2022-2023学年河北省石家庄市十五中高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市十五中高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.

【详解】由.

故选：B

2．的值是（    ）

A． B． C．- D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式化简，并结合正弦和角公式即可求解.

【详解】由诱导公式可知

所以由正弦和角公式可得

，

故选：B.

【点睛】本题考查了诱导公式及正弦和角公式的应用，属于基础题.

3．已知平面向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量平行求得，应用向量线性关系的坐标运算求目标式的坐标.

【详解】由题设，则，

所以.

故选：C

4．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.

【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；

对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；

对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；

对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；

综上，其中正确命题是②，只有个.

故选：

【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

5．下列关于向量的命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．

【详解】选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；

选项B，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；

选项C，显然可得出，该选项正确；

选项D，得不出，比如不共线，且，该选项错误.

故选：C.

6．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（    ）

A．－8 B．8 C．6 D．－6

【答案】A

【分析】先求出，然后利用存在实数使，列方程求k的值.

【详解】由已知得，

三点A，B，D共线

存在实数使

，

，解得.

故选：A.

7．如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加法的三角形法则和四边形法则，可得结果.

【详解】根据题意：

又

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查利用向量的加法法则，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，对向量用其它向量表示有很大的作用，属基础题.

8．在△ABC中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，由此求得.

【详解】，

所以.

故选：D

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．向量与向量的长度相等

B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C．零向量与任意向量平行

D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同

【答案】ACD

【分析】利用平面向量的定义判断AB；利用零向量、相等向量的意义判断CD.

【详解】对于A，向量的起点、终点分别为向量的终点、起点，它们的长度相等，故A正确；

对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B不正确；

对于C，零向量与任意向量平行是正确的，故C正确；

对于D，由相等向量的定义知D正确.

故选：ACD

10．下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为区间内,再根据,两个函数的单调性进行判断大小即可.

【详解】解:由于函数在上单调递增,且,

所以,故选项A错误;

因为在上单调递增,

,故选项B正确;

因为,

,

所以,故选项C正确;

因为,所以,故选项D错误.

故选:BC

11．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项.

【详解】解：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；

B选项：，故B不正确；

C选项：，故C正确；

D选项：，解得：，又，所以，故D正确；

故选：ACD.

12．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．函数图象关于直线对称

C．函数在上单调递增

D．方程有无数个解

【答案】BC

【解析】A选项，计算，判定，可得A错；

B选项，计算与，得出，可得B正确；

C选项，由，化简，可得C正确；

D选项，讨论的范围，去绝对值，求出的值域，可判断D错.

【详解】A选项，

，

所以不是的周期，故A错；

B选项，

；

，

所以，因此函数的图象关于直线对称；即B正确；

C选项，，当时，，所以，

此时，根据余弦函数的单调性，可得，其在上显然单调递增，即C正确；

D选项，由可得，则；此时；

由可得，则；此时；

综上，，所以，因此方程无解，即D错；

故选：BC.

【点睛】思路点睛：

判定含三角函数的函数对称性、周期性、单调性等问题时，一般可根据正弦（余弦、正切）函数的性质，利用代入验证的方法判定对称性和周期性；求解最值或研究方程根的问题时，可先判断函数单调性，进而即可求解.

三、填空题

13．化简：______．

【答案】

【分析】利用向量的加法运算即可求解.

【详解】解：

故答案为：.

14．函数的定义域是________.

【答案】

【分析】根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围．

【详解】由题意得：

即

故答案为

【点睛】本题考查关于三角函数的定义域问题，属于基础题．

15．若是奇函数，则_________.

【答案】/

【分析】由余弦型函数的奇偶性得且，即可求参数.

【详解】由题设且，故，，

又，故有.

故答案为：

四、双空题

16．函数的最大值为_______，记函数取到最大值时的，，则_______.

【答案】         

【解析】根据辅助角公式可化为求最值，并求出此时对应，利用两角差的余弦公式求.

