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专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略（原卷版）
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这是一份专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略（原卷版），共33页。
专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Toc5998 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11367" 【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】 PAGEREF _Toc11367 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15074" 【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】 2 HYPERLINK \l "_Toc11504" 【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】 2 HYPERLINK \l "_Toc11577" 【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】 3 HYPERLINK \l "_Toc21571" 【过关检测】 4【典型例题】【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】【例题1】化简的结果是（ ）A． B． C． D．【变式1】计算 的值等于（ ）A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是 【变式3】化简的结果等于 ．【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】【例题2】若，则的值是（ ）A．3 B．2 C．1 D．4【变式1】若，则的值是（ ）A． B． C． D．【变式2】已知，则的值为（ ）A． B． C．7 D．4【变式3】若，则的值为（ ）A． B．1 C．2 D．【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】【例题3】若关于的方程无解，则的值为（ ）A．2 B．1 C．0 D．【变式1】若解分式方程时产生增根，则m的值是（ ）A．0 B．1 C． D．【变式2】若分式方程有增根，则k为（ ）A．2 B．1 C．3 D．【变式3】已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（ ）A． B．1 C． D．【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】【例题4】一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．【变式1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【变式2】某班第一次用元买若干资料，第二次用元在同一家店买同样的资料，这一次商家每件资料优惠元，结果比上一次多买件，求第一次购买时每件资料多少元？设第一次购买时每件资料元，则列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【变式3】师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（ ）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．计算的结果为（ ）A． B． C． D．2．图是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是（ ）A．① B．①② C．③ D．②③3．若，则代数式的值为（ ）A． B． C．3 D．44．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．5．化简的结果是（ ）A． B． C． D．6．A、两地相距，两辆汽车从地开往地，大汽车比小汽车早出发小时，小汽车比大汽车晚到分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为：，求两车的速度．设大汽车的速度为，小汽车的速度为，所列方程是（ ）A． B．C． D．7．解分式方程时，去分母正确的是（ ）A． B． C． D．8．若方程有增根，则k的值为（ ）A． B．0 C．1 D．29．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A． B．1 C．1或2 D．3或10．化简的结果是（ ）A． B． C．1 D．二、填空题11．如果，那么代数式的值为 ．12．已知，则代数式的值为 ．13．若，则分式的值为 ．14．若，则代数式的值为 ．15．若分式方程无解，则的值是 ．16．若关于x的方程有增根，则 ．17．若关于x的分式方程无解，则 ．18．已知关于的方程无解，则实数的值为 ．19．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．三、计算题20．先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．21．先化简，然后从0，1，3中选一个合适的数代入求值．专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Toc5998 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11367" 【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】 PAGEREF _Toc11367 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15074" 【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】 2 HYPERLINK \l "_Toc11504" 【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】 2 HYPERLINK \l "_Toc11577" 【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】 3 HYPERLINK \l "_Toc21571" 【过关检测】 4【典型例题】【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】【例题1】化简的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算．【详解】故选B．【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．【变式1】计算 的值等于（ ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题主要考查了分式化简计算，解题的关键是熟练掌握分式的性质，准确计算．【变式2】化简的结果是 【答案】【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．【变式3】化简的结果等于 ．【答案】/【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】【例题2】若，则的值是（ ）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】将已知等式化为，再将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是灵活运用完全平方公式变形．【变式1】若，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2】已知，则的值为（ ）A． B． C．7 D．4【答案】C【分析】先由 得到 ， 即 ， 再根据完全平方公式可求 的值；【详解】故选C【点睛】此题主要考查了分式的值，关键是要熟练掌握完全平方公式【变式3】若，则的值为（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代整体代入求值即可．