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73， 重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）
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这是一份73， 重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（12月份），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
2．（4分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OB：OE＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．16C．24D．32
5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高7．（4分）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有6根火柴，第二个图形有11根火柴，第③个图形有16根火柴，…，则第10个图形火柴的根数为（ ）
A．36B．41C．46D．51
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，若∠OBC＝2∠BOC，则∠BAD＝（ ）
A．60°B．70°C．72°D．75°
9．（4分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）将两个不为0的代数式2a、2b进行以下操作：第一项为2a•2b，用第一项除以2b，结果记为m1；将第一项乘上m1，得到第二项，用第二项除以m1，结果记为m2；将第二项乘上m2，得到第三项，用第三项除以m2，结果记为m3…，以此类推，下列三个说法正确的个数为（ ）
①当a＝﹣2，b＝2时，第三项为﹣210；
②第四项与第五项的积等于m7；
③m1•m2•m4•m6•m8…•m2022•m2024的结果为第2024项．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：3﹣2+π0＝ ．
12．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 ．
13．（4分）某班将举办“庆元旦，迎新年”文艺晚会．现打算从两名男生和三名女生中随机选取两名同学来做主持人，则恰好选中一男一女的概率是 ．
14．（4分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
15．（4分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，将⊙O分别沿AB、CB向内翻折．若AC＝6，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）若关于x的一元一次不等式的解集为x≥5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝10，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好是AC的中点，连接BB′交DE于点F，则DF＝ ．
18．（4分）若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若M、N分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，M、N各数位上的数字之和分别记为F（M）和F（N），若能被10整除．则当取得最大值时M的值是 ．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x+3）2﹣x（6﹣x）；
（2）÷（1﹣）．
20．（10分）如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，CF⊥BD于点F，
（1）尺规作图：过A作AE⊥BD于点E，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝ ＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴ ．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ ．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辑助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
22．（10分）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达C点时停止运动．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8），△BCP的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当△BCP的面积为3时t的值．
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点，且与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，交y轴于点C，连AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为线段OC上一动点，过点D作DE⊥OC交y轴右侧的抛物线于点E，过E作EF∥OC交OB于点F，求四边形ODEF周长的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形CBNM为平行四边形时，请求出点M到直线BC的距离．
26．（10分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D、E分别为射线AC和线段AB上的两点，且AD＝BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与BC交于点M．
（1）如图1，当tan∠ADE＝，AE＝时，求BE的长；
（2）如图2；连接AF，N为AF的中点，连接MN，求证：BE＝MN；
（3）如图3，连接CF，将CF绕点C顺时针旋转60°得CG，连接FG、BG、AG，若AC＝4，当BG取得最小值时，直接写出△ABG的面积．
参考答案与解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2．（4分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3．（4分）反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），
∴k＝xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故选：B．
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OB：OE＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．16C．24D．32
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴＝＝，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为16，
故选：B．
5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
【解答】解：∵AE⊥EF，∠1＝42°，
∴∠AFE＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AFE＝48°．
故选：C．
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【解答】解：原式＝×2+×
＝2+1
＝+1，
∵＜＜，即7＜＜8，
∴8＜+1＜9．
故选：C．
7．（4分）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有6根火柴，第二个图形有11根火柴，第③个图形有16根火柴，…，则第10个图形火柴的根数为（ ）
