第一章 空间向量与立体几何章末重点题型大总结（精讲）-2024-2025学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

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第一章 空间向量与立体几何 章末总结（精讲）目录第一部分：本章知识框架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：空间向量的概念及运算重点题型二：利用空间向量证明位置关系重点题型三：利用空间向量计算距离重点题型四：利用空间向量求空间角第一部分：本 章 知 识 框 架空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用空间向量的线性运算空间向量的基本定理两个向量的数量积空间向量的直角坐标运算共线向量定理共面向量定理空间向量分解定理平行与垂直的条件直线的方向向量与直线的向量方程平面的法向量与平面的向量表示直线与平面的夹角二面角及其度量距离第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：空间向量的概念及运算1．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（       ）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D2．在四面体中，，，，，，用向量，，表示，则等于（       ）A． B．C． D．3．如图，在三棱锥中，平面，，，点在三棱锥的表面上运动，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．4．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（       ）A． B． C． D．5．（多选）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（       ）A． B．C． D．6．已知，，若向量，则实数的取值范围为____．7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.（1）判断，，三个向量是否共面；（2）若三棱锥为棱长为2正四面体，求.重点题型二：利用空间向量证明位置关系1．在四棱锥中，，，，，M是AC的中点,若平面平面BCDE，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是（       ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．已知正方体是直线上一点，（       ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面3．如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（       ）A．时，平面平面B．时，平面平面C．面积最大时，D．面积最小时，4．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（       ）A． B．C．平面 D．平面5．如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.①与异面且垂直；②与相交且垂直；③平面；④，，，四点共面.6．在平行六面体中，面面，底面为矩形，，，面为菱形，，是的中点，为的中点，问_______时，面面．7．如图在平行六面体中，，.(1)求证：直线平面；8．如图，在长方体中，，，为中点，为中点.求证：平面；9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M，N分别为棱，的中点，为中点.求证：平面平面10．已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．证明：；重点题型三：利用空间向量计算距离1．如图所示，ABCD—EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线BC的距离为（       ）A． B． C． D．2．在三棱锥中，，，，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（       ）A． B． C． D．3．如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（       ）A．等于 B．和EF的长度有关C．等于 D．和点Q的位置有关4．如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为（       ）A． B．C． D．5．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（　　）A．1 B．C． D．6．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A． B．C． D．7．如图，已知四边形是边长为4的正方形，E，F分别是的中点， 垂直于正方形所在的平面，且，则点B到平面的距离为___________.8．如图，在长方体中，，，点在棱上移动．(1)证明：；(2)当为的中点时，求点到面的距离．重点题型四：利用空间向量求空间角角度1：异面直线所成角1．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．2．三棱锥中，，，则异面直线与所成的角可能是（       ）A．30° B．45° C．60° D．75°3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．4．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（     ）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则=_____________.8．如图，在长方体中，，，在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．角度2：线面角1．在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．2．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则直线与平面的夹角为（       ）A． B． C． D．3．如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（       ）A． B． C．2 D．4．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（       ）A． B． C． D．5．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.6．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB＝2，CF＝3．若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________．7．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．8．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，M是棱的中点，且．(1)求证：平面；(2)棱上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．9．在正四棱柱中，，E为的中点.（用向量的方法证明）(1)求证：平面.（用向量的方法证明）(2)若F为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求BF的长.10．三棱锥中，三角形为等腰直角三角形，，侧面为等边三角形，.(1)求证：；(2)若侧棱上有一动点，设，当为何值时，直线与平面所成的角最大？角度3：二面角1．已知是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则平面与平面所成的锐二面角为（       ）A．45° B．60° C．75° D．30°2．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体， ，点为的中点，则二面角的余弦值为（ ）A． B． C． D．3．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为A． B． C． D．4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=2BC=2，D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30°，则AD的长为____. 5．如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，若平面与平面所成的锐二面角的大小为，则线段的长度为__________．6．如图，平面平面是边长为4的正三角形，分别为的中点.(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的大小.7．如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长．8．如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且(1)证明：平面平面；(2)若点在棱上，且二面角的大小为，求的值.9．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，与交点为，且，．（1）证明：平面；（2）若且，，则在线段上是否存在一点﹐使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．10．如图①，在等腰梯形中，，.将沿折起，使得，如图②.（1）求证：平面平面.（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.