中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 旋转（教师版）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 旋转（教师版），共13页。试卷主要包含了旋转，旋转对称中心，旋转的性质，中心对称图形与中心对称，中心对称图形的判定，中心对称的性质，下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角大于0°，小于360°）。
3.旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.中心对称图形与中心对称
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
5.中心对称图形的判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
6.中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习的兴趣。
1．中心对称和中心对称图形的区别
区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上。
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。
2.坐标系中对称点的特征
（1）关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）
（2）关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）
（3）关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）
3.旋转变换的应用总结
（1）求角度；
（2）求弧度；
（3）求面积；
（4）证明线段相等；
（5）证明角相等；
（6）证明位置关系；
（7）综合应用。
解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。
《旋转》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.下面四组图形中成中心对称的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，已知▱ABCD的两条对角线AC与BD相交于平面直角坐标系的原点O，点D的坐标为(－4，2)，则点B的坐标为( )
A.(－4，2) B.(－2，－4) C.(4，－2) D.(2，－4)
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，则∠DAC的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
6.如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是( )
A.∠BDO＝60° B.∠BOC＝25° C.OC＝4 D.BD＝4
7.下列说法中，正确的有( )
①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在旋转过程中，对应线段一定不平行；
③△ABC在旋转过程中，周长和面积均不变；
④任何图形在旋转过程中，形状一定不变.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为( )
A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠COF
9.下列四个图形中，图中的一个矩形是由另一个矩形按顺时针方向旋转90°后所形成的 是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
10.已知点P(a﹣3，2﹣a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
11.如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为(1，0)，AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为( )
A.(﹣4，﹣2﹣eq \r(3)) B.(﹣4，﹣2+eq \r(3))
C.(﹣2，﹣2+eq \r(3)) D.(﹣2，﹣2﹣eq \r(3))
12.如图①是3×3的正方形网格，若将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
二、填空题（每空3分，共18分）
13.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 .(填序号)
14.如图，在4×4的正方形网格中，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是 .
15.如图，边长为6的正方形ABCD和边长为8的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的对称中心，则△O1BO2的面积为 ．
16.在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(0，1)，C(3，1).若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 .
17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE(其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处)，连接BD，则四边形AEDB的面积为 .
18.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于 .
三、解答题（7个小题，共60分）
19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)，请解答下列问题：
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出点A3的坐标.
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE.
(1)求证：四边形ABEF是平行四边形；
(2)当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由.
21.四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝12，DE＝5，求△AEF的面积.
22.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离；
(2)求∠APB的大小．
23.如图，在ABCD中，AB＝1，BC＝，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F.
(1)证明：当旋转角为 时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
24.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝eq \r(7)．求∠CPA的度数．
25.请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝eq \r(3)，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图2)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为eq \r(7)，问题得到解决.
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝eq \r(5)，BP＝eq \r(2)，PC＝1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
答案
1.C.
2.C.
3.C.
4.C
5.B.
6.D.
7.C
8.D.
9.D
10.C.
11.D
12.C
13.答案为：②③.
14.答案为：3.
15.答案是：12．
16.答案为：(－5，－3).
17.答案为：eq \f(27,2).
18.答案为：50eq \r(3)＋72.
19.解：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，
如图所示，此时点A1的坐标为(﹣2，2).
(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，
如图所示，此时点A2的坐标为(4，0).
(3)画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，
如图所示，此时点A3的坐标为(﹣4，0).
20.证明：(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，
∴△ABC≌△EFC，
∴CA＝CE，CB＝CF，
∴四边形ABEF是平行四边形；
(2)当∠ABC＝60°时，四边形ABEF为矩形，
理由是：∵∠ABC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵CA＝CE，CB＝CF，
∴AE＝BF，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是矩形.
21.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
∵ ，
∴△ADE≌△ABF(SAS)；
(2)∵BC＝12，
∴AD＝12，
在Rt△ADE中，DE＝5，AD＝12，
∴AE＝＝13，(勾股定理)
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝eq \f(1,2)AE2＝eq \f(1,2)×169＝84.5.
22.解：(1)由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，
∴△P′AP是等边三角形，
∴PP′＝6；
(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，
∴P′B2＝P′P2＋PB2，
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°，
∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.
23.解：(1)结论：旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形.
理由：∵∠AOF＝90°，∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠AOF，∴AB∥EF，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EB，
∴四边形ABEF是平行四边形；
(2)当旋转角∠AOF＝45°时，四边形BEDF是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
在△DFO和△BEO中
∵，
∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OF＝OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AB＝1，BC＝，
∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC＝2，
∴AO＝1＝AB，∵∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝45°，
又∵∠AOF＝45°，
∴∠BOF＝90°，
∴BD⊥EF，
∴四边形BEDF是菱形，
即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°.
24.解：将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC的位置，连结PQ，则易得△APQ为等腰直角三角形，且△AQC≌△APB，
∴QA＝PA＝1，QC＝PB＝3．
∵△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ2＝PA2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°．
在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝QC2，
∴∠QPC＝90°，
∴∠CPA＝∠QPC＋∠APQ＝135°．
25.解：(1)如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A.
∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝eq \r(2)；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP＝BP′＝eq \r(2)，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°；
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP＝eq \r(5)，
∵AP′2＋PP′2＝AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°.
(2)过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°，
∴EP′＝BE＝1，
∴AE＝2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝eq \r(5)；
∴∠BPC＝135°，正方形边长为eq \r(5).