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    2024年初三中考第一次模拟考试试题:数学(河北卷)(全解全析)
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    2024年初三中考第一次模拟考试试题:数学(河北卷)(全解全析)

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    这是一份2024年初三中考第一次模拟考试试题:数学(河北卷)(全解全析),共28页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    第Ⅰ卷
    一、选择题(本大题共16个小题,共38分,1~6小题各3分,7~16小题各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.(2023上·河北秦皇岛·七年级统考开学考试)小明比小强大2岁,比小华小4岁.如果小强y岁.则小华( )
    A.y−2岁B.y+2岁C.y+4岁D.y+6岁
    【答案】D
    【分析】本题考查了用字母表示数,先表示出小明y+2岁,再表示出小华y+6岁,问题得解.
    【详解】解:小强y岁,小明比小强大2岁,则小明y+2岁;小明比小华小4岁,则小华y+2+4=y+6岁.故选:D
    2.(2023上·河北保定·七年级统考期末)如图,点B在点O的北偏东58°24'方向上,∠BOC=119°,则点C在点O的( )
    A.西偏北60°36'方向上B.北偏西60°36'方向上
    C.西偏北29°54'方向上D.北偏西29°54'方向上
    【答案】B
    【分析】本题考查了方向角的表示以及方向角的计算,用∠BOC的度数减去58°24',再结合图形即可解答.
    【详解】解:119°−58°24'=60°36'
    ∴点C在点O的北偏西60°36'方向上.
    故选:B.
    3.(2023下·七年级单元测试)a9可以表示为( )
    A.6aB.a2⋅a3C.(a3)2D.a12÷a3
    【答案】D
    【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得.
    【详解】解:A、6a不能表示为a9,此选项不符合题意;
    B、a2⋅a3=a5,此选项不符合题意;
    C、a32=a6,此选项符合题意;
    D、a12÷a3=a9,此选项不符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查幂的运算,解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则.
    4.(2023上·全国·九年级专题练习)一个布袋里装有3个红球,2个黑球,4个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,则下列事件中,发生可能性最大的是( )
    A.摸出的是红球B.摸出的是黑球
    C.摸出的是绿球D.摸出的是白球
    【答案】D
    【分析】本题主要考查可能性大小,根据个数最多的就是可能性最大的进行判断即可.
    【详解】解:因为白球最多,所以被摸到的可能性最大.
    故选:D.
    5.(2023上·全国·八年级专题练习)如图,将长为8的线段AB分成三条线段AC,CD,BD,且AC=BD=a,若这三条线段首尾相连能够围成一个三角形,则a的值可以是( )
    A.2B.3C.4D.5
    【答案】B
    【分析】本题考查三角形的三边关系,解题的关键是学会利用参数构建不等式解决问题.利用三角形的三边关系构建不等式求解.
    【详解】利用三角形的三边关系构建不等式求解.
    【解答】解:由题意,a<42a>8−2a,
    ∴2∴a=3符合题意.
    故选:B.
    6.(2024下·全国·七年级假期作业)计算x−3y+1x+3y−1的结果是( )
    A.x2−12xy+9y2−1B.x2−9y2−6y−1
    C.x2+9y2−1D.x2−9y2+6y−1
    【答案】D
    【解析】x−3y+1x+3y−1=x2−3y−12=x2−9y2+6y−1
    7.(2024上·河北唐山·八年级统考期末)下面是小明的作业,他判断正确的个数是( )
    (−2)2=−2…………(√)
    3−5=−3−5…………(√)
    3132=1…………(×)
    54=36…………(√)
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【答案】B
    【分析】本题考查了二次根式的性质,立方根的意义,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.根据二次根式的性质判断即可.
    【详解】解:(−2)2=2,原判断错误;
    3−5=−35,原判断错误;
    3132=3,原判断正确;
    54=36,原判断正确;
    判断正确的个数为2个,
    故选B.
    8.(2023·全国·九年级专题练习)如图,E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点,且AB∥CD,则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
    A.∠D=∠5B.∠3=∠4C.∠1=∠2D.∠B=∠D
    【答案】C
    【详解】A.∵∠D=∠5,∴AD∥BC.
    ∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意;
    B.∵∠3=∠4,∴AD∥BC.
    ∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意;
    C.∵∠1=∠2,∴AB∥CD,不能判断四边形ABCD是平行四边形,故符合题意;
    D.∵AB∥CD,∴∠B=∠5.