【详解】∵，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】【例题3】若关于的方程无解，则的值为（ ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】分式方程无解，增根满足的条件：①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；据此进行求解即可．【详解】解：方程两边同乘以（）得，，原方程无解，，解得：，；故选：B．【点睛】本题考查了分式方程增根所满足的条件，理解条件是解题的关键．【变式1】若解分式方程时产生增根，则m的值是（ ）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据增根定义求得的值，代入即可求得．【详解】解：有增根，是原方程的增根，解方程：，，把代入得：，解得：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，理解增根的概念是解题的关键．【变式2】若分式方程有增根，则k为（ ）A．2 B．1 C．3 D．【答案】B【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，求出增根，然后代入分式方程转化成的整式方程中求解即可．【详解】解：原方程有增根，最简公分母，解得，∴去分母得，将代入得，解得．故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式3】已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（ ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】若关于的分式方程无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解，据此求解即可．【详解】解：方程两边乘， 得，整理可得，当，即时，整式方程无解，即分式方程无解；当时，有或时，分式方程无解，此时或，解得或，经检验均为该方程的解，综上所述，或0或满足条件，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程无解问题，解题关键是要考虑到了最简公分母为零的情况，同时还要注意化为整式方程后，整式方程无解这一情况．【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】【例题4】一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．【答案】C【分析】可求甲的工作效率为天，乙的工作效率为天，从而可求两人合作完成工作的天数，即可求解．【详解】解：由题意得；故选：C．【点睛】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键．【变式1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据现在生产台机器的时间与原计划生产台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产台机器时间原计划生产台时间．【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，列方程得：，故选A．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键．【变式2】某班第一次用元买若干资料，第二次用元在同一家店买同样的资料，这一次商家每件资料优惠元，结果比上一次多买件，求第一次购买时每件资料多少元？设第一次购买时每件资料元，则列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设第一次购买时每件资料元，根据题意列出分式方程，即可求解．【详解】解：设第一次购买时每件资料元，根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查了列分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键．【变式3】师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程．【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是；故选：A【点睛】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的减法运算法则即可求解．【详解】解：，故选D．【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．2．图是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是（ ）A．① B．①② C．③ D．②③【答案】C【分析】由分式加减法则，通分化为同分母分式再相加减，即可得到答案．【详解】解：，∴第③步错．故选：C．【点睛】本题考查分式的加减，通分化为同分母分式相加减，同分母分式相加减时分母不变，分子相加，解题的关键是掌握分式加减的法则．3．若，则代数式的值为（ ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】由可得，代入分式，化简即可．【详解】解：由可得将代入可得：原式故选：A【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．4．一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．13．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解、解为负数，得到关于a的不等式，即可求解．【详解】解：，等号两边同时乘以，得，解得，分式方程有解，，即，解得；解是负数，，解得，实数的取值范围是．故选B．【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是注意隐含条件．5．化简的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法的运算法则是解题的关键．6．A、两地相距，两辆汽车从地开往地，大汽车比小汽车早出发小时，小汽车比大汽车晚到分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为：，求两车的速度．设大汽车的速度为，小汽车的速度为，所列方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出两辆汽车从A地到B地的时间，然后找出等量关系：大汽车的行驶时间小汽车的行驶时间，据此列方程．【详解】设大汽车的速度为，小汽车的速度为，根据题意可得：，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．7．解分式方程时，去分母正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程两边乘以最简公分母，去分母得：整理得：故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想是解题的关键，解分式方程注意要检验．8．若方程有增根，则k的值为（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先将分式方程去分母，再把代入整式方程中，进行计算即可解答．【详解】解：，去分母，得，整理得，方程有增根，把代入中，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．9．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A． B．1 C．1或2 D．3或【答案】D【分析】先去分母可得整式方程，再把分式方程的增根或分别代入整式方程，再解整式方程即可．【详解】解：∵，去分母得：，∵关于的分式方程有增根，∴增根为或，把代入，解得：，把代入，解得：，综上m的值为3或．故选D【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，熟练的判定分式方程的增根是解本题的关键．10．化简的结果是（ ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法，约分后可得答案．【详解】解：；故选D【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．二、填空题11．如果，那么代数式的值为 ．