高考数学二轮专题回顾3 三角函数与解三角形

这是一份高考数学二轮专题回顾3 三角函数与解三角形，共5页。试卷主要包含了三角函数的图象与性质，解三角形，有关三角形的常见结论等内容，欢迎下载使用。
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝eq \r(x2＋y2)＞0，那么sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)，三角函数值只与角的终边位置有关，而与终边上点P的位置无关.
[检验1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cs α的值为________.
答案 －eq \f(1,5)
2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：
tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
[检验2] 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α))＝eq \f(1,5)，则sin α的值为( )
A.eq \f(1,5) B.－eq \f(1,5)
C.eq \f(2\r(6),5)或－eq \f(2\r(6),5) D.eq \f(2\r(6),5)
答案 C
3.三角函数的图象与性质
(1)五点法作图.
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；y＝cs x，x＝kπ，k∈Z；
对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cs x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z；y＝tan x，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.
(3)单调区间：
y＝sin x的增区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，
减区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)；
y＝cs x的增区间：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π＋2kπ，2kπ))(k∈Z)，减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tan x的增区间：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z).
(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cs x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数.
注意 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误：
(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；
(2)忘记写＋2kπ或＋kπ等，忘记写k∈Z；
(3)书写单调区间时，把弧度和角度混在一起，如[0，90°]应写为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))或[0°，90°].
[检验3] (1)把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，再将图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为
( )
A.x＝－eq \f(π,2) B.x＝－eq \f(π,4)
C.x＝eq \f(π,8) D.x＝eq \f(π,4)
(2)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))的递减区间是________.
答案 (1)A (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin βeq \(――→,\s\up7(令β＝α))sin 2α＝2sin αcs α.
cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin βeq \(――→,\s\up7(令β＝α))cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1
＝1－2sin2α.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
tan 2α＝eq \f(2tan α ,1－tan2α).
[检验4] (1)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcs(x＋φ)的最大值为________.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \f(3,5)，eq \f(17π,12)＜x＜eq \f(7π,4)，则eq \f(sin 2x＋2sin2 x,1－tan x)＝________.
答案 (1)1 (2)－eq \f(28,75)
5.在三角恒等变换中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；
α＋eq \f(π,4)＝(α＋β)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))，α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(π,4).
[检验5] 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，则tan α＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析 法一 因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，所以eq \f(tan α－tan\f(5π,4),1＋tan αtan\f(5π,4))＝eq \f(1,5)，即eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,5)，解得tan α＝eq \f(3,2).
法二 因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，
所以tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋\f(5π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋tan\f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))tan\f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).
6.解三角形
(1)正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形两边及一边的对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)等，常选用余弦定理判定三角形的形状.
[检验6] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝eq \f(π,6)，a＝1，b＝eq \r(3)，则B＝________.
(2)在△ABC中，a＝1，b＝2，cs C＝eq \f(1,4)，则c＝________，sin A＝________.
答案 (1)eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) (2)2 eq \f(\r(15),8)
7.有关三角形的常见结论
(1)面积公式S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)casin B.
(2)三个等价关系：△ABC中，a，b，c分别为A，B，C对边，则a＞b⇔sin A＞sin B⇔A＞B.
[检验7] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A.3 B.eq \f(9\r(3),2)
C.eq \f(3\r(3),2) D.3eq \r(3)
答案 C
－α
π－α
π＋α
2π－α
eq \f(π,2)－α
sin
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
cs α
cs
cs α
－cs α
－cs α
cs α
sin α