    ∵∠B=∠D,∴∠D=∠5,
    ∴AD∥BC.
    ∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意.
    9.(2023上·山东临沂·九年级统考期中)如图,已知锐角∠AOB,按如下步骤作图:(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连接CD;(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交PQ于点M,N;③连接OM,MN,ND.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( )
    A.∠COM=∠CODB.MN∥CD
    C.若OM=MN,则∠AOB=20°D.∠COD=3∠MND
    【答案】D
    【分析】本题考查圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,平行线的判定,由圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,平行线的判定,即可解决问题.
    【详解】解:如图,
    A、连接MC,CD=MC,CD=MC,因此∠COM=∠COD,故A不符合题意;
    B、连接ON,由OM=ON,∠OMK=∠ONL,∠MOK=∠NOL,得到△OMK≌△ONLASA,因此OK=OL,得到∠OKL=∠OLK,由OC=OD,得到∠OCD=∠ODC,则∠OKL=∠OCD,得到MN∥CD,故B不符合题意;
    C、由OM=ON=MN,得到∠MON=60°,而MC=CD=DN,因此∠AOB=13∠MON=20°,故C不符合题意;
    D、由圆周角定理得到∠MND=12∠MOD,∠COD=12∠MOD,所以∠COD=∠MND,故D符合题意.
    故选:D.
    10.(2021·山东日照·统考中考真题)数学上有很多著名的猜想,“奇偶归一猜想”就是其中之一,它至今未被证明,但研究发现,对于任意一个小于7×1011的正整数,如果是奇数,则乘3加1;如果是偶数,则除以2,得到的结果再按照上述规则重复处理,最终总能够得到1.对任意正整数m,按照上述规则,恰好实施5次运算结果为1的m所有可能取值的个数为( )
    A.8B.6C.4D.2
    【答案】D
    【分析】利用第5次运算结果为1出发,按照规则,逆向逐项计算即可求出m的所有可能的取值.
    【详解】解:如果实施5次运算结果为1,
    则变换中的第6项一定是1,
    则变换中的第5项一定是2,
    则变换中的第4项一定是4,
    则变换中的第3项可能是1,也可能是8.
    则变换中的第3项可能是1,计算结束,1不符合条件,第三项只能是8.
    则变换中第2项是16.
    则m的所有可能取值为32或5,一共2个,
    故选:D.
    【点睛】本题考查科学记数法,有理数的混合运算,进行逆向验证是解决本题的关键.
    11.(2023上·浙江杭州·八年级统考期中)如图,已知Rt△ABC,Rt△DBA,Rt△EAC,其中点F,G,H分别为斜边BC,BA,AC的中点,连接DG,AF,EH.则线段DG,AF,EH的数量关系是( )

    A.2AF2=2DG2+EH2B.2AF2=DG2+2EH2
    C.AF2=DG2+EH2D.2AF2=DG2+EH2
    【答案】C
    【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,可以得到AB=2DG,AC=2EH,BC=2AF,然后根据勾股定理可以得到AB2+AC2=BC2,从而可以得到DG,AF,EH的数量关系.
    【详解】解:∵点F,G,H分别为Rt△ABC,Rt△DBA,Rt△EAC的斜边BC,BA,AC的中点,
    ∴AB=2DG,AC=2EH,BC=2AF,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴AB2+AC2=BC2,
    ∴2DG2+2EH2=2AF2,
    化简,得:AF2=DG2+EH2,
    故选:C.
    12.(2023·河北衡水·校联考模拟预测)用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体,如图是该几何体的左视图和俯视图,针对该几何体所需小正方体的个数m,三人的说法如下,
    甲:若m=6,则该几何体有两种摆法;
    乙:若m=7,则该几何体有三种摆法;
    丙:若m=8,则该几何体只有一种摆法.下列判断正确的是( )
    A.甲对,乙错B.乙和丙都错C.甲错,乙对D.乙对,丙错
    【答案】C
    【分析】根据甲、乙、丙所说m的值,分别画出相应几何体的三视图,再进行判断即可.
    【详解】解:如图,
    甲:若m=6,则第一层已经摆放5个,第二层只放1个,由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三种,故甲错;
    乙:若m=7,则第二层可放2个,可得主视图如④⑤⑥所示三种,故乙对;
    丙:若m=8,则第一层放5个,第二层放3个小正方体,这样只能摆放在后面三个小正方体上,主视图如图⑦所示,只有一种摆法,故丙对,
    故选:C
    【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图,熟练掌握三视图的相关知识是解答本题的关键.