【答案】/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：，，，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．已知，则代数式的值为 ．【答案】【分析】由已知可得出．再将代数式变形为，最后整体代入化简即可．【详解】解：∵，∴，即． ，将代入，得：．故答案为：．【点睛】本题考查分式的化简求值．利用整体代入的思想是解题关键．13．若，则分式的值为 ．【答案】5【分析】根据，可得，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键．14．若，则代数式的值为 ．【答案】【分析】先将分式化简，即可求解．【详解】解：，∵∴代数式的值故答案为：【点睛】本题考查分式的化简求值．注意化简的准确性．15．若分式方程无解，则的值是 ．【答案】【分析】根据题意，将分式方程化为整式方程，根据方程无解，可得，进而即可求解．【详解】解： ，解得，∵分式方程无解，∴∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．若关于x的方程有增根，则 ．【答案】【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到的值，代入整式方程进行求解．【详解】解，去分母，得：，整理，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查含参数的分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．17．若关于x的分式方程无解，则 ．【答案】1或【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．【详解】解：，去分母得：，整理得：，当，即时，方程无解；由分式方程无解有增根时，可得，解得或，把代入，不存在，把代入，得，解得，综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为1或．故答案为：1或．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．18．已知关于的方程无解，则实数的值为 ．【答案】或2或【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出得值，再由分式方程无解确定出m的值即可．【详解】解：去分母，得：，解得：，方程无解，或或，或，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，解得；即实数的值为或2或，故答案为：或2或．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题过程中不要漏掉答案．19．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．【答案】【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到x的值，代入整式方程进行求解．【详解】解：去分母，得：，∵方程有增根；∴，∴，代入整式方程得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．三、计算题20．先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．【答案】，当时，原式；当时，原式【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可．【详解】解：＝＝＝＝，∵，，∴，，∴当时，原式．或当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．21．先化简，然后从0，1，3中选一个合适的数代入求值．【答案】，2【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的a的值代入求值即可．【详解】解：∵∵，，∴，，∴，∴当时，原式．【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键． 原式①②③④原式①②③④
专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Toc5998 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11367" 【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】 PAGEREF _Toc11367 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15074" 【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】 2 HYPERLINK \l "_Toc11504" 【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】 2 HYPERLINK \l "_Toc11577" 【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】 3 HYPERLINK \l "_Toc21571" 【过关检测】 4【典型例题】【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】【例题1】化简的结果是（ ）A． B． C． D．【变式1】计算 的值等于（ ）A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是 【变式3】化简的结果等于 ．【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】【例题2】若，则的值是（ ）A．3 B．2 C．1 D．4【变式1】若，则的值是（ ）A． B． C． D．【变式2】已知，则的值为（ ）A． B． C．7 D．4【变式3】若，则的值为（ ）A． B．1 C．2 D．【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】【例题3】若关于的方程无解，则的值为（ ）A．2 B．1 C．0 D．【变式1】若解分式方程时产生增根，则m的值是（ ）A．0 B．1 C． D．【变式2】若分式方程有增根，则k为（ ）A．2 B．1 C．3 D．【变式3】已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（ ）A． B．1 C． D．【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】【例题4】一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．【变式1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【变式2】某班第一次用元买若干资料，第二次用元在同一家店买同样的资料，这一次商家每件资料优惠元，结果比上一次多买件，求第一次购买时每件资料多少元？设第一次购买时每件资料元，则列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【变式3】师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（ ）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．计算的结果为（ ）A． B． C． D．2．图是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是（ ）A．① B．①② C．③ D．②③3．若，则代数式的值为（ ）A． B． C．3 D．44．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．5．化简的结果是（ ）A． B． C． D．6．A、两地相距，两辆汽车从地开往地，大汽车比小汽车早出发小时，小汽车比大汽车晚到分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为：，求两车的速度．设大汽车的速度为，小汽车的速度为，所列方程是（ ）A． B．C． D．7．解分式方程时，去分母正确的是（ ）A． B． C． D．8．若方程有增根，则k的值为（ ）A． B．0 C．1 D．29．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A． B．1 C．1或2 D．3或10．