A．36B．41C．46D．51
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中，火柴棒的根数为：6＝1×5+1；
第②个图形中，火柴棒的根数为：11＝2×5+1；
第③个图形中，火柴棒的根数为：16＝3×5+1；
…，
所以第n个图形中，火柴棒的根数为（5n+1）个，
当n＝10时，
5n+1＝5×10+1＝51（根），
即第10个图形中，火柴棒的根数为51根．
故选：D．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，若∠OBC＝2∠BOC，则∠BAD＝（ ）
A．60°B．70°C．72°D．75°
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
而∠OBC＝2∠BOC，
∴2∠BOC+2∠BOC+∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝36°，
∵＝，
∴∠COD＝3∠BOC＝3×36°＝108°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝36°+108°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝×144°＝72°．
故选：C．
9．（4分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接BD交AC于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，且AC＝BD，AC⊥BD，
∴BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，
∵AB＝BC＝3CM，
∴＝，
∵CM∥AB，
∴△CMN∽△ABN，
∴＝，
∵CN＝AC＝AC，
∴AC＝4CN，
∴2CE＝4CN，
∴CE＝2CN，
∴CN＝EN，
在△CPN和△EBN中，
，
∴△CPN≌△EBN（SAS），
∴PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，
∴PC∥DE，
∴四边形PCED是平行四边形，
∵∠CED＝90°，CE＝DE，
∴四边形PCED是正方形，
∴DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，
∴BD＝2DP，
∴BP＝＝＝DP，
∴＝，
∵BP＝2BN，
∴＝，
∴＝，
故选：B．
10．（4分）将两个不为0的代数式2a、2b进行以下操作：第一项为2a•2b，用第一项除以2b，结果记为m1；将第一项乘上m1，得到第二项，用第二项除以m1，结果记为m2；将第二项乘上m2，得到第三项，用第三项除以m2，结果记为m3…，以此类推，下列三个说法正确的个数为（ ）
①当a＝﹣2，b＝2时，第三项为﹣210；
②第四项与第五项的积等于m7；
③m1•m2•m4•m6•m8…•m2022•m2024的结果为第2024项．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：由题知，
第一项为：2a•2b＝22ab，；
第二项为：4ab•2a＝23a2b，；
第三项为：8a2b•4ab＝25a3b2，；
第四项为：32a3b2•8a2b＝28a5b3，；
第五项为：213a8b5，；
…，
由此可见，第n项为第（n﹣1）项和第（n﹣2）项的积，且mi即为第（i﹣1）项（i为大于等于3的正整数）；
当a＝﹣2，b＝2时，
第三项为：25×（﹣2）3×22＝﹣210，
因为，
且，
所以①错误．
因为第四项与第五项的积为第六项，且m7即为第六项，
所以②正确．
因为m1•m2的结果为第二项，m4为第三项，m6为第五项，…，m2024为第2023项，
所以m1•m2•m4的结果为第四项，
m1•m2•m4•m6的结果为第六项，
…，
则m1•m2•m4•m6•…•m2022•m2024的结果为第2024项．
故③正确．
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：3﹣2+π0＝ ．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
12．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 6 ．
【解答】解：设正多边形的一个外角的度数为x°，
由题意得2x+x＝180°，
解得x＝60，
360°÷60°＝6，
所以这个正多边形的边数是6．
故答案为6．
13．（4分）某班将举办“庆元旦，迎新年”文艺晚会．现打算从两名男生和三名女生中随机选取两名同学来做主持人，则恰好选中一男一女的概率是 ．
【解答】解：画树状图为：
由图知，一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，故恰好抽到一男一女的概率为，
故答案为：．
14．（4分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
15．（4分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，将⊙O分别沿AB、CB向内翻折．若AC＝6，则图中阴影部分的面积为 9﹣π ．（结果保留π）
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°，
∴AD＝CD＝AC＝3，
∵将⊙O分别沿AB、CB向内翻折，
∴图中阴影部分的面积＝正方形的面积﹣（⊙O的面积﹣正方形的面积）÷4×2＝33﹣（32π﹣3）÷4×2＝9﹣π，
故答案为：9﹣π．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式的解集为x≥5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 10 ．
【解答】解：关于x的一元一次不等式，即的解集为x≥5，
∴≤5，
解得a≤8；
关于y的分式方程的解为y＝，而y＝是正整数，且y≠2，a≤8，
∴a＝3或a＝7，
∴所有满足条件的整数a的值之和为3+7＝10．
故答案为：10．
17．（4分）如图，在△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝10，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好是AC的中点，连接BB′交DE于点F，则DF＝ ．
【解答】解：由图形翻折知，B点与点B'关于DE的对称，
∴BB'⊥DE，BF＝B'F＝BB'，且BD＝B'D，
设BD长为m，过点B'作AB边的垂线，垂足为P，
在Rt△APB'中，∠A＝60°，AB'＝AC＝4，
∴AP＝AB'•cs60°＝2，B'P＝AB'•sin60°＝2，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣2＝8，
故BB'＝＝＝2，
∴BF＝BB'＝，
∵BD＝B'D＝m，DP＝BP﹣BD＝8﹣m，
在Rt△B'PD中，B'P2+DP2＝DB'2，
即（2）2+（8﹣m）2＝m2，
解得m＝，
在Rt△BFD中，DF2+BF2＝BD2，
∴DF＝＝＝，
故答案为：．
18．（4分）若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 2040 ；若M、N分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，M、N各数位上的数字之和分别记为F（M）和F（N），若能被10整除．则当取得最大值时M的值是 4342 ．
【解答】解：根据题意，最小的”谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040．
设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：a+1，a，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：b+2，b，6，2；则：
M＝1000（a+1）+100a+42＝1100a+1042，F（M）＝a+1+a+4+2＝2a+7；
N＝1000（b+2）+100b+62＝1100b+2062，F（N）＝b+2+b+6+2＝2b+10；
则＝＝＝＝550+，
∵能被10整除，即55+为整数，
