2022-2023学年河北省石家庄市四中高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市四中高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．下列命题中，正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D.

【详解】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;

若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;

向量不能比较大小,C不正确;

若，则,D,不正确.

故选:B.

【点睛】本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.

3．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用向量的坐标运算，结合相等向量逐项计算判断作答.

【详解】设，

对于A，，则，无解，A不是；

对于B，，则，解得，B是；

对于C，，则，无解，C不是；

对于D，，则，无解，D不是.

故选：B

4．下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

5．若，则（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【分析】由正弦定理求解即可.

【详解】由正弦定理可得，则，

又，故，则.

故选：C

6．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.

【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为，

则，即，

而，故，

故选：D

7．在中，，，，若点满足，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据向量的数量积公式和向量转化为基地进行表示即可求解.

【详解】

.

故选：C.

8．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（    ）

A．6 B．－6 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义进行判断即可.

【详解】绕O点逆时针方向旋转后变为再将模变为倍，得，对应的复数的实部是－6.

故选：B.

9．若的三个内角、、满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】因为，由余弦定理可得，

所以，为锐角，故.

故选：C.

10．已知A（，0），B（0，2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，，且∠AOC=，设（），则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】由∠AOC=，从而设，则，利用向量相等的坐标表示可得．

【详解】根据已知条件得：.

设，则，

∵，∴，∴∴.

故选：D.

二、多选题

11．已知函数的图象经过点，则（　　）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．当时， D．函数是非奇非偶函数

【答案】ACD

【分析】由函数过点求得参数，即可根据幂函数的性质判断.

【详解】函数的图象经过点，则，故函数为.

由幂函数性质可知，函数为增函数，非奇非偶函数，.

故选：ACD

12．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为6 D．若与的夹角为锐角，则

【答案】BC

【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：若，故可得，解得或，故A错误；

B：当时，，此时，则，故B正确；

C： ，故，当时，取得最小值，故C正确；

D：若与的夹角为锐角，则，解得；

当与共线时，，解得，故，故D错误；

综上所述，正确的选项是：.

故选：BC.

13．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限

C．z的共轭复数为 D．若是纯虚数，则

【答案】BD

【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：，故A错误；

对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；

对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；

对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.

故选：BD

14．已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】通过向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否.

【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知，，选项A正确；

，选项B错误；

与方向不同，选项C错误；

延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，，，选项D正确.

故选：AD.

三、填空题

15．已知是虚数单位，计算：____________.

【答案】

【分析】由复数的除法法则计算．

【详解】．

故答案为：．

16．若，则__________．

【答案】

【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

17．若向量与的方向相反，且，，则点B坐标为______．

【答案】

【分析】设，根据向量的模求出，得到向量的坐标，再由点A坐标得到点B坐标.

【详解】向量与的方向相反，设，，

则，解得，，

由，有，所以点B坐标为.

故答案为：

18．已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为________.

【答案】

【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可.

【详解】设D为的中点，则，

所以，

所以，

所以.

故答案为：

四、解答题

19．已知向量，，与的夹角为.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，结合，即可求解；

（2）由，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，向量，，与的夹角为，

可得，

又由.

（2）解：因为向量，，且，

所以.

20．已知是复数，（为虚数单位）均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限.

(1)求；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）设，化简、并根据其均为实数求得参数x，y，，再求；

（2）化简并根据其在复平面上对应的点在第一象限列不等式即可求得的范围.

【详解】（1）设，

∵为实数，

∴，∴.

∵为实数，

∴．∴，故

（2）∵在复平面上对应的点在第一象限， ∴，解得.

∴实数a的取值范围是．

21．某海轮以60 n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达点B，测得油井P在南偏东30°，海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min到达点C，求P，C间的距离.

【答案】40 n mile.

【分析】在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理计算可得；

【详解】解：由题意知AB=40 n mile，∠BAP=120°，∠ABP=30°，

所以∠APB=30°，所以AP=40 n mile，

所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos 120°=402+402-2×40×40×（-）=402×3，

所以BP=40 n mile.

因为∠PBC=90°，BC=80 n mile，

所以PC2=BP2+BC2=(40)2+802=11 200，

所以PC=40 n mile，

即P，C间的距离为40 n mile.

22．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，求.

【答案】(1)1

(2)9

【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.

（2）先求得，然后利用转化法求得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以，

故.

（2），

，

为菱形，，

所以，

.

23．已知的内角的对边分别为，设.

(1)求；

(2)现给出三个条件：①  ②  ③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的方案，并以此为依据求的面积（写出一种方案即可）

【答案】(1)

(2)选①②：；选①③：

【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求解即可；

（2）选①②：由正弦定理可得，再根据结合三角形面积公式求解即可；选①③：由余弦定理可得，再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）由余弦定理可得，，即，由余弦定理，又，故.

（2）选①②：由正弦定理，可得，又，故

选①③：

由余弦定理：，故，解得，此时，.

选②③：由可得，三角形不存在.