化简的结果是（ ）A． B． C．1 D．二、填空题11．如果，那么代数式的值为 ．12．已知，则代数式的值为 ．13．若，则分式的值为 ．14．若，则代数式的值为 ．15．若分式方程无解，则的值是 ．16．若关于x的方程有增根，则 ．17．若关于x的分式方程无解，则 ．18．已知关于的方程无解，则实数的值为 ．19．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．三、计算题20．先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．21．先化简，然后从0，1，3中选一个合适的数代入求值．专题07 分式（方程）运算中4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc5998" 【典型例题】 PAGEREF _Toc5998 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11367" 【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】 PAGEREF _Toc11367 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15074" 【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】 2 HYPERLINK \l "_Toc11504" 【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】 2 HYPERLINK \l "_Toc11577" 【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】 3 HYPERLINK \l "_Toc21571" 【过关检测】 4【典型例题】【考点一 分式运算中整式与分式的加减运算类型】【例题1】化简的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算．【详解】故选B．【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．【变式1】计算 的值等于（ ）A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题主要考查了分式化简计算，解题的关键是熟练掌握分式的性质，准确计算．【变式2】化简的结果是 【答案】【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．【变式3】化简的结果等于 ．【答案】/【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．【详解】解：．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点二 “整体代入法”在分式计算中的应用】【例题2】若，则的值是（ ）A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】将已知等式化为，再将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是灵活运用完全平方公式变形．【变式1】若，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，即，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式2】已知，则的值为（ ）A． B． C．7 D．4【答案】C【分析】先由 得到 ， 即 ， 再根据完全平方公式可求 的值；【详解】故选C【点睛】此题主要考查了分式的值，关键是要熟练掌握完全平方公式【变式3】若，则的值为（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代整体代入求值即可．【详解】∵，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．【考点三 分式方程中有关增根（有无解）问题的计算】【例题3】若关于的方程无解，则的值为（ ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】B【分析】分式方程无解，增根满足的条件：①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；据此进行求解即可．【详解】解：方程两边同乘以（）得，，原方程无解，，解得：，；故选：B．【点睛】本题考查了分式方程增根所满足的条件，理解条件是解题的关键．【变式1】若解分式方程时产生增根，则m的值是（ ）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据增根定义求得的值，代入即可求得．【详解】解：有增根，是原方程的增根，解方程：，，把代入得：，解得：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，理解增根的概念是解题的关键．【变式2】若分式方程有增根，则k为（ ）A．2 B．1 C．3 D．【答案】B【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，求出增根，然后代入分式方程转化成的整式方程中求解即可．【详解】解：原方程有增根，最简公分母，解得，∴去分母得，将代入得，解得．故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式3】已知关于的分式方程无解，则满足条件的所有的和为（ ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】若关于的分式方程无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解，据此求解即可．【详解】解：方程两边乘， 得，整理可得，当，即时，整式方程无解，即分式方程无解；当时，有或时，分式方程无解，此时或，解得或，经检验均为该方程的解，综上所述，或0或满足条件，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程无解问题，解题关键是要考虑到了最简公分母为零的情况，同时还要注意化为整式方程后，整式方程无解这一情况．【考点四 常见工程（效率）问题在分式方程中的应用】【例题4】一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．【答案】C【分析】可求甲的工作效率为天，乙的工作效率为天，从而可求两人合作完成工作的天数，即可求解．【详解】解：由题意得；故选：C．【点睛】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键．【变式1】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据现在生产台机器的时间与原计划生产台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产台机器时间原计划生产台时间．【详解】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，列方程得：，故选A．【点睛】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产台机器”这一个隐含条件，进而得出分式方程是解题关键．【变式2】某班第一次用元买若干资料，第二次用元在同一家店买同样的资料，这一次商家每件资料优惠元，结果比上一次多买件，求第一次购买时每件资料多少元？设第一次购买时每件资料元，则列方程正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设第一次购买时每件资料元，根据题意列出分式方程，即可求解．【详解】解：设第一次购买时每件资料元，根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查了列分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键．【变式3】师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程．【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是；故选：A【点睛】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．计算的结果为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分式的减法运算法则即可求解．