也就是说，2（a﹣b）﹣3是51的因数，
根据题意0≤a≤8，0≤b≤7，（千位上最大的数字是9），
当取得最大值时，也就是说最大，
又∵51＝1×3×17，
∴当a﹣b＝3时，，
当a﹣b＝2时，＝51，
∴当a﹣b＝3时，a＝b+3，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.3；
当a﹣b＝2时，a＝b+2，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.1．
故当b＝0，a＝3时，有最大值，此时M的值为：4342．
故答案为：2040；4342．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x+3）2﹣x（6﹣x）；
（2）÷（1﹣）．
【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣6x+x2
＝2x2+9；
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝．
20．（10分）如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，CF⊥BD于点F，
（1）尺规作图：过A作AE⊥BD于点E，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝ ∠CFD ＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴ AD＝CD ．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
∠ADE＝∠CDF ，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ ED＝FD ．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解答】解：（1）如图所示：AE即为所求；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
∠ADE＝∠CDF，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ED＝FD．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠CFD，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，ED＝FD．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辑助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 78.5 ，b＝ 80 ，c＝ 60 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，
∴中位数a＝＝78.5，
八年级抽样成绩为：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
∵80出现的次数最多，为2次，
∴众数b＝80，
c%＝×100%＝60%，
∴c＝60，
故答案为：78.5，80，60；
（2）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）；
（3）由题意得：1000×40%+1200×60%＝400+720＝1120（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有1120人．
22．（10分）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
【解答】解：（1）设甲队修道路x米，乙队修道路y米，
由题意得：，
解得：，
答：甲队修道路600米，乙队修道路400米；
（2）设乙队每天修道路a米，则甲队每天修道路1.2a米，
由题意得：＝+2，
解得：a＝50，
经检验，a＝50是原方程的解，且符合题意，
∴1.2a＝1.2×50＝60，
答：甲队每天修道路60米．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达C点时停止运动．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8），△BCP的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当△BCP的面积为3时t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
当0＜t≤5时，过点P作PH⊥BC于H，
∵PH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴PH∥AC，
∴△ACB∽△PHB，
∴，
∴，
∴PH＝t，
∴y＝×BC•PH＝×4×t＝t，
当5＜t＜8时，y＝×4×（8﹣t）＝16﹣2t，
综上所述：y＝；
（2）如图所示：
函数的性质：函数的最大值为6；
（3）当0＜t≤5时，3＝t，
∴t＝，
当5＜t＜8时，3＝16﹣2t，
∴t＝，
综上所述：t的值为或．
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【解答】解：（1）设CB的延长线交AE于点F，
由题意知：△CDB和△ABF都是直角三角形，四边形BDEF是矩形，∠ABF＝23°，
在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BD＝CD•sin∠BCD＝500×＝250≈432.5（米），
∴EF＝BD＝432.5米，
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴AF＝AB•sin∠ABF＝300×sin23°≈300×0.39＝117（米），
∴AE＝AF+EF＝117+432.5≈550（米），
答：AE的距离约为550米；
（2）在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BC＝CD•cs∠BCD＝500×＝250（米），
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴BF＝AB•cs∠ABF＝300×cs23°≈300×0.92＝276（米），
∴DE＝BF＝276米，
∴小华到达E点所花时间为（CD+DE）÷1.2＝（500+276）÷1.2≈646.67（s），
小亮到达E点所花时间为（CB+AB）÷1+AE÷6＝（250+300）÷1+550÷6≈641.67（s），
∵646.67＞641.67，
∴小亮先到达E点．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点，且与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，交y轴于点C，连AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为线段OC上一动点，过点D作DE⊥OC交y轴右侧的抛物线于点E，过E作EF∥OC交OB于点F，求四边形ODEF周长的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形CBNM为平行四边形时，请求出点M到直线BC的距离．
【解答】解：（1）将点，A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵DE⊥OC，EF∥OC，
∴四边形ODEF是矩形，
设D（0，t），（0＜t＜2），
当t＝﹣x2+x+2时，解得x＝2+或x＝2﹣，
则E（2+，t），
∴四边形ODEF周长＝2（t+2+），
令m＝，则t＝，
∴四边形ODEF周长＝2（t+2+）＝2（+2+m）＝﹣（m﹣3）2+，
∵0＜t＜2，
∴2＜m＜4，
∴当m＝3时，四边形ODEF周长的最大值为，
当m＝3时，t＝，
此时E（5，）；
（3）∵A（﹣2，0）、C（0，2），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵抛物线沿射线CA方向平移个单位，