    13.(2023上·河北邯郸·八年级校考期中)如图,在图纸上画有∠AOB=100°,OC平分∠AOB,定点P在OC上.将夹角为80°的角尺任意放在图纸上,使角尺的顶点与点P重合,两边分别交射线OA,OB于点M,N(均不与点O重合).关于甲、乙的说法,下列判断正确的是( )
    甲:PM始终等于PN;
    乙:四边形PMON的面积为定值

    A.甲、乙都对B.甲、乙都错C.甲对乙错D.甲错乙对
    【答案】A
    【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识.如图过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.只要证明Rt△POE≌Rt△POF,△PEM≌△PFN,即可一一判断.解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
    【详解】解:如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.

    ∴∠PEO=∠PFO=90°,
    ∴∠EPF+∠AOB=180°,
    ∵∠MPN+∠AOB=180°,
    ∴∠EPF=∠MPN,
    ∴∠EPM=∠FPN,
    ∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
    ∴PE=PF,
    在Rt△POE和Rt△POF中,OP=OPPE=PF,
    ∴Rt△POE≌Rt△POF(HL),
    ∴OE=OF,
    ∴S△PEO=12×OE×PE,S△PFO=12×OF×PF,
    ∴S△PEO=S△PFO=定值,
    在△PEM和△PFN中,∠EPM=∠FPNPE=PF∠PEM=∠PFN,
    ∴△PEM≌△PFN(ASA),
    ∴EM=NF,PM=PN,故甲正确,
    ∴S△PEM=S△PNF,
    ∴S四边形PMON=S四边形PEON+S△PEM=S四边形PEON+S△PFN=S四边形PEOF=2S△PEO=定值,故乙正确.
    故选:A.
    14.(2023·广东东莞·校联考二模)如图,⊙O的半径为2,弦CD垂直直径AB于点E,且E是OA的中点,点P从点E出发(点P与点E不重合),沿E→D→B的路线运动,设AP=x,sin∠APC=y,那么y与x之间的关系图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】本题考查动点问题的函数图象,当点P在线段ED时,y=sin∠APC=AEPA=1x,推出当1【详解】解:连接OD,AD,如图,
    ∵弦CD垂直直径AB于点E,且E是OA的中点,OA=2,
    ∴AE=OE=12OA=1,AD=OD=2,
    又AP=x,
    ∴当点P在线段ED时,y=sin∠APC=AEPA=1x,
    ∴当1当点P在BD上时,∠APC是定值,y是定值,
    故选:C.
    15.(2023上·全国·九年级期末)如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,则PGPC=( )

    A.2B.3C.22D.33
    【答案】B
    【分析】本题考查了菱形的性质,三角形全等的判定和性质,等腰三角形的性质,正确的添加辅助线是解题的关键.延长PG交CD于点H,证明△DHP≌△FGP,继而证明CH=CG,根据三线合一可知CP⊥PG,进一步可得∠PCG=60°,继而 可得答案.
    【详解】解:如图,延长PG交CD于点H,

    ∵P是线段DF的中点,
    ∴FP=DP,
    由题意可知DC∥GF∥AE,
    ∴∠GFP=∠HDP,
    ∵∠GPF=∠HPD,
    ∴△GFP≌△HDP,
    ∴GP=HP,GF=HD,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴CD=CB,
    ∴CG=CH,
    ∴△CHG是等腰三角形,
    ∴PG⊥PC,
    又∵∠ABC=∠BEF=60°,
    ∴∠BCD=180°−60°=120°,
    ∴∠GCP=60°,
    ∴PGPC=3;
    故选:B.
    16.(2023·浙江温州·统考三模)已知二次函数y=49x−12−1上的两点Px1,y1,Qx2,y2满足x1=3+x2,则下列结论中正确的是( )
    A.若x1<−12,则y1>y2>−1B.若−120>y1
    C.若x1<−12,则y1>0>y2D.若−12y1>0
    【答案】B
    【分析】已知二次函数y=49x−12−1,由49>0确定抛物线开口向上,且对称轴为直线x=1,根据x的取值范围与对称轴的关系,判断y的取值范围.
