2023-2024学年山东省东营市广饶县丁庄中心中学八年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省东营市广饶县丁庄中心中学八年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列变形是因式分解的是( )
A. 6x2y2=3xy⋅2xyB. a2−4ab+4b2=(a−2b)2
C. (x+2)(x+1)=x2+3x+2D. x2−9−6x=(x+3)(x−3)−6x
2.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是( )
A. a2b2−1B. 4−0.25a2C. −a2−b2D. −x2+1
3.如果把分式2xx−y中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 扩大2倍B. 扩大4倍C. 扩大6倍D. 不变
4.下列式子：(1)x−yx2−y2=1x−y；(2)b−ac−a=a−ba−c；(3)|b−a|a−b=−1；(4)−x+y−x−y=x−yx+y，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.能使分式x2−xx2−1的值为零的所有x的值是( )
A. x=0B. x=1C. x=0或x=1D. x=0或x=±1
6.从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. a2−b2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2+ab=a(a+b)
7.一个三角形的三边长a，b，c满足(a2−c2)+b2(a2−c2)=0，则这个三角形的形状一定是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.已知1x−1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是( )
A. −72B. −112C. 92D. 34
9.同号两实数a，b满足a2+b2=4−2ab，若a−b为整数，则ab的值为( )
A. 1或34B. 1或54C. 2或32D. 2或52
10.如果a，b，c是三角形的三边并且满足：a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0，则三角形的面积是( )
A. 24B. 48C. 12D. 6
二、填空题：本题共7小题，共19分。
11.要使x+22x−3÷x+45−x有意义的x的取值是______．
12.分解因式：−2x2y+16xy−32y=______．
13.分式3x2−2x+1、−2x2−1、1x2+2x+1的最简公分母是______．
14.已知2a2−7=2a，则代数式(a−2a−1a)÷a−1a2的值为______．
15.分解因式：2022x2−4044x+2022=______．
16.已知ab=1，b=2a−1，则1a−2b的值为______．
17.已知a2−3a+1=0，则代数式a2+1a2的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题2分)
给定下面一列分式：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…(其中x≠0)
根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式．
19.(本小题15分)
因式分解：
(1)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；
(2)x2−3x+2；
(3)2x(a−4)−(4−a)；
(4)2a2−8b2；
(5)(a−b)(3a+b)2+(a+3b)2(b−a)．
20.(本小题9分)
先分解因式，再求值：
(1)25x(0.4−y)2−10y(y−0.4)2，其中x=0.04，y=2.4．
(2)已知a+b=2，ab=2，求12a3b+a2b2+12ab3的值．
(3)利用简便方法计算：5032+1006×502+5022−10062．
21.(本小题8分)
化简
(1)−32(−n2m)2÷(−nm2)4×(−n2m2)3
(2)a+1a2+2a÷(a−2+3a+2)．
22.(本小题10分)
(1)先化简再求值：[23x2−2x2+y2(x2+y23x2−x2−y2)]÷x2−y2x2，其中x=2，y=−12．
(2)先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1+4a−2−a，并从−1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
23.(本小题10分)
有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合(或把某项适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y)，根据上面的方法因式分解：
(1)2ax+3bx+4ay+6by；
(2)m3−mn2−m2n+n3；
(3)已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，判断△ABC的形状并说明理由．
24.(本小题7分)
教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x−3．
解：原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
再如：求代数式2x2+4x−6的最小值．
解：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8.可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−4x−5=______.(直接写出结果)
(2)当x为何值时，多项式−2x2−4x+3有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式a2+2b2−2ab−2b+1=0中a，b的值．
25.(本小题10分)
附件题：甲乙两人去超市都买了两次大米，第一次大米单价为a元/千克，第二次大米单价为b元/千克.甲每次买100千克大米，乙每次买100元的大米.(a不等于b)那么甲乙两人谁的购买方式更优惠？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：C和D不是积的形式，应排除；
A中，不是对多项式的变形，应排除．
故选B．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)，分别判断得出即可．
【解答】
解：A、a2b2−1=(ab+1)(ab−1)，可以用平方差公式分解因式，排除A；
B、4−0.25a2=(2−0.5a)(2+0.5a)，可以用平方差公式分解因式，排除B；