∴抛物线沿x轴负方向平移5个单位，沿y轴负方向平移5个单位，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x+3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
设M（﹣3，m），N（n，﹣n2+n+2），
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴B（6，0），
当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，）；
当CM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，﹣）；
当CN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，）；
∵OC＝2，OB＝6，
∴BC＝2，
∴sin∠CBO＝，cs∠CBO＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
当x＝﹣3时，y＝3，
∴直线BC与对称轴的交点为（﹣3，3），
设点M到直线BC的距离为d，点G（﹣3，3），
当M（﹣3，）时，MG＝﹣3＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
当M（﹣3，﹣）时，MG＝3+＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
当M（﹣3，）时，MG＝﹣3＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
综上所述：点M到直线BC的距离为或或．
26．（10分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D、E分别为射线AC和线段AB上的两点，且AD＝BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与BC交于点M．
（1）如图1，当tan∠ADE＝，AE＝时，求BE的长；
（2）如图2；连接AF，N为AF的中点，连接MN，求证：BE＝MN；
（3）如图3，连接CF，将CF绕点C顺时针旋转60°得CG，连接FG、BG、AG，若AC＝4，当BG取得最小值时，直接写出△ABG的面积．
【解答】（1）解：如图1，过点E作EL⊥AC于L，则∠ALE＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△AEL是等腰直角三角形，
∵AE＝，
∴AL＝EL＝AE＝1，
∵tan∠ADE＝，
∴＝，
∴DL＝3EL＝3，
∴AD＝AL+DL＝1+3＝4，
∵AD＝BE，
∴BE＝AD＝2；
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H交AF于P，作ET⊥BC于T，过点F作FK⊥EH于K，交CB的延长线于G，连接EM，
由旋转得ED＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠DEH+∠FEK＝90°，
∵∠DHE＝∠EKF＝90°，
∴∠DEH+∠EDH＝90°，
∴∠EDH＝∠FEK，
在△DEH和△EFK中，
，
∴△DEH≌△EFK（AAS），
∴EH＝FK，DH＝EK，
∵∠AHE＝90°，∠BAC＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH＝EH，
∴FK＝AH，
在△APH和△FPK中，
，
∴△APH≌△FPK（AAS），
∴AP＝FP，HP＝KP，
∴点P是AF的中点，
∵点N为AF的中点，
∴点P与点N重合，即AN＝FN，HN＝KN，
∵∠BTE＝90°，∠EBT＝45°，
∴△BET是等腰直角三角形，
∴BE＝ET，
∵AD＝BE，
∴AD＝2ET，
∵四边形CHET和四边形CHKG是矩形，
∴CH＝GK＝ET＝AD，CG＝HK＝2HN，
∴AH+CD＝CH＝GK＝FK+GF，
∵AH＝FK，
∴CD＝GF，
在△DMC和△FMG中，
，
∴△DMC≌△FMG（AAS），
∴DM＝FM，CM＝GM，
∴CM＝HN，
∴四边形CMNH是矩形，
∴MN＝CH＝ET，
∴BE＝MN；
（3）以BC为边向外作等边△BCH，连接BF、GH，延长GH交AD于L，过点L作LJ⊥CH于J，过点F作FK⊥BC于K，过点E作ET⊥BC于T，如图3，
设CD＝x，则AD＝x+4，
∵AD＝BE，
∴BE＝AD＝（x+4），
∴ET＝BE＝（x+4），
∵四边形CNET是矩形，
∴CN＝ET＝（x+4），
∴DN＝CD+CN＝x+（x+4）＝x+2，AN＝EN＝x+4﹣（x+2）＝2﹣x，
∵∠DNE＝∠EMF＝90°，
∴∠FEM+∠EFM＝90°，
由旋转得：DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠FEM+∠DEN＝90°，
∴∠DEN＝∠EFM，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴EN＝FM，DN＝EM，
∴NM＝EN+EM＝2﹣x+x+2＝x+4，
∵四边形CNMK是矩形，
∴CK＝NM，MK＝CN，
∴BK＝CK﹣BC＝x，FK＝MK﹣FM＝（x+4）﹣（2﹣x）＝x，
∴BK＝FK，
∵∠BKF＝90°，
∴∠FBK＝∠BFK＝45°，
∴∠CBF＝135°，
∵△BCH和△CFG均为等边三角形，
∴CF＝FG，CB＝CH，∠FCG＝∠BCH＝∠BHC＝60°，
∴∠FCG﹣∠BCG＝∠BCH﹣∠BCG，
即∠BCF＝∠HCG，
∴△CBF≌△CHG（SAS），
∴∠CHG＝∠CBF＝135°，
∴∠CHL＝180°﹣135°＝45°，
∵∠HCL＝30°，
∴∠CLH＝105°，
在Rt△CLJ中，CJ＝CL•cs∠HCL＝CL，LJ＝CL•sin∠HCL＝CL，
在Rt△HLJ中，∠CHL＝∠HLJ＝45°，
∴HJ＝LJ，
∵CH＝BC＝AC＝4，
∴CL+CL＝4，
∴CL＝4﹣4，
∴当点D、E分别在AC的延长线上、线段AB上运动时，点G在射线LG上运动，当BG⊥LG时，BG最小，
如图4，作BH的垂直平分线交BG于P，交BH于W，连接PH，过点G作GQ⊥AB的延长线于Q，
则PH＝BP，
∴∠PBH＝∠PHB＝15°，∠HPG＝30°，∠PHG＝60°，
设GH＝m，则PG＝m，PH＝BP＝2m，
∴BG＝（2+）m，
∵GH2+BG2＝BH2，
∴m2+[（2+）m]2＝42，
∵m＞0，
∴m＝﹣，
∴BG＝（2+）（﹣）＝+，
∵∠BCL+∠BGL＝180°，
∴四边形BCLG是圆内接四边形，
∴∠CBG+∠CLG＝180°，
∵∠CLG＝105°，∠ABC＝45°，
∴∠GBQ＝180°﹣∠ABC﹣∠CBG＝60°，
∵∠BQG＝90°，
∴GQ＝BG•sin∠GBQ＝（+）•sin60°＝，
∵AB＝4，
∴S△ABG＝AB•GQ＝×4×＝6+2，
故△ABG的面积为6+2．平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
40%
八年级
80
80
b
c%
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
40%
八年级
80
80
b
c%
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
2．（4分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OB：OE＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．16C．24D．32
5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高7．（4分）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有6根火柴，第二个图形有11根火柴，第③个图形有16根火柴，…，则第10个图形火柴的根数为（ ）
A．36B．41C．46D．51
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，若∠OBC＝2∠BOC，则∠BAD＝（ ）
A．60°B．70°C．72°D．75°
9．（4分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）将两个不为0的代数式2a、2b进行以下操作：第一项为2a•2b，用第一项除以2b，结果记为m1；将第一项乘上m1，得到第二项，用第二项除以m1，结果记为m2；将第二项乘上m2，得到第三项，用第三项除以m2，结果记为m3…，以此类推，下列三个说法正确的个数为（ ）