    【详解】解:A、 若x1<−12,则x2=x1−3<−72,二次函数开口向上,对称轴为直线x=1,此时,x1>x2在对称轴左侧,y随x的增大而减小,所以y1B、若−12−12>x2在对称轴左侧,y随x的增大而减小,所以y2>0>y1,选项正确,符合题意;
    C、 若x1<−12,则x2=x1−3<−72,二次函数开口向上,对称轴为直线x=1,此时,x1>x2在对称轴左侧,y随x的增大而减小,所以y1D、若−12−12>x2在对称轴左侧,y随x的增大而减小,所以y2>0>y1,选项错误,不符合题意.
    故选:B
    【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解决此类问题要明确抛物线的开口方向、对称轴和增减性,根据x的取值范围确定y的取值范围.
    第Ⅱ卷
    二、填空题(本大题共3个小题,共10分.17小题2分,18~19小题各4分,每空2分)
    17.(2024上·陕西西安·九年级统考期末)劳动教育课上,徐老师带领九(1)班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计(种子培养环境相同).如图,用A,B,C三点分别表示三类种子的发芽率y与该类种子用于实验的数量x的情况,其中点B在反比例函数图象上,则三类种子中,发芽数量最多的是 类种子.(填“A”“B”或“C”)
    【答案】C
    【分析】本题考查了反比例函数的应用,根据发芽率y=发芽数量÷实验的数量x即可得到结论.
    【详解】解:∵发芽率=发芽数量÷实验的数量,
    ∴y随x的增大而变小,
    ∴发芽数量最多的是C类种子.
    故答案为:C.
    18.(2023上·河北沧州·八年级校考阶段练习)定义运算“※”:a※b=aa−b(a>b),bb−a(a【答案】 57 52或10
    【分析】本题主要考查了新定义和解分式方程,正确理解新定义是解题的关键.
    (1)根据新定义得到5※−2=55−−2,据此计算即可;
    (2)当x<5时,则55−x=2,当x>5时,则xx−5=2,两种情况分别解方程即可得到答案.
    【详解】解:(1)∵5>−2,
    ∴5※−2=55−−2=57,
    故答案为:57;
    (2)当x<5时,
    ∵5※x=2,
    ∴55−x=2,
    ∴5=10−2x,
    解得x=52,
    经检验,x=52是原方程的解,
    ∵52<5,
    ∴x=52符合题意;
    当x>5时,
    ∵5※x=2,
    ∴xx−5=2,
    ∴x=2x−10,
    解得x=10,
    经检验,x=10是原方程的解,
    ∵10>5,
    ∴x=10符合题意;
    综上所述,x=52或x=10,
    故答案为:52或10.
    19.(2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十二中学校考期末)小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O的正多边形,使其能在正方形内自由旋转.
    (1)如图1.若这个正多边形为边长最大的正六边形,EF= ;
    (2)如图2,若这个正多边形为正△EFG,则EF的取值范围为 .
    【答案】 5 0【分析】(1)如图1,连接OE,OF,OI,作正方形ABCD的内切圆⊙O,根据正六边形的性质得出EF=OF,再根据⊙O的直径等于正方形ABCD的边长可得OF=EF=5;
    (2)如图2,作正方形ABCD的内切圆⊙O,作⊙O的内接正三角形EFG,此时EF最大,连接OE,OF,过点F作FM⊥EG于点M,解直角三角形即可得出结论.
    【详解】解:(1)如图1,连接OE,OF,OI,作正方形ABCD的内切圆⊙O,
    由正六边形可得△OEF是等边三角形,
    ∴EF=OF,
    由正方形ABCD的边长为10,可知⊙O的直径为10,即FI=10,
    ∴OF=EF=5,
    故答案为:5;
    (2)如图2,作正方形ABCD的内切圆⊙O,作⊙O的内接正三角形EFG,
    ∴ ⊙O的直径为10,∠G=60°,
    此时EF最大,连接OE,OF,
    ∴OF=OE=5,∠EOF=2∠G=120°,
    过点F作FM⊥EG于点M,
    则∠EOM=60°,
    ∴OM=52,EM=523,EF=2EM=53,
    ∴ EF的取值范围为0故答案为:0【点睛】本题考查正多边形与圆,正方形的性质,正六边形的性质,等边三角形的性质,解直角三角形等,解题的关键是正确作出辅助线.
