围是.故选:A
8．答案：A
解析：
9．答案：ABC
解析：由于为等比数列,所以(常数),所以:对于A:(常数),故A正确;
对于B:(常数),故B正确;
对于C:(常数),故C正确;
对于D:满足(常数),故为等差数列,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：AC
解析：由椭圆,得,,则,
椭圆E的长轴长为8,故A正确;
设P的纵坐标为,则,可得,
则满足的面积为4的点P恰有4个,故B错误;
,
,
当且仅当时取等号,故C正确;
设,,,
则,,
,故D错误.
故选:AC.
11．答案：ABD
解析：当时,,
所以,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以的图象如图所示:
由图可知有2个零点,则A正确;
设,则,
当时,的解是,
,所以有2个不同实根,
有2个不同实根,则有4个不同实根,故B正确;
当时,有3个不同实根,,,
设,,.
有2个不同实根,有2个不同实根,有3个不同实根,
则有7个不同实根;
当时,有2个不同实根,,
设,,
有2个不同实根,有3个不同实根,
则有5个不同实根;
当时,有2个不同实根,,
设,,
有2个不同实根,有2个不同实根,
则有4个不同实根;
当时,有且只有1个实根,
当时,则有2个不同实根;
当时,只有1个实根;
当时,有且只有1个实根,
且,则,
只有1个实根.故C错误,D正确.
故选:ABD.
12．答案：或
解析：根据题意,分两种情况讨论:
当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时,
直线过点,则其斜率,
直线方程为,即;
当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时,设该直线的方程为,
直线过点,代入直线方程可得,
则直线方程为;
综上可得:所求的直线方程为或.
故答案为:或.
13．答案：11
解析：函数,可得,则,
设,
则,
相加可得
可得.
14．答案：
解析：因为,
所以,
所以,
所以,
令,则,
,令,得,
所以在上,,单调递增,
所以当时,,因为对任意的,不等式恒成立,
所以对任意的,不等式恒成立,
即对任意的,不等式恒成立,
令,
,
令得,
所以在上,单调递增,
在上,单调递减,
所以,
所以,
所以,
所以实数a的取值范围为.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：选①,
（1）由题意设,则,
由已知得,
解得,,,,
故.
（2）因为,,
所以切线l的方程为.
当时,,
当时,,
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
选②,
（1）由题意设,则.
所以,
化简得,
因为上式对任意x都成立,所以,
解得,,,
故.
（2）因为,所以,
又,
所以切线l的方程为.
当时,,
当时,,
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）直线PQ的方程为,
即直线PQ的方程为,
C在PQ的中垂线,即上,
设,则,
由题意,有,,
或5(舍去),或37(舍去),
圆C的方程为.
（2）设直线l的方程为,
由,
得,
设,,
则,,
,,
,整理得,
或(均满足),
的方程为或.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,
所以当时,.
当时,,满足.
所以的通项公式为.
（2）因为,
所以当时,,
所以,
又时,,满足,
所以对任意正整数n,,
由（1）得,,
所以,当且仅当时等号成立.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由函数,得,
令,有在上单调递减,且,
当时,,即,则在上单调递增,所以,无最小值.
（2）依题意,由,得,
,且,
令,,有,
,
令,,
当时,由,得,则上单调递增,
又,则当时,,,不合题意,
当时,在二次函数中,,当,即时,图象对称轴,
图象与x轴正半轴有两个公共点,即有两个零点,,且,,,
不妨设,则时,,有,在上单调递增,
当时,,,不合题意,
当,即时,,有,则在上单调递减,当时,,,,当时,,,,
综上得,当时,不等式恒成立,所以k的取值范围为.
19．答案：（1）;
（2）①证明见解析;
②直线PQ的斜率为1.
解析：（1）由椭圆的长轴为4,得,所以,则,,设,则由,得,又,所以,所以椭圆的标准方程为:.
（2）①不妨设直线PQ的方程为,,联立椭圆方程,解得,记,则,,,所以直线QE的斜率为,方程为,与椭圆联立方程,得,设,则与是方程的解,所以,,所以PG的斜率为,所以,所以是直角三角形.
②由①可得,,
所以的面积为,
由,所以,
,
解得,所以直线PQ的斜率为1.