①当a＝﹣2，b＝2时，第三项为﹣210；
②第四项与第五项的积等于m7；
③m1•m2•m4•m6•m8…•m2022•m2024的结果为第2024项．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：3﹣2+π0＝ ．
12．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 ．
13．（4分）某班将举办“庆元旦，迎新年”文艺晚会．现打算从两名男生和三名女生中随机选取两名同学来做主持人，则恰好选中一男一女的概率是 ．
14．（4分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
15．（4分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，将⊙O分别沿AB、CB向内翻折．若AC＝6，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
16．（4分）若关于x的一元一次不等式的解集为x≥5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝10，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好是AC的中点，连接BB′交DE于点F，则DF＝ ．
18．（4分）若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 ；若M、N分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，M、N各数位上的数字之和分别记为F（M）和F（N），若能被10整除．则当取得最大值时M的值是 ．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x+3）2﹣x（6﹣x）；
（2）÷（1﹣）．
20．（10分）如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，CF⊥BD于点F，
（1）尺规作图：过A作AE⊥BD于点E，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝ ＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴ ．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ ．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辑助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
22．（10分）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达C点时停止运动．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8），△BCP的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当△BCP的面积为3时t的值．
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点，且与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，交y轴于点C，连AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为线段OC上一动点，过点D作DE⊥OC交y轴右侧的抛物线于点E，过E作EF∥OC交OB于点F，求四边形ODEF周长的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形CBNM为平行四边形时，请求出点M到直线BC的距离．
26．（10分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D、E分别为射线AC和线段AB上的两点，且AD＝BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与BC交于点M．
（1）如图1，当tan∠ADE＝，AE＝时，求BE的长；
（2）如图2；连接AF，N为AF的中点，连接MN，求证：BE＝MN；
（3）如图3，连接CF，将CF绕点C顺时针旋转60°得CG，连接FG、BG、AG，若AC＝4，当BG取得最小值时，直接写出△ABG的面积．
参考答案与解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑．
1．（4分）﹣5的绝对值是（ ）
A．B．5C．﹣5D．﹣
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
2．（4分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3．（4分）反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），则k是（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（﹣2，3），
∴k＝xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故选：B．
4．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OB：OE＝1：2，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．4B．16C．24D．32
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴＝＝，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为16，
故选：B．
5．（4分）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38°B．42°C．48°D．58°
【解答】解：∵AE⊥EF，∠1＝42°，
∴∠AFE＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AFE＝48°．
故选：C．
6．（4分）估计×（2）的值在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
【解答】解：原式＝×2+×
＝2+1
＝+1，
∵＜＜，即7＜＜8，
∴8＜+1＜9．
故选：C．
7．（4分）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，其中第①个图形有6根火柴，第二个图形有11根火柴，第③个图形有16根火柴，…，则第10个图形火柴的根数为（ ）
A．36B．41C．46D．51
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中，火柴棒的根数为：6＝1×5+1；
第②个图形中，火柴棒的根数为：11＝2×5+1；
第③个图形中，火柴棒的根数为：16＝3×5+1；
…，
所以第n个图形中，火柴棒的根数为（5n+1）个，
当n＝10时，
5n+1＝5×10+1＝51（根），
即第10个图形中，火柴棒的根数为51根．
故选：D．
8．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，若∠OBC＝2∠BOC，则∠BAD＝（ ）
A．60°B．70°C．72°D．75°
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
而∠OBC＝2∠BOC，
∴2∠BOC+2∠BOC+∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝36°，
∵＝，
∴∠COD＝3∠BOC＝3×36°＝108°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝36°+108°＝144°，
∴∠BAD＝∠BOD＝×144°＝72°．
故选：C．