    三、解答题(本大题共7个小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    20.(2024上·安徽亳州·七年级统考期末)若两个一元一次方程的解相差1,则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如:方程x−2=0是方程x−1=0的“后移方程”
    (1)判断方程2x+1=0是否为方程2x+3=0的“后移方程”;
    (2)若关于x的方程3(x−1)−m=m+32是关于x的方程2(x−3)−1=3−(x+1)的“后移方程”,求m的值.
    【答案】(1)方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程(2)m=5
    【分析】本题考查了一元一次方程的解,弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键.
    (1)求出两个方程的解,利用“后移方程”的定义判定即可.
    (2)分别表示出两个方程的解,根据“后移方程”的定义列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.
    【详解】(1)解:方程2x+1=0的解是x=−12,
    方程2x+3=0的解是x=−32,
    ∵两个方程的解相差1,
    ∴方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程;
    (2)解:2(x−3)−1=3−(x+1),
    2x−6−1=3−x−1
    2x+x=3−1+6+1,
    3x=9,x=3,
    ∵关于x的方程3(x−1)−m=m+32是关于x的方程2(x−3)−1=3−(x+1)的“后移方程”,
    ∴3(x−1)−m=m+32的解为x=3+1=4,
    把x=4代入3(x−1)−m=m+32得:3(4−1)−m=m+32,
    ∴m=5.
    21.(2023上·湖北武汉·七年级统考期末)团团圆圆家买了一套住房,建筑平面图如图:(单位:米)
    (1)用含有a、b的代数式表示主卧的面积为______平方米,次卧的面积为______平方米,客厅的面积为______平方米.(直接填写答案)
    (2)团团圆圆的爸爸想把主卧、次卧铺上木地板,其余部分铺瓷砖,已知每平方米木地板费用为200元,每平方米瓷砖的费用为100元,求a=5,b=4时,求整个房屋铺完地面所需的费用?
    【答案】(1)5b+15,6b,9a(2)整个房屋铺完地面所需的费用为18900元
    【分析】本题考查列代数式,整式的加减,代数式求值.
    (1)运用长方形的面积公式逐个计算求和即可;
    (2)先求出主卧、次卧的面积和,厨房、客厅、卫生间的面积和,然后利用总价=单价×面积,将a=5,b=4代入进行计算即可.
    【详解】(1)解:由题意主卧的长为5米,宽为b+3米,则面积为5b+3=5b+15(平方米);
    次卧的长为16−2−3−5=6米,宽为b米,则面积为6b(平方米);
    客厅的长为16−2−5=9米,宽为a米,则面积为9a(平方米);
    故答案为:5b+15,6b,9a;
    (2)解:主卧、次卧的面积和为5b+15+6b=11b+15(平方米);
    厨房的长为2+5=7米,宽为a−3米,则面积为7a−3=7a−21(平方米);
    卫生间的长为3米,宽为b米,则面积为3b(平方米);
    则厨房、客厅、卫生间的面积和7a−21+3b+9a=16a+3b−21(平方米);
    整个房屋铺完地面所需的费用为:
    20011b+15+10016a+3b−21
    =2200b+3000+1600a+300b−2100
    =1600a+2500b+900,
    当a=5,b=4时,
    原式=1600×5+2500×4+900=18900(元),
    答:整个房屋铺完地面所需的费用为18900元.
    22.(2024上·陕西西安·八年级统考期末)陕西某校为加强对防溺水安全知识的宜传,组织全校学生进行“防溺水安全知识”测试,测试结束后,随机抽取50名学生的成绩,整理如下:
    a.成绩的频数分布表:
    b.在0≤x<90这一组的成绩(单位:分)分别为82,83,84,85,86,87,88.
    根据以上信息回答下列问题:
    (1)求在这次测试中的平均成绩.(每一组的分值取组中值,例如:分数段为50≤x<60取55,分数段为60≤x<70取65)
    (2)若本校800名学生同时参加本次测试,请估计成绩不低于80分的人数.
    (3)陶军同学在这次测试中的成绩是83分,结合上面的数据信息,他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平,你认为他的判断是否正确?并说明理由.
    【答案】(1)82.4分(2)432人(3)不正确,理由见解析
    【分析】本题考查了加权平均数,中位数,频数分布表等知识:
    (1)根据加权平均数的求法求解即可;
    (2)利用样本估计总体的思想求解即可;
    (3)根据中位数的意义求解即可.