【详解】解：，故选D．【点睛】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．2．图是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是（ ）A．① B．①② C．③ D．②③【答案】C【分析】由分式加减法则，通分化为同分母分式再相加减，即可得到答案．【详解】解：，∴第③步错．故选：C．【点睛】本题考查分式的加减，通分化为同分母分式相加减，同分母分式相加减时分母不变，分子相加，解题的关键是掌握分式加减的法则．3．若，则代数式的值为（ ）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】由可得，代入分式，化简即可．【详解】解：由可得将代入可得：原式故选：A【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．4．一项工程甲单独做 天完成，乙单独做天完成，两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成A． B． C． D．13．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解、解为负数，得到关于a的不等式，即可求解．【详解】解：，等号两边同时乘以，得，解得，分式方程有解，，即，解得；解是负数，，解得，实数的取值范围是．故选B．【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是注意隐含条件．5．化简的结果是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法的运算法则是解题的关键．6．A、两地相距，两辆汽车从地开往地，大汽车比小汽车早出发小时，小汽车比大汽车晚到分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为：，求两车的速度．设大汽车的速度为，小汽车的速度为，所列方程是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出两辆汽车从A地到B地的时间，然后找出等量关系：大汽车的行驶时间小汽车的行驶时间，据此列方程．【详解】设大汽车的速度为，小汽车的速度为，根据题意可得：，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．7．解分式方程时，去分母正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程两边乘以最简公分母，去分母得：整理得：故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想是解题的关键，解分式方程注意要检验．8．若方程有增根，则k的值为（ ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先将分式方程去分母，再把代入整式方程中，进行计算即可解答．【详解】解：，去分母，得，整理得，方程有增根，把代入中，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．9．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）A． B．1 C．1或2 D．3或【答案】D【分析】先去分母可得整式方程，再把分式方程的增根或分别代入整式方程，再解整式方程即可．【详解】解：∵，去分母得：，∵关于的分式方程有增根，∴增根为或，把代入，解得：，把代入，解得：，综上m的值为3或．故选D【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，熟练的判定分式方程的增根是解本题的关键．10．化简的结果是（ ）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法，约分后可得答案．【详解】解：；故选D【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．二、填空题11．如果，那么代数式的值为 ．【答案】/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：，，，原式，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．已知，则代数式的值为 ．【答案】【分析】由已知可得出．再将代数式变形为，最后整体代入化简即可．【详解】解：∵，∴，即． ，将代入，得：．故答案为：．【点睛】本题考查分式的化简求值．利用整体代入的思想是解题关键．13．若，则分式的值为 ．【答案】5【分析】根据，可得，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查分式的化简求值，根据分式的性质把变形得出是解题的关键．14．若，则代数式的值为 ．【答案】【分析】先将分式化简，即可求解．【详解】解：，∵∴代数式的值故答案为：【点睛】本题考查分式的化简求值．注意化简的准确性．15．若分式方程无解，则的值是 ．【答案】【分析】根据题意，将分式方程化为整式方程，根据方程无解，可得，进而即可求解．【详解】解： ，解得，∵分式方程无解，∴∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．若关于x的方程有增根，则 ．【答案】【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到的值，代入整式方程进行求解．【详解】解，去分母，得：，整理，得：，∵方程有增根，∴，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查含参数的分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．17．若关于x的分式方程无解，则 ．【答案】1或【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．【详解】解：，去分母得：，整理得：，当，即时，方程无解；由分式方程无解有增根时，可得，解得或，把代入，不存在，把代入，得，解得，综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为1或．故答案为：1或．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．18．已知关于的方程无解，则实数的值为 ．【答案】或2或【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出得值，再由分式方程无解确定出m的值即可．【详解】解：去分母，得：，解得：，方程无解，或或，或，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，解得；即实数的值为或2或，故答案为：或2或．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题过程中不要漏掉答案．19．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．【答案】【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到x的值，代入整式方程进行求解．【详解】解：去分母，得：，∵方程有增根；∴，∴，代入整式方程得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．三、计算题20．先化简，再求值：，请从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．【答案】，当时，原式；当时，原式【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可．【详解】解：＝＝＝＝，∵，，∴，，∴当时，原式．或当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．21．先化简，然后从0，1，3中选一个合适的数代入求值．【答案】，2【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的a的值代入求值即可．【详解】解：∵∵，，∴，，∴，∴当时，原式．【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键． 原式①②③④原式①②③④
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