9．（4分）在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接BD交AC于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝DC，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，且AC＝BD，AC⊥BD，
∴BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，
∵AB＝BC＝3CM，
∴＝，
∵CM∥AB，
∴△CMN∽△ABN，
∴＝，
∵CN＝AC＝AC，
∴AC＝4CN，
∴2CE＝4CN，
∴CE＝2CN，
∴CN＝EN，
在△CPN和△EBN中，
，
∴△CPN≌△EBN（SAS），
∴PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，
∴PC∥DE，
∴四边形PCED是平行四边形，
∵∠CED＝90°，CE＝DE，
∴四边形PCED是正方形，
∴DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，
∴BD＝2DP，
∴BP＝＝＝DP，
∴＝，
∵BP＝2BN，
∴＝，
∴＝，
故选：B．
10．（4分）将两个不为0的代数式2a、2b进行以下操作：第一项为2a•2b，用第一项除以2b，结果记为m1；将第一项乘上m1，得到第二项，用第二项除以m1，结果记为m2；将第二项乘上m2，得到第三项，用第三项除以m2，结果记为m3…，以此类推，下列三个说法正确的个数为（ ）
①当a＝﹣2，b＝2时，第三项为﹣210；
②第四项与第五项的积等于m7；
③m1•m2•m4•m6•m8…•m2022•m2024的结果为第2024项．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：由题知，
第一项为：2a•2b＝22ab，；
第二项为：4ab•2a＝23a2b，；
第三项为：8a2b•4ab＝25a3b2，；
第四项为：32a3b2•8a2b＝28a5b3，；
第五项为：213a8b5，；
…，
由此可见，第n项为第（n﹣1）项和第（n﹣2）项的积，且mi即为第（i﹣1）项（i为大于等于3的正整数）；
当a＝﹣2，b＝2时，
第三项为：25×（﹣2）3×22＝﹣210，
因为，
且，
所以①错误．
因为第四项与第五项的积为第六项，且m7即为第六项，
所以②正确．
因为m1•m2的结果为第二项，m4为第三项，m6为第五项，…，m2024为第2023项，
所以m1•m2•m4的结果为第四项，
m1•m2•m4•m6的结果为第六项，
…，
则m1•m2•m4•m6•…•m2022•m2024的结果为第2024项．
故③正确．
故选：C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）计算：3﹣2+π0＝ ．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
12．（4分）一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个正多边形的边数是 6 ．
【解答】解：设正多边形的一个外角的度数为x°，
由题意得2x+x＝180°，
解得x＝60，
360°÷60°＝6，
所以这个正多边形的边数是6．
故答案为6．
13．（4分）某班将举办“庆元旦，迎新年”文艺晚会．现打算从两名男生和三名女生中随机选取两名同学来做主持人，则恰好选中一男一女的概率是 ．
【解答】解：画树状图为：
由图知，一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，故恰好抽到一男一女的概率为，
故答案为：．
14．（4分）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（x﹣12）＝864 ．
【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．
故答案为：x（x﹣12）＝864．
15．（4分）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，将⊙O分别沿AB、CB向内翻折．若AC＝6，则图中阴影部分的面积为 9﹣π ．（结果保留π）
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°，
∴AD＝CD＝AC＝3，
∵将⊙O分别沿AB、CB向内翻折，
∴图中阴影部分的面积＝正方形的面积﹣（⊙O的面积﹣正方形的面积）÷4×2＝33﹣（32π﹣3）÷4×2＝9﹣π，
故答案为：9﹣π．
16．（4分）若关于x的一元一次不等式的解集为x≥5，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 10 ．
【解答】解：关于x的一元一次不等式，即的解集为x≥5，
∴≤5，
解得a≤8；
关于y的分式方程的解为y＝，而y＝是正整数，且y≠2，a≤8，
∴a＝3或a＝7，
∴所有满足条件的整数a的值之和为3+7＝10．
故答案为：10．
17．（4分）如图，在△ABC中∠A＝60°，AC＝8，AB＝10，点D、E分别是AB、BC边上两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好是AC的中点，连接BB′交DE于点F，则DF＝ ．
【解答】解：由图形翻折知，B点与点B'关于DE的对称，
∴BB'⊥DE，BF＝B'F＝BB'，且BD＝B'D，
设BD长为m，过点B'作AB边的垂线，垂足为P，
在Rt△APB'中，∠A＝60°，AB'＝AC＝4，
∴AP＝AB'•cs60°＝2，B'P＝AB'•sin60°＝2，
∴BP＝AB﹣AP＝10﹣2＝8，
故BB'＝＝＝2，
∴BF＝BB'＝，
∵BD＝B'D＝m，DP＝BP﹣BD＝8﹣m，
在Rt△B'PD中，B'P2+DP2＝DB'2，
即（2）2+（8﹣m）2＝m2，
解得m＝，
在Rt△BFD中，DF2+BF2＝BD2，
∴DF＝＝＝，
故答案为：．
18．（4分）若一个四位数的千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称这个四位数是“惊蛰数”，若其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，则称这个四位数是“谷雨数”．如3220是“惊蛰数”，6495是“谷雨数”，最小的“谷雨数”是 2040 ；若M、N分别是“惊蛰数”、“谷雨数”，且它们的个位数字均为2，M、N各数位上的数字之和分别记为F（M）和F（N），若能被10整除．则当取得最大值时M的值是 4342 ．
【解答】解：根据题意，最小的”谷雨数”，若千位数字最小，则应为2，百位数字为0，此时十位数字最小为4，个位数字最小为0，则最小的“谷雨数”是2040．
设“惊蛰数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：a+1，a，4，2；“谷雨数”千位、百位、十位、个位上的数字依次为：b+2，b，6，2；则：
M＝1000（a+1）+100a+42＝1100a+1042，F（M）＝a+1+a+4+2＝2a+7；
N＝1000（b+2）+100b+62＝1100b+2062，F（N）＝b+2+b+6+2＝2b+10；
则＝＝＝＝550+，
∵能被10整除，即55+为整数，
也就是说，2（a﹣b）﹣3是51的因数，
根据题意0≤a≤8，0≤b≤7，（千位上最大的数字是9），
当取得最大值时，也就是说最大，
又∵51＝1×3×17，
∴当a﹣b＝3时，，
当a﹣b＝2时，＝51，
∴当a﹣b＝3时，a＝b+3，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.3；
当a﹣b＝2时，a＝b+2，＝＝1+，b＝0时，最大值为1.1．
故当b＝0，a＝3时，有最大值，此时M的值为：4342．
故答案为：2040；4342．
三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算：
（1）（x+3）2﹣x（6﹣x）；
（2）÷（1﹣）．
【解答】解：（1）原式＝x2+6x+9﹣6x+x2
＝2x2+9；
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝．
20．（10分）如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，CF⊥BD于点F，