    【详解】(1)解:这次测试中的平均成绩为55×3+65×4+75×16+85×7+95×2050=82.40(分),
    故在这次测试中的平均成绩为82.4分.
    (2)解:800×20+750=432(人).
    答:估计成绩不低于80分的有432人.
    (3)不正确.
    理由:∵成绩的中位数为83+842=83.5,中位数反映成绩的中等水平,而83<83.5,所以陶军同学在这次测试中应该处于中等偏下的水平.
    23.(2024上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如下表:
    【探究发现】
    通过表格可发现x与t满足一次函数关系,即x=5t.而y与t之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述.
    【解决问题】
    (1)直接写出y关于t的函数解析式.(不要求写出自变量的取值范围)
    (2)如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题.
    ①若发射平台相对于安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;
    ②在安全线上设置回收区域,点M的右侧为回收区域(包括端点M),AM=125m.若飞机落到回收区域内,求发射平台相对于安全线的最低高度.
    【答案】(1)y=−12t2+12t
    (2)①飞机落到安全线时飞行的水平距离120m;②发射平台相对于安全线的最低高度为12.5m
    【分析】本题考查一次函数的应用,二次函数的应用等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
    (1)根据待定系数法求解即可;
    (2)①令二次函数y=0,求出时间t代入函数x=5t式即可求解;
    ②设发射平台相对于安全线的高度为nm,则飞机相对于安全线的飞行高度y1=−12t2+12t+n.结合t=25,y1≥0,即可求解.
    【详解】(1)y与t是二次函数关系,
    设y=at²+bt,
    由题意得:4a+2b=2216a+4b=40,解得: a=−12b=12,
    ∴y=−12t2+12t;
    (2)①依题意, 得−12t2+12t=0,
    解得:t1=0(舍), t2=24,
    当t=24时,x=120,
    答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m;
    ②设发射平台相对于安全线的高度为nm,
    ∴飞机相对于安全线的飞行高度y1=−12t2+12t+n,
    ∵5t=125,
    ∵,t=25,
    在y1=−12t2+12t+n中,
    当t=25,y1≥0时, n≥12.5,
    答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m.
    24.(2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习)如图,已知Q是∠BAC的边AC上一点,AQ=10,tan∠BAC=43,点P是射线AB上一点,连接PQ,⊙O经过点A且与QP相切于点P,与边AC相交于另一点D.
    (1)PQ的最小值是 ,当圆心O在射线AB上时,⊙O的半径为
    (2)分别求出AP=4与AP=12时,圆心O到直线AB的距离;
    (3)直接写出当⊙O与线段AQ只有一个公共点时,AP的取值范围.
    【答案】(1)8,3
    (2)当AP=4时,圆心O到直线AB的距离为12;当AP=12时,圆心O到AB距离为92
    (3)AP≥12
    【分析】(1)当PQ⊥AB时,PQ最小,由tan∠BAC=PQAP=43,设PQ=4k,AP=3k,利用勾股定理求出k=2,可得PQ=4k=8,AP=3k=6,再根据圆心O在射线AB上时,AP是⊙O的直径可得答案;
    (2)当AP=4时,连接PO,作OT⊥AB于T,作QR⊥AB于R,可证得△POT∽△QPR,从而有OTPR=PTQR,即可求出OT=12;当AP=12时,作QR⊥AP于R,连接OP,可证得△QPR∽△POR,从而有PRQR=ORPR,即可求出OR;
    (3)当AP=12时,证明AQ是⊙O的切线,可得此时是⊙O与线段AQ有一个公共点的临界情况,然后可得答案.
