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2024长沙宁乡高一上学期期末数学试题含解析
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这是一份2024长沙宁乡高一上学期期末数学试题含解析，文件包含湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题原卷版docx、湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
（考试时量：120分钟 满分150分）
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求交集可得答案.
【详解】.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
3. 已知函数分别由下表给出：则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1和2
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得.
【详解】由表可知：，则.
故选：C.
4. 已知a，b，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误.
【详解】A：时不成立；
B、C：时、不成立；
D：，即成立.
故选：D
5. 设偶函数在区间上单调递增， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
又在区间上单调递增，，所以，
则.
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像直接得到，由周期求，根据时，有最大值，求出.
【详解】由函数的图象得，，即，则，
∴.
∵，则.则，得.∵，
∴当时，，则函数.
故选:D.
【点睛】求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
7. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】寻找中间量0，1，结合指数函数和三角函数和对数函数的性质可得结果.
【详解】因为所以，，
故
故选：D.
8. 已知函数，若，则函数的零点个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】令，即，即将函数的零点个数问题转化为对应方程的根的个数问题.
详解】令，得，
即或
当时，由或，
得或；
当时，由或，
得或；
则函数的零点个数是4个.
故选:D.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列哪些函数是幂函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解.
【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.
故选：BD.
10. 下列各式中值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于A项，，故A项符合；
对于B项，,故B项符合；
对于C项，，故C项不符合；
对于D项，，故D项符合.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意首先得分别是奇函数，偶函数，进一步根据函数奇偶性的定义逐一判断每一选项即可求解.
【详解】由题意函数的定义域都是关于原点对称，
且，所以分别是奇函数，偶函数，
对于A，定义域为关于原点对称，
且，所以是奇函数，故A正确；
对于B，若有意义，则，解得，即函数定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，故B错误；
对于C，定义域为关于原点对称，
且，所以是奇函数，故C错误；
对于D，定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，故D正确.
故选：AD.
12. 关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A. 其图像关于直线对称
B. 其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到
C. 其图像关于点对称
D. 其值域是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；
对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
可得，故B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于点对称，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数是奇函数,则实数的值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.
【详解】的定义域为，
且是奇函数，
，
，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
14. 若，则“”是“”的______条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】由指数函数单调性得，由此即可判断.
【详解】由题意，而是的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案：充分不必要.
15. 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先函数分离常数，根据分数函数的单调性，即可求得实数a的取值范围.
【详解】，
因为函数在区间上为增函数，所以，
解得：.
故答案为：
16. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.
【详解】由题意知；
当时，，
故需同时满足以下两点：
①对时，
∴恒成立，
由于当时，为增函数，
∴；
②对时，，
∴恒成立，
由于，当且仅当，即时取得等号，
∴，
∴，
故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果；
（2）由题意，列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由题设，，，
所以.
【小问2详解】
由题意，则，可得
18. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得；
（2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由的范围求的范围，再运用对数函数单调性求的范围，最后即得函数值域.
【小问1详解】
由可知，即得：，
由得：，即，
因在定义域内是增函数，故得，即，
又因，故的取值范围.
【小问2详解】
由可得，
因在定义域内是增函数，则，故得：，
即函数的值域为.
19. 已知函数.
（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】（1）令，作差通过运算判断符号得出结论；
（2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即
根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）函数在上单调递增.
证明如下：
令，
.
因为，所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20. （1）已知，求值：；
（2）化简：
【答案】（1）18（2）1
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简求值即可.
（2）由两角差的正切公式、二倍角公式以及平方关系、商数关系化简求值即可.
【详解】（1）由题意，
原式
.
（2）原式
.
21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
【答案】（1），，
（2）当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元
【解析】
【分析】(1)根据题意得，代入化简即可；
(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意得
，
即，，.
【小问2详解】
由，得，
因，当且仅当时取等号，所以.
故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），．（2）
【解析】
【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.
（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】（1）
由 （）
解得 （）．
所以所求函数的单调减区间是 ，．
（2）当时，，，
即．
令 （），则关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解．
当时，．
所以，则．
因此所求实数取值范围是 ．1
2
3
1
3
1
3
2
1
（考试时量：120分钟 满分150分）
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求交集可得答案.
【详解】.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
3. 已知函数分别由下表给出：则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1和2
【答案】C
【解析】
【分析】根据表中自变量与函数值的对应关系，先求得，再求即得.
【详解】由表可知：，则.