（1）尺规作图：过A作AE⊥BD于点E，连接AF，CE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作图形中，求证：四边形AECF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝ ∠CFD ＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴ AD＝CD ．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
∠ADE＝∠CDF ，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ ED＝FD ．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解答】解：（1）如图所示：AE即为所求；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD．
∵在△AED和△CFD中，
∠AED＝∠CFD，
∠ADE＝∠CDF，
AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
∴ED＝FD．
∵AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠CFD，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，ED＝FD．
四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辑助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
21．（10分）2023年10月8日第十九届亚运会在中国杭州圆满闭幕．某校举行了七、八年级亚运知识竞赛，现分别在两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行收集、整理和分析（其中成绩大于等于80的视为优秀）：
【收频数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理、分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 78.5 ，b＝ 80 ，c＝ 60 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级学生共1000人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀的学生的总人数．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，
∴中位数a＝＝78.5，
八年级抽样成绩为：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
∵80出现的次数最多，为2次，
∴众数b＝80，
c%＝×100%＝60%，
∴c＝60，
故答案为：78.5，80，60；
（2）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）；
（3）由题意得：1000×40%+1200×60%＝400+720＝1120（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有1120人．
22．（10分）“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的1.2倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
【解答】解：（1）设甲队修道路x米，乙队修道路y米，
由题意得：，
解得：，
答：甲队修道路600米，乙队修道路400米；
（2）设乙队每天修道路a米，则甲队每天修道路1.2a米，
由题意得：＝+2，
解得：a＝50，
经检验，a＝50是原方程的解，且符合题意，
∴1.2a＝1.2×50＝60，
答：甲队每天修道路60米．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5．动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达C点时停止运动．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜8），△BCP的面积为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当△BCP的面积为3时t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝＝4，
当0＜t≤5时，过点P作PH⊥BC于H，
∵PH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴PH∥AC，
∴△ACB∽△PHB，
∴，
∴，
∴PH＝t，
∴y＝×BC•PH＝×4×t＝t，
当5＜t＜8时，y＝×4×（8﹣t）＝16﹣2t，
综上所述：y＝；
（2）如图所示：
函数的性质：函数的最大值为6；
（3）当0＜t≤5时，3＝t，
∴t＝，
当5＜t＜8时，3＝16﹣2t，
∴t＝，
综上所述：t的值为或．
24．（10分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中AE是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，∠BCD＝60°，CD＝500米，点A在点B的北偏西23°方向，AB＝300米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：sin23°≈0.39，cs23°≈0.92，tan23°≈0.42，≈1.73）
（1）求AE的距离；（结果精确到个位）
（2）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线C→D→E步行到达基地，速度为1.2m/s；小亮以1m/s的速度沿C→B→A到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为6m/s，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？
【解答】解：（1）设CB的延长线交AE于点F，
由题意知：△CDB和△ABF都是直角三角形，四边形BDEF是矩形，∠ABF＝23°，
在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BD＝CD•sin∠BCD＝500×＝250≈432.5（米），
∴EF＝BD＝432.5米，
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴AF＝AB•sin∠ABF＝300×sin23°≈300×0.39＝117（米），
∴AE＝AF+EF＝117+432.5≈550（米），
答：AE的距离约为550米；
（2）在Rt△CDB中，
∵∠BCD＝60°，CD＝500米，
∴BC＝CD•cs∠BCD＝500×＝250（米），
∴在Rt△ABF中，
∵∠ABF＝23°，AB＝300米，
∴BF＝AB•cs∠ABF＝300×cs23°≈300×0.92＝276（米），
∴DE＝BF＝276米，
∴小华到达E点所花时间为（CD+DE）÷1.2＝（500+276）÷1.2≈646.67（s），
小亮到达E点所花时间为（CB+AB）÷1+AE÷6＝（250+300）÷1+550÷6≈641.67（s），
∵646.67＞641.67，
∴小亮先到达E点．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点，且与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，交y轴于点C，连AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D为线段OC上一动点，过点D作DE⊥OC交y轴右侧的抛物线于点E，过E作EF∥OC交OB于点F，求四边形ODEF周长的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移个单位，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为原抛物线上一点，当四边形CBNM为平行四边形时，请求出点M到直线BC的距离．