    【详解】(1)解:如图1,
    当PQ⊥AB时,PQ最小,
    ∴tan∠BAC=PQAP=43,
    设PQ=4k,AP=3k,
    ∴4k2+3k2=102,
    ∴k=2(舍去负值),
    ∴PQ=4k=8,AP=3k=6,即PQ的最小值是8,
    ∵当圆心O在射线AB上时,AP是⊙O的直径,如图1,
    ∴⊙O的半径为12AP=3,
    故答案为:8,3;
    (2)当AP=4时,连接PO,作OT⊥AB于T,作QR⊥AB于R,如图2,
    ∴AT=PT=12AP=2,∠OTP=∠PRQ=90°,
    ∴∠TOP+∠OPT=90°,
    ∵PQ是⊙O的切线,
    ∴OP⊥PQ,
    ∴∠OPQ=90°,
    ∴∠OPT+∠RPQ=90°,
    ∴∠TOP=∠RPQ,
    ∴△POT∽△QPR,
    ∴OTPR=PTQR,即OT6−4=28,
    ∴OT=12,
    ∴圆心O到直线AB的距离为12;
    当AP=12时,作QR⊥AP于R,连接OP,如图3,
    ∵AR=PR=12AP=6,
    ∴QR经过圆心O,
    ∵PQ是⊙O的切线,
    ∴∠OPQ=90°,
    ∴∠QPR+∠OPR=90°,∠O+∠OPR=90°,
    ∴∠QPR=∠O,
    ∵∠QRP=∠PRO=90°,
    ∴△QPR∽△POR,
    ∴PRQR=ORPR,即68=OR6,
    ∴OR=92,
    ∴圆心O到AB距离为92;
    (3)当AP=12时,连接OA,如图4,
    由(2)知:OQ⊥AP,
    ∵OA=OP,
    ∴∠AOQ=∠POQ,
    又∵OQ=OQ,
    ∴△AOQ≌△POQSAS,
    ∴∠OAQ=∠OPQ=90°
    ∴AQ是⊙O的切线,此时⊙O与线段AQ恰有一个公共点,
    ∴当⊙O与线段AQ只有一个公共点时,AP≥12.
    【点睛】本题考查了切线的判定和性质,垂径定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义,勾股定理等知识,解决问题的关键是熟练运用相似三角形解决问题.
    25.(2024上·安徽六安·八年级统考期末)定义:对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d,我们称函数y=max+b+ncx+dma+nc≠0为函数y1、y2的“组合函数”.
    (1)若函数y=5x+2为函数y1=x+1、y2=2x−1的“组合函数”,求m,n的值;
    (2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P.
    ①若p≠1,函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P,求m+n的值;
    ②若m+n>1,点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方,求p的取值范围.
    【答案】(1)m=3,n=1;(2)①m+n=1;②p<1
    【分析】(1)根据定义,构造“组合函数”,利用恒等式性质,构造方程组求解即可.
    (2)①先利用解析式联立构成方程组,求得交点坐标,确定组合函数,把坐标代入组合函数,解答即可.
    ②根据交点的坐标为2p+1,p−1,确定组合函数为y=m−nx+3pn−mp−2m,当x=2p+1时,函数值为m−n2p+1+3pn−mp−2m,结合点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方,得到p−1>m−n2p+1+3pn−mp−2m,解答即可.
    【详解】(1)由题意可知:mx+1+n2x−1=5x+2,
    整理得:m+2nx+m−n=5x+2,
    ∴m+2n=5m−n=2,
    解得:m=3n=1,
    故:m=3,n=1.
    (2)解方程组:y=x−p−2y=−x+3p,
    解得:x=2p+1y=p−1,
    ∵函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P,
    ∴P点坐标为2p+1,p−1
    ∵函数y1,y2的“组合函数”为:y=mx−p−2+n−x+3p,
    化简得:y=m−nx+3pn−mp−2m,
    ①∵点P在函数y1,y2的“组合函数”图像上,
    将点P坐标代入“组合函数”得:p−1=m−n2p+1+3pn−mp−2m
    整理得:p−1=m+np−1,
    ∵p≠1,
    ∴m+n=1.
    ②∵组合函数为y=m−nx+3pn−mp−2m,
    ∴当x=2p+1时,函数值为m−n2p+1+3pn−mp−2m,
    ∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方,
    ∴p−1>m−n2p+1+3pn−mp−2m,
    整理得:p−1>m+np−1.
    ∵m+n>1
    ∴p−1<0即p<1
    ∴p的取值范围是p<1.
    【点睛】本题考查了一次函数的新定义,恒等式性质,方程组,根据纵坐标的大小判断位置的上下,解不等式.正确理解定义,准确构造方程组,并解方程组是解题的关键.
    26.(2024上·山西长治·九年级校联考期末)综合与实践
    问题情境:如图1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=10.将矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转角度α0°<α<90°得到矩形A'B'C'D'(点A,B,C,D的对应点分别是点A',B',C',D').