故选：C.
4. 已知a，b，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质，应用特殊值法判断各项正误.
【详解】A：时不成立；
B、C：时、不成立；
D：，即成立.
故选：D
5. 设偶函数在区间上单调递增， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
又在区间上单调递增，，所以，
则.
故选：B
6. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像直接得到，由周期求，根据时，有最大值，求出.
【详解】由函数的图象得，，即，则，
∴.
∵，则.则，得.∵，
∴当时，，则函数.
故选:D.
【点睛】求三角函数解析式的方法：
(1)求A通常用最大值或最小值；
(2)求ω通常用周期；
(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
7. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】寻找中间量0，1，结合指数函数和三角函数和对数函数的性质可得结果.
【详解】因为所以，，
故
故选：D.
8. 已知函数，若，则函数的零点个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】令，即，即将函数的零点个数问题转化为对应方程的根的个数问题.
详解】令，得，
即或
当时，由或，
得或；
当时，由或，
得或；
则函数的零点个数是4个.
故选:D.
二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列哪些函数是幂函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解.
【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.
故选：BD.
10. 下列各式中值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.
【详解】对于A项，，故A项符合；
对于B项，,故B项符合；
对于C项，，故C项不符合；
对于D项，，故D项符合.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意首先得分别是奇函数，偶函数，进一步根据函数奇偶性的定义逐一判断每一选项即可求解.
【详解】由题意函数的定义域都是关于原点对称，
且，所以分别是奇函数，偶函数，
对于A，定义域为关于原点对称，
且，所以是奇函数，故A正确；
对于B，若有意义，则，解得，即函数定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，故B错误；
对于C，定义域为关于原点对称，
且，所以是奇函数，故C错误；
对于D，定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，故D正确.
故选：AD.
12. 关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A. 其图像关于直线对称
B. 其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到
C. 其图像关于点对称
D. 其值域是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；
对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
可得，故B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于点对称，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数是奇函数,则实数的值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.
【详解】的定义域为，
且是奇函数，
，
，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
14. 若，则“”是“”的______条件．（请用“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”回答）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】由指数函数单调性得，由此即可判断.
【详解】由题意，而是的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案：充分不必要.
15. 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先函数分离常数，根据分数函数的单调性，即可求得实数a的取值范围.
【详解】，
因为函数在区间上为增函数，所以，
解得：.
故答案为：
16. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.
【详解】由题意知；
当时，，
故需同时满足以下两点：
①对时，
∴恒成立，
由于当时，为增函数，
∴；
②对时，，
∴恒成立，
由于，当且仅当，即时取得等号，
∴，
∴，
故答案为：
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果；
（2）由题意，列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由题设，，，
所以.
【小问2详解】
由题意，则，可得
18. 已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先考虑函数定义域，再运用对数函数单调性求解不等式即得；
（2）根据求函数值域的从内到外的原则，先由的范围求的范围，再运用对数函数单调性求的范围，最后即得函数值域.
【小问1详解】
由可知，即得：，
由得：，即，
因在定义域内是增函数，故得，即，
又因，故的取值范围.
【小问2详解】
由可得，
因在定义域内是增函数，则，故得：，
即函数的值域为.
19. 已知函数.
（1）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2.
【解析】
【分析】（1）令，作差通过运算判断符号得出结论；
（2）由（1）知函数在上单调递增，最大值为即
根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）函数在上单调递增.
证明如下：
令，
.
因为，所以，，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上的最大值为，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20. （1）已知，求值：；
（2）化简：
【答案】（1）18（2）1
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简求值即可.
（2）由两角差的正切公式、二倍角公式以及平方关系、商数关系化简求值即可.
【详解】（1）由题意，
原式
.
（2）原式
.
21. 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
【答案】（1），，
（2）当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元
【解析】
【分析】(1)根据题意得，代入化简即可；
(2)根据题意，代入，再结合均值不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意得
，
即，，.
【小问2详解】
由，得，
因，当且仅当时取等号，所以.
故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），．（2）
【解析】
【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简表达式，根据三角函数单调区间的求法，求得函数的单调减区间.
（2）首先求得当时的值域.利用换元法令，将转化为，根据的范围，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】（1）
由 （）
解得 （）．
所以所求函数的单调减区间是 ，．
（2）当时，，，
即．
令 （），则关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解．
当时，．
所以，则．
因此所求实数取值范围是 ．1
2
3
1
3
1
3
2
1
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