C、不能用平方差公式分解因式，故选C；
D、−x2+1=(1+x)(1−x)，可以用平方差公式分解因式，排除D；
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：
2⋅2x2x−2y=4x2x−2y=2xx−y，
∴如果把分式2xx−y中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值不变，
故选：D．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分式的基本性质.在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．根据分式的基本性质作答．
【解答】
解：(1)x−yx2−y2=x−y(x+y)(x−y)=1x+y，错误；
(2)b−ac−a=a−ba−c，正确；
(3)∵b与a的大小关系不确定，∴|b−a|a−b的值不确定，错误；
(4)−x+y−x−y=x−yx+y，正确．
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：∵x2−xx2−1=0，
∴x2−x=0，即x(x−1)=0，
∴x=0或x=1，
又∵x2−1≠0，
∴x≠±1，综上得，x=0．
故选：A．
分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．
6.【答案】A
【解析】解：∵大正方形的面积−小正方形的面积=a2−b2，
矩形的面积=(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
由大正方形的面积−小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵(a2−c2)+b2(a2−c2)=(a+c)(a−c)(1+b2)=0，
∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a+c≠0，1+b2≠0，
∴a=c，
故选：A．
先把等式的左边分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0求解．
本题考查了因式分解的应用，正确的分解因式是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分式的加减及分式的值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．由1x−1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．
【解答】
解：∵1x−1y=3，
∴y−xxy=3，
∴x−y=−3xy，
则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy
=−6xy+3xy−3xy−xy
=−3xy−4xy
=34，
故选D．
9.【答案】A
【解析】解：∵a2+b2=4−2ab，
∴(a+b)2=4，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=4−4ab≥0，
∴ab≤1，
∵ab>0，
∴0∴0≤4−4ab<4．
∵a−b为整数，
∴4−4ab为平方数．
∴4−4ab=1或0，
解得ab=34或1；
故选：A．
先将a2+b2=4−2ab变形为(a+b)2=4，然后把a−b用含a+b的式子表示出来，再根据a−b为整数进行讨论后得出ab的值．
本题考查了完全平方式的应用，灵活运用完全平方和公式与完全平方差公式的互换是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a2+b2+c2−6a−8b−10c+100=0，
∴a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0．
∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0．
∴a−3=0，b−4=0，c−5=0．
∴a=3，b=4，c=5．
∴a2+b2=c2．
∴三角形是直角三角形，两直角边为a，b．
∴三角形的面积=12ab=12×3×4=6．
故选：D．
依据题意，由a2+b2+c2−6a−8b−10c+100=0，变形为a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，从而(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，进而可以求出a，b，c，由结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，从而可以得解．
本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
11.【答案】x≠32，x≠5，x≠−4
【解析】解：依题意得：2x−3≠0且x+4≠0且5−x≠0，
解得x≠32，x≠5，x≠−4．
故答案是：x≠32，x≠5，x≠−4．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12.【答案】−2y(x−4)2
【解析】解：原式=−2y(x2−8x+16)
=−2y(x−4)2
故答案为：−2y(x−4)2
根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
13.【答案】(x−1)2(x+1)2
【解析】【分析】
此题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
先把各分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法求出最简公分母即可．
【解答】
解：∵3x2−2x+1=1(x−1)2，−2x2−1=−2(x+1)(x−1)，1x2+2x+1=1(x+1)2，
∴最简公分母是(x−1)2(x+1)2；
故答案为：(x−1)2(x+1)2．
14.【答案】72
【解析】解：原式=(a2a−2a−1a)·a2a−1
=(a−1)2a·a2a−1
=a(a−1)
=a2−a，
∵2a2−7=2a，
∴2a2−2a=7，
∴a2−a=72，
∴代数式的值为72，
故答案为：72．
先将代数式化简为a2−a，再由2a2−7=2a可得a2−a=72，即可求解．
本题考查代数式求值，解题的关键是正确化简代数式，利用题干条件进行解答．
15.【答案】2022(x−1)2
【解析】解：原式=2022(x2−2x+1)
=2022(x−1)2．
故答案为：2022(x−1)2．
原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
16.【答案】−1
【解析】解：∵b=2a−1，ab=1，
∴b−2a=−1，
∴1a−2b
=b−2aab
=−11
=−1，
故答案为：−1．