    操作发现:
    (1)连接AA',AD',DD',A'D,则四边形AA'DD'的形状是______;
    问题探究:
    (2)如图2,连接AA',CC',试判断AA'与CC'的数量关系,并说明理由;
    拓展延伸:
    (3)如图3,A'B'与BC交于点F,连接BD,当点A'落在线段BD上时.
    ①求A'B的长度;
    ②直接写出A'F的长度.
    【答案】(1)矩形;(2)CC'=2AA',理由详见解析;(3)①5;②53.
    【分析】(1)根据旋转的性质得出AD=A'D',根据中点的定义即可得出点E平分AD和A'D',即可得出结论四边形AA'DD'是矩形;
    (2)连接CE,C'E,易得AE=DE=5,勾股定理可得CE=CD2+DE2=52,根据旋转的性质得出∠AEA'=∠CEC'=α,AE=A'E,CE=C'E,推出△AEA'∽△CEC',即可求解;
    (3)①连接AA',根据勾股定理可得BD=AD2+AB2=55,通过证明△ADB∽△A'BA,得出ABBD=A'BAB,即可求解;②过点A'作AB的平行线,交AD,BC于点M和点N,先证明△BA'N∽△BCD,求出A'N=1,BN'=2,易得四边形ABNM为矩形,则AM=BN=2,MN=AB=5,A'M=MN−A'N=4,ME=AE−AM=3,根据勾股定理可得A'E=ME2+A'M2=5,最后证明△A'EM∽△FA'N即可求解.
    【详解】(1)解:∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D',
    ∴AD=A'D',点E平分AD和A'D',
    ∴四边形AA'DD'是矩形,
    故答案为:矩形;
    (2)解:CC'=2AA',理由如下:
    连接CE,C'E,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠D=90°,CD=AB=5,
    ∵点E是AD中点,AD=10,
    ∴AE=DE=5,
    在Rt△CDE中,勾股定理可得:CE=CD2+DE2=52,
    ∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D',
    ∴∠AEA'=∠CEC'=α,AE=A'E,CE=C'E,
    ∴AECE=A'EC'E,
    ∴△AEA'∽△CEC',
    ∴AA'CC'=AECE=552=22,
    ∴CC'=2AA';
    (3)①连接AA',
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠BAD=90°,
    在Rt△ABD中,根据勾股定理可得:BD=AD2+AB2=55,
    由(1)可得,四边形AA'DD'是矩形,
    ∴∠AA'D=90°,则∠AA'B=90°,
    ∵∠AA'B=∠DAB=90°,∠ABA'=∠DBA,
    ∴△ADB∽△A'BA,
    ∴ABBD=A'BAB,即555=A'B5,
    解得:A'B=5;
    ②解:过点A'作AB的平行线,交AD,BC于点M和点N,
    ∵四边形ABCD为矩形,
    ∴∠A=∠ABC=90°,
    ∵∠A'NF=∠C=90°,
    ∴A'N∥CD,
    ∴△BA'N∽△BCD,
    ∴BA'BD=A'NDC=BNBC,即555=AN5=BN10,
    ∴A'N=1,BN'=2,
    ∵MN∥AB,
    ∴∠A'ME=∠A'NF=90°,
    ∵∠A=∠ABC=∠BNM=90°,
    ∴四边形ABNM为矩形,
    ∴AM=BN=2,MN=AB=5,
    ∴A'M=MN−A'N=4,
    ∵点E为AD中点,
    ∴AE=12AD=5,
    ∴ME=AE−AM=3,
    根据勾股定理可得:A'E=ME2+A'M2=5,
    ∵∠B'A'D'=90°,
    ∴∠MA'E+∠NA'F=90°,
    ∵∠MA'E+∠A'EM=90°,
    ∴∠NA'F=∠A'EM,
    ∴△A'EM∽△FA'N,
    ∴A'FA'E=MEA'N,即A'F5=13,
    解得:A'F=53.
    【点睛】本题考查了矩形的性质,旋转的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,正确画出辅助线,构造全等三角形,以及熟练掌握相关性质定理,是解题的关键.
    成绩x/分
    50≤x<60
    60≤x<70
    70≤x<80
    80≤x<90
    90≤x<100
    频数
    3
    4
    16
    7
    20
    飞行时间ts
    0
    2
    4
    6
    8

    飞行水平距离xm
    0
    10
    20
    30
    40

    飞行高度ym
    0
    22
    40
    54
    64

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