河北省石家庄市重点高中2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省石家庄市重点高中2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，那么( )．
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是( )．
A. 向量与向量长度相等B. 起点相同的单位向量，终点必相同
C. 向量的模可以比较大小D. 任一非零向量都可以平行移动
3. 在中，已知，，，则角A等于( )
A. 45°B. 135°
C. 45°或135°D. 60°或120°
4. 若，是平面内一组不共线向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )．
A. 与B. 与
C. 与D. 与
5. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
6. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是( )
A. 90°B. 135°C. 120°D. 150°
7. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是( )
A. 60B. C. 30D.
8. 在中，点D在边上，，且，若面积，则的值为( )．
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是( )
A. 1B. C. D.
10. 设向量，，则( )．
A. B.
C. D.
11. 在中，M，N分别是线段，上的点，与交于P点，若，则( )．
A. B.
C D.
12. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断ABC是钝角三角形的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则__________．
14. 已知△ABC的面积为，，，则边BC长是___________.
15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c(acs B－bcsA)＝16，a－b＝2，∠C＝，则c的值等于___．
16. 设非零向量和的夹角是，且，则，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在平面直角坐标系中，点，，记，．
(1)设在上的投影向量为(是与同向的单位向量)，求的值；
(2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的大小．
19. 如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．
(1)试用，表示，；
(2)求的值．
20. 已知向量与不共线，且，，．
(1)若，求m，n的值；
(2)若A，B，C三点共线，求的最大值．
21. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
22. 如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P．
(1)求；
(2)若，求的余弦值，
2022～2023学年度第二学期高一年级3月份月考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，那么( )．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加法的坐标表示，即可求解.
【详解】因为，，
所以．
故选：A．
2. 下列说法错误的是( )．
A. 向量与向量长度相等B. 起点相同的单位向量，终点必相同
C. 向量的模可以比较大小D. 任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项.
【详解】和长度相等，方向相反，故A正确；
单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；
向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确．
故选：B
3. 在中，已知，，，则角A等于( )
A 45°B. 135°
C. 45°或135°D. 60°或120°
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理求得，再由确定，即可求
【详解】由正弦定理得，，∵，∴，∴角A等于45°.
故选：A
4. 若，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )．
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面基底的定义，以及共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知向量，不共线，
对于A中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以向量与不共线，可以作为平面的基底；
对于B中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底；
对于C中，设，可得方程组，此时方程组无解，所以与不共线，可以作为平面的基底；
对于D中，由，可得与共线，不能作为该平面的基底.
故选：D.
5. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可.
【详解】由，此时四边形 为平行四边形，
因为，所以 ，即对角线长相等，
故四边形为矩形
故选：C．
6. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是( )
A. 90°B. 135°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理即可算出答案.
【详解】因为的三边长分别为1，，，
所以边长为的边所对的角最大，其余弦值为
所以最大内角的度数是
故选：B
【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.
7. 如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是( )
A. 60B. C. 30D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案.
【详解】由已知得，得到
，，
故选：A
8. 在中，点D在边上，，且，若的面积，则的值为( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理代入三角形面积公式中，求出的正切值，即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，设，，，
由两边平方得，，
由余弦定理得：
，
∴，
∴的面积为：
，
∴，
∴．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是( )
A. 1B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解；
【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即，
故选：BD
10 设向量，，则( )．
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的坐标，代入数量积的坐标公式，判断模，垂直，和平行关系.
【详解】对于A，因为，，
所以，，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，则，
所以与垂直，故C正确；
对于D，因为，所以，不共线，故D错误．
故选：ABC．
11. 在中，M，N分别是线段，上的点，与交于P点，若，则( )．
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设，，由题意化简得到，，结合C，P，M和N，P，B共线，求得的值，即可求解.
【详解】如图所示，设，，
由，可得，，
因为C，P，M共线，所以，解得，
因为N，P，B共线，所以，解得，
故，，即，．
故选：AC．
12. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判断ABC是钝角三角形的有( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由，利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B，由判断；对于C，利用正弦定理和余弦定理判断； 对于D，由，利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.
【详解】对于A，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故A不能判断；
对于B，由，得，则B为钝角，故B能判断；
对于C，由正弦定理，得，则，，故C能判断；
对于D，由及正弦定理化边为角．可知，即，因为A，B为ABC的内角，所以A＝B，所以ABC是等腰三角形，故D不能判断．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据两个向量平行求得的值，然后再由向量模长公式即可得到结果.
【详解】，，且，
∴，解得，
∴，可得．
故答案为：.
14. 已知△ABC的面积为，，，则边BC长是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理，即得.
【详解】因为△ABC面积为，，，
由三角形面积公式，
∴，又，
∴，即.
故答案为：.
15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c(acs B－bcsA)＝16，a－b＝2，∠C＝，则c的值等于___．
【答案】
【解析】
【分析】根据，由c(acs B－bcsA)＝16，利用余弦定理转化为边求得a，b，再利用余弦定理求解.
【详解】解：由余弦定理，得，
∴，
又，则，
则a＝5，b＝3，又，
所以，
∴．
故答案为：
16. 设非零向量和的夹角是，且，则，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算，先求的结果，再求最值.
【详解】∵，
∴当时，的最小值为3，∴的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在平面直角坐标系中，点，，记，．
(1)设在上的投影向量为(是与同向的单位向量)，求的值；
(2)若四边形为平行四边形，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据投影向量的定义，即可求解；
(2)根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解.
【小问1详解】
设与的夹角为，
则．
【小问2详解】
设点，因为四边形为平行四边形，所以．
又，，
所以，解得．
故．
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意和正弦定理化简得到，进而得到，即可求得的大小；
(2)根据题意，利用余弦定理，得出方程，即可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，由正弦定理得，
整理得，
即
所以，
又因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
【小问2详解】
解：由且，
由余弦定理，可得，即，
解得或(舍)，
所以．
19. 如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．
(1)试用，表示，；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；
(2)以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解.
【小问1详解】
，
，
．
【小问2详解】
由题意可知，，，
所以
．
20. 已知向量与不共线，且，，．
(1)若，求m，n的值；
(2)若A，B，C三点共线，求最大值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)由已知求得，再根据向量的线性运算可求得答案；
(2)由A，B，C三点共线得，存在不为零的数，使得，继而有，再得，根据二次函数的性质可求得其最大值.
【小问1详解】
因为，，所以，
又因为，所以，．
【小问2详解】
，，
由A，B，C三点共线，存在不为零的数，使得，
即，
则，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值．
21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
(2)由正弦定理可得，根据的范围求出的值域，即可求出周长的取值范围.
【小问1详解】
∵，∴，
由正弦定理，得．
又，∴，
由于，∴．
【小问2详解】
∵，，
由正弦定理，得，．
．
∵，∴，则．
∴．
∴，则．
故周长取值范围为．
22. 如图，在中，已知，，，边上的中线，相交于点P．
(1)求；
(2)若，求的余弦值，
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)以为基底表示向量，再求其数量积即可；
(2)利用两向量夹角的余弦公式求得结果即可.
【小问1详解】
因为为的中点，所以，又，，，
.
【小问2详解】
由两边平方得
，
又，，，
所以，即.
因为为的中点，所以，
所以
,
，
又为的夹角,
所以.