根据b=2a−1，可以得到b−2a=−1，然后将所求式子通分，再将ab=1和b−2a=−1代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式通分的方法．
17.【答案】7
【解析】解：∵a2−3a+1=0，
∴a2+1=3a，
∵a≠0，
∴a+1a=3，
∴(a+1a)2=32，
∴a2+2+1a2=9，
∴a2+1a2=7，
故答案为：7．
根据等式的性质把原式变形，根据完全平方公式计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
18.【答案】解：根据前4个分式可得规律为：分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号，
所以第n个分式为：(−1)n+1×x2n+1yn．
【解析】分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号．
此题主要考查了分式的定义以及数字变化规律，得出分子与分母的变化规律是解题关键．
19.【答案】解：(1)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4；
(2)x2−3x+2
=(x−1)(x−2)；
(3)2x(a−4)−(4−a)
=2x(a−4)+(a−4)
=(a−4)(2x+1)；
(4)2a2−8b2；
=2(a2−4b2)
=2(a+2b)(a−2b)；
(5)(a−b)(3a+b)2+(a+3b)2(b−a)
=(a−b)(3a+b)2−(a+3b)2(a−b)
=(a−b)[(3a+b)2−(a+3b)2]
=(a−b)(3a+b+a+3b)(a+3b−a−3b)
=(a−b)(4a+4b)(2a−2b)
=8(a−b)2(a+b)．
【解析】(1)把x2+2x看作一个整体，两次利用完全平方公式即可；
(2)利用十字相乘法分解即可；
(3)利用提取公因式即可；
(4)先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
(5)先提取公因式，再用平方差公式，最后再提取公因式即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=5(0.4−y)2(5x−2y)
当x=0.04，y=2.4时，
原式=5×(0.4−2.4)2(5×0.04−2×2.4)
=5×4×(−4.6)
=−92；
(2)原式=12ab(a2+2ab+b2)=12ab(a+b)2
当a+b=2，ab=2时，
原式=4．
(3)5032+1006×502+5022−10062．
=(503+502)2−10062
=10052−10062
=(1005+1006)(1005−1006)
=−2011．
【解析】(1)利用提取公因式法因式分解，再进一步代入求得数值即可；
(2)首先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，最后代入求得数值即可．
(3)利用完全平方公式解答即可．
此题考查因式分解的运用，掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)原式=−32⋅n4m2÷n4m8×(−n6m6)
=−3n42m2×m8n4×(−n6m6)
=−3m62×(−n6m6)
=3n62；
(2)原式=a+1a(a+2)÷a2−4+3a+2
=a+1a(a+2)÷(a+1)(a−1)a+2
=a+1a(a+2)⋅a+2(a+1)(a−1)
=1a(a−1)．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除即可；
(2)先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)[23x2−2x2+y2⋅x2+y23x2+2x2+y2⋅(x2+y2)]⋅x2x2−y2
=(23x2−23x2+2)⋅x2x2−y2
=2x2x2−y2，
当x=2，y=−12时，原式=2×2222−(−12)2=84−14=3215；
(2)原式=(3a+1−a2−1a+1)⋅a+1(a−2)2+4a−2−a
=(2+a)(2−a)a+1⋅a+1(a−2)2+4a−2−a
=2+a2−a−42−a−a
=a−22−a−a
=−1−a，
由题意得：a≠−1和2，
当a=0时，原式=−1−0=−1．
【解析】(1)根据分式的减法法则、乘除法法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可；
(2)根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
23.【答案】解：(1)原式=(2ax+3bx)+(4ay+6by)
=x(2a+3b)+2y(2a+3b)
=(x+2y)(2a+3b)．
(2)原式=(m3−m2n)+(mn2−n3)
=m2(m−n)+n2(m−n)
=(m−n)(m2+n2).
(3)等腰三角形．
∵a2−ab+c2=2ac−bc
∴(a−c)(a−c−b)=0
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a−b−c<0，
∴a−c=0，
∴a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)将含x的分为一组，含y的分为一组，接下来再提取公因式即可解答；
(2)首先将待求式分组得到原式=(m3−m2n)+(mn2−n3)，再提取公因式即可解答．
(3)由a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ab+c2=2ac−bc，化简得到三边的关系，从而判断三角形的形状．
本题考查的是因式分解，正确进行分组是解答本题关键．
24.【答案】(x+1)(x−5)
【解析】解：(1)x2−4x−5=x2−4x+4−9=(x−2)2−32=(x−2+3)(x−2−3)=(x+1)(x−5)．
故答案为：(x+1)(x−5)；
(2)∵−2x2−4x+3=−2(x2+2x)+3=−2(x2+2x+1−1)+3=−2(x+1)2+5，
∴当x=−1时，多项式−2x−4x+3有最大值，最大值是5；
(3)∵a2+2b2−2ab−2b+1=0，
∴a2−2ab+b2+b2−2b+1=0，
∴(a2−2ab+b2)+(b2−2b+1)=0，
∴(a−b)2+(b−1)2=0，∴a−b=0，b−1=0，
解得a=1，b=1．
(1)直接利用配方法即可；
(2)利用配方法得到一个完全平方式加一个常数，令完全平方式部分为0即可．
(3)先分组然后配方，然后计算即可．
本题考查因式分解的运用和非负数的性质，能够灵活运用完全平方式是解答本题的关键．
25.【答案】解：甲购买的单价为100a+100b200=a+b2；乙两次购买的单价为200100a+100b=2aba+b，
∴a+b2−2aba+b=(a+b)2−4ab2(a+b)=(a−b)22(a+b)>0，
所以，乙买的更优惠．
答：甲乙两人乙的购买方式更优惠．
【解析】分别求出甲乙两次买大米的价格，再利用做差法进行比较即可．
本题考查了列代数式，分式的化简是关键．