【解答】解：（1）将点，A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵DE⊥OC，EF∥OC，
∴四边形ODEF是矩形，
设D（0，t），（0＜t＜2），
当t＝﹣x2+x+2时，解得x＝2+或x＝2﹣，
则E（2+，t），
∴四边形ODEF周长＝2（t+2+），
令m＝，则t＝，
∴四边形ODEF周长＝2（t+2+）＝2（+2+m）＝﹣（m﹣3）2+，
∵0＜t＜2，
∴2＜m＜4，
∴当m＝3时，四边形ODEF周长的最大值为，
当m＝3时，t＝，
此时E（5，）；
（3）∵A（﹣2，0）、C（0，2），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵抛物线沿射线CA方向平移个单位，
∴抛物线沿x轴负方向平移5个单位，沿y轴负方向平移5个单位，
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x+3）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
设M（﹣3，m），N（n，﹣n2+n+2），
当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣2或x＝6，
∴B（6，0），
当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，）；
当CM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，﹣）；
当CN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣3，）；
∵OC＝2，OB＝6，
∴BC＝2，
∴sin∠CBO＝，cs∠CBO＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴6k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
当x＝﹣3时，y＝3，
∴直线BC与对称轴的交点为（﹣3，3），
设点M到直线BC的距离为d，点G（﹣3，3），
当M（﹣3，）时，MG＝﹣3＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
当M（﹣3，﹣）时，MG＝3+＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
当M（﹣3，）时，MG＝﹣3＝，
∴d＝MG•cs∠CBO＝×＝；
综上所述：点M到直线BC的距离为或或．
26．（10分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D、E分别为射线AC和线段AB上的两点，且AD＝BE，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得EF，连接DF与BC交于点M．
（1）如图1，当tan∠ADE＝，AE＝时，求BE的长；
（2）如图2；连接AF，N为AF的中点，连接MN，求证：BE＝MN；
（3）如图3，连接CF，将CF绕点C顺时针旋转60°得CG，连接FG、BG、AG，若AC＝4，当BG取得最小值时，直接写出△ABG的面积．
【解答】（1）解：如图1，过点E作EL⊥AC于L，则∠ALE＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△AEL是等腰直角三角形，
∵AE＝，
∴AL＝EL＝AE＝1，
∵tan∠ADE＝，
∴＝，
∴DL＝3EL＝3，
∴AD＝AL+DL＝1+3＝4，
∵AD＝BE，
∴BE＝AD＝2；
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H交AF于P，作ET⊥BC于T，过点F作FK⊥EH于K，交CB的延长线于G，连接EM，
由旋转得ED＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠DEH+∠FEK＝90°，
∵∠DHE＝∠EKF＝90°，
∴∠DEH+∠EDH＝90°，
∴∠EDH＝∠FEK，
在△DEH和△EFK中，
，
∴△DEH≌△EFK（AAS），
∴EH＝FK，DH＝EK，
∵∠AHE＝90°，∠BAC＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AH＝EH，
∴FK＝AH，
在△APH和△FPK中，
，
∴△APH≌△FPK（AAS），
∴AP＝FP，HP＝KP，
∴点P是AF的中点，
∵点N为AF的中点，
∴点P与点N重合，即AN＝FN，HN＝KN，
∵∠BTE＝90°，∠EBT＝45°，
∴△BET是等腰直角三角形，
∴BE＝ET，
∵AD＝BE，
∴AD＝2ET，
∵四边形CHET和四边形CHKG是矩形，
∴CH＝GK＝ET＝AD，CG＝HK＝2HN，
∴AH+CD＝CH＝GK＝FK+GF，
∵AH＝FK，
∴CD＝GF，
在△DMC和△FMG中，
，
∴△DMC≌△FMG（AAS），
∴DM＝FM，CM＝GM，
∴CM＝HN，
∴四边形CMNH是矩形，
∴MN＝CH＝ET，
∴BE＝MN；
（3）以BC为边向外作等边△BCH，连接BF、GH，延长GH交AD于L，过点L作LJ⊥CH于J，过点F作FK⊥BC于K，过点E作ET⊥BC于T，如图3，
设CD＝x，则AD＝x+4，
∵AD＝BE，
∴BE＝AD＝（x+4），
∴ET＝BE＝（x+4），
∵四边形CNET是矩形，
∴CN＝ET＝（x+4），
∴DN＝CD+CN＝x+（x+4）＝x+2，AN＝EN＝x+4﹣（x+2）＝2﹣x，
∵∠DNE＝∠EMF＝90°，
∴∠FEM+∠EFM＝90°，
由旋转得：DE＝EF，∠DEF＝90°，
∴∠FEM+∠DEN＝90°，
∴∠DEN＝∠EFM，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴EN＝FM，DN＝EM，
∴NM＝EN+EM＝2﹣x+x+2＝x+4，
∵四边形CNMK是矩形，
∴CK＝NM，MK＝CN，
∴BK＝CK﹣BC＝x，FK＝MK﹣FM＝（x+4）﹣（2﹣x）＝x，
∴BK＝FK，
∵∠BKF＝90°，
∴∠FBK＝∠BFK＝45°，
∴∠CBF＝135°，
∵△BCH和△CFG均为等边三角形，
∴CF＝FG，CB＝CH，∠FCG＝∠BCH＝∠BHC＝60°，
∴∠FCG﹣∠BCG＝∠BCH﹣∠BCG，
即∠BCF＝∠HCG，
∴△CBF≌△CHG（SAS），
∴∠CHG＝∠CBF＝135°，
∴∠CHL＝180°﹣135°＝45°，
∵∠HCL＝30°，
∴∠CLH＝105°，
在Rt△CLJ中，CJ＝CL•cs∠HCL＝CL，LJ＝CL•sin∠HCL＝CL，
在Rt△HLJ中，∠CHL＝∠HLJ＝45°，
∴HJ＝LJ，
∵CH＝BC＝AC＝4，
∴CL+CL＝4，
∴CL＝4﹣4，
∴当点D、E分别在AC的延长线上、线段AB上运动时，点G在射线LG上运动，当BG⊥LG时，BG最小，
如图4，作BH的垂直平分线交BG于P，交BH于W，连接PH，过点G作GQ⊥AB的延长线于Q，
则PH＝BP，
∴∠PBH＝∠PHB＝15°，∠HPG＝30°，∠PHG＝60°，
设GH＝m，则PG＝m，PH＝BP＝2m，
∴BG＝（2+）m，
∵GH2+BG2＝BH2，
∴m2+[（2+）m]2＝42，
∵m＞0，
∴m＝﹣，
∴BG＝（2+）（﹣）＝+，
∵∠BCL+∠BGL＝180°，
∴四边形BCLG是圆内接四边形，
∴∠CBG+∠CLG＝180°，
∵∠CLG＝105°，∠ABC＝45°，
∴∠GBQ＝180°﹣∠ABC﹣∠CBG＝60°，
∵∠BQG＝90°，
∴GQ＝BG•sin∠GBQ＝（+）•sin60°＝，
∵AB＝4，
∴S△ABG＝AB•GQ＝×4×＝6+2，
故△ABG的面积为6+2．平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
40%
八年级
80
80
b
c%
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
80
a
72
40%
八年级
80
80
b
c%
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