【详解】，

，

此时，，

即，

，

，，

，

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：辅助角公式，其中，

的应用是解决本题的关键.

五、解答题

17．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为

(1)若，，求扇形的弧长

(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．

【答案】(1)

(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是．

【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；

（2）设扇形的弧长为，则，扇形的面积为，由二次函数性质即可得到面积的最大值．

【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，.

（2）由题设条件知，,

因此扇形的面积

当时，有最大值，此时,

当时，扇形的面积最大，最大面积是．

18．计算.

(1)求的值；

(2)化简.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用商数关系、和角正弦公式及二倍角正弦公式、诱导公式化简求值；

（2）由平方关系、二倍角正余弦公式化简即可.

【详解】（1）.

（2）.

19．如图，在平行四边形中，E为的中点，设.

(1)用表示；

(2)若，且，求.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用表示出即可；

（2）由（1）及向量数量积的运算律可得，结合已知即可求值.

【详解】（1）由，，，

所以，，.

（2）由（1）知：，

又，且，则.

20．在①；②；③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．

已知，______，．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）若选①，可得，再由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选②，则可得，再由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，若选③，则可得，同样由同角三角函数的关系可求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求得结果，

（2）先求出，再由于化简计算可求出的值，从而可求出

【详解】（1）若选①，，

又因为，

解得，，

所以．

若选②，因为，化简得，

又因为，，解得，，

所以．

若选③，因为，化简得

又因为，，解得，，

所以

（2）因为，且，所以，

所以

又因为，所以

21．已知函数.

（1）求函数的最小正周期及单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的倍,得到函数的图象,求在上的值域.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用三角恒等变换中的两角差正余弦公式、倍角公式，将化成，再利用周期公式和整体代入，分别求得最小正周期及单调增区间；

（2）利用平移变换和伸缩变换求得，再利用整体思想求得函数的值域.

【详解】（1） ，

，

所以函数的最小正周期为，

当,得函数的单调递增区间为；

（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为,

所以，

,

所以当时，,

当时，.

所以的值域为.

【点睛】本题考查两角差正、余弦公式、倍角公式、平移变换和伸缩变换、三角函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，考查运算求解能力，利用整体思想求函数的值域和单调区间的过程是不一样，要注意区别.

22．某港口水深y（米）是时间（单位：小时）的函数，下表是水深数据：

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

【答案】(1)

(2)该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时

【分析】（1）根据图像的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的位置可以求出；

（2）在当的前提下，解不等式即可.

【详解】（1）根据图表数据可得：，∴，，

函数周期，∴，

∴函数的表达式为；

（2）由题意知：若船舶航行时船是安全的，则，即，∴，

∴，解得，又，∴或.

故该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．

23．日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

（2）若在矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪．已知：矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，草坪的每平方米的造价为（k为正常数）．设总造价T关于S的函数为T=f（S），试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价T最低．

【答案】（1）S=x（30﹣x），；（2）12米或18米

【详解】（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°

∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30﹣x），

矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]

于是200≤S≤225为所求．

（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k

又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）

由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．

∴T=25k（+），200≤S≤225

∵+≥12，

当且仅当=即S=216时等号成立，

此时x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，

所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．

【解析】根据实际问题选择函数类型．

24．若，且满足．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由基本不等式即可求解；

（2）由，展开后利用基本不等式即可求解．

【详解】解：（1）∵，且满足，

∴，

当且仅当时取等号，

故的最大值为；

（2）∵

，

当且仅当时取等号，

∴的最小值为．

【点睛】本题主要考查“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

25．若正数a，b，c满足.

(1)求的最大值；

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；

（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.

【详解】（1）由，

所以，即，仅当时等号成立，

综上，的最大值为.

（2）由，仅当，即时等号成立，

由，仅当，即时等号成立，

由，仅当，即时等号成立，

综上，，仅当时等号成立.