2023长沙宁乡高一上学期期末考试数学试题含解析

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1. 已知集合，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解方程可求得集合，由元素和集合关系可确定结果.
【详解】由得：或，，则，，.
故选：B.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
3. 已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（ ）．
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.
【详解】是幂函数，所以，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
综上所述，的值为，D选项正确.
故选：D
4. 若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A. (－∞，1]B. (－∞，1)
C. (3，＋∞)D. [3，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】成立的充分条件是，则，
，所以.
故选：D
5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.

6. 下列不等式中正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式及取特殊值逐项分析即可.
【详解】由，
当且仅当时取等号，故A正确，
，
当且仅当无解，故取不到最小值2，
故选项B错误；
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
当且仅当时取等号，故C不正确；
取时，不成立，故D不正确.
故选：A.
7. 若＝2，则tan＝（ ）
A. －B.
C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦倍角公式和同角三角函数关系，根据已知求得，再结合正切的和角公式和倍角公式，即可求得结果.
【详解】因，
所以＝2，
即，所以tan α＝，
所以tan 2α＝，
所以tan＝＝－，
故选：.
【点睛】本题考查倍角公式、和角公式以及同角三角函数关系的应用，属综合基础题.
8. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为，最小值为
B. 的最大值为，无最小值
C. 的最大值为，无最小值
D. 的最大值为，最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值.
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出的图象（图中实线部分）
由图象可知，当时，取得最大值，
由得或（舍去），
此时函数有最大值，无最小值．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】把函数的零点问题转化为函数和的图象的交点问题，数形结合即可得解.
【详解】
如图，作出函数的图象，
观察交点可得交点在和区间上.
故选：BC.
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.
【详解】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；
B．因为，取等号时，故正确；
C．因为，取等号时，故错误；
D．因为，所以，取等号时，故正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，，当且仅当时取等号.
11. 关于函数，下列叙述正确的是（ ）
A. 其图像关于直线对称
B. 其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到
C. 其图像关于点对称
D. 其值域是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，
所以直线不是函数图象的对称轴，故A错误；
对于B，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，
可得，故B正确；
对于C，因为，
所以函数的图象关于点对称，故C错误；
对于D，因为，
所以，故D正确.
故选：BD.
12. 已知函数，若x1A. x1＋x2＝－1B. x3x4＝1
C. 1【答案】BCD
【解析】
【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项.
【详解】由函数解析式可得图象如下：
∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意先找到等价命题“,都有恒成立”,再求的最小值即可.
【详解】“,使得成立”是假命题等价于“,都有恒成立”是真命题．因为,即的最小值为1,要使“恒成立”,只需,即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.
14. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性及奇偶性可得，根据一元二次不等式的解法即可得解.
详解】解：由题意可得，
即，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
15. 已知角的终边上的一点，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的定义可得，原式可化简为可求解.
【详解】因为角的终边上的一点，所以，
所以.
故答案为：.
16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】
【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17. 求值：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）5．
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；
（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝.
【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 已知全集，集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，且集合与集合满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，按照补集，并集定义，即可求解；
（2），得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】（1）∵；∴；
∴；
（2）∵，∴；
∴，∴，
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合间的运算，以及由集合关系求参数，属于基础题.
19. 已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，k∈Z；
（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】（1）先通过降幂公式化简得，进而求出最小正周期和单调递增区间；
（2）通过，求出，进而求出最大值和最小值.
【小问1详解】
，
∴函数f（x）的最小正周期为，
令，k∈Z，则，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
【小问2详解】
∵，∴，
则，∴，
∴函数f（x）的最大值为，最小值为．
20. 已知函数.
（1）求函数在区间上的最值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；
（2）先利用三角函数平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得.
【小问1详解】
因为
，
又，所以，故，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
因为，，所以，
所以，，
所以
.
21. 已知函数为奇函数.
（1）求常数的值；
（2）若对任意都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数的定义由求解.
（2）设函数,利用反比例函数的性质求得其值域，再利用对数函数的性质求得的最大值，根据对任意都有成立，由求解
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，
所以，即，或，
当时，函数，无意义，舍去，
当时，函数，定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，
综上所述，.
（2）设函数，
因为函数，
所以函数在区间上单调递减，
所以，即，
因为对任意都有成立，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用，对数型函数值域的求法以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设．
（1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）要使矩形花坛AMPN扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？（精确到0.1米）
（3）当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出最小值．
【答案】（1）
（2）
（3），最小面积48平方米
【解析】
【分析】（1）利用得到，然后得到，解不等式即可；
（2）结合（1）得到扩建部分的面积，然后利用基本不等式得到面积最小时的长度；
（3）利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由题可知，所以，又，所以，，所以，，
，解得或，
由题意得，所以的长的范围为.
【小问2详解】
，当且仅当，即时等号成立，
所以当为6米时，用料最省.
【小问3详解】
，当且仅当，即时等号成立，
所以当为6米时，矩形花坛的面积最小，最小为48平方米.