浙江省金华市十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线：与直线：互相平行，则（ ）
A 1B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.
【详解】因为两直线平行，
则有，
解得，经验证此时两直线不重合，
故选：C.
2. 已知等差数列中，，则（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.
【详解】由题意.
故选：D.
3. 如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义可直接得到答案.
【详解】因为函数在处的导数为1，
根据导数的定义可知，
故选：A.
4. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解.
【详解】解：由题意设直线方程为：，
因该直线过点，
所以，
解得，
所以直线方程为：，
故选：C
5. 圆C：与圆的位置关系不可能（ ）
A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.
【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为；
圆，则其圆心为，半径为.
则两圆圆心距为，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
故选：D
6. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.
【详解】由题意或.
故选：B.
7. 法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点和，动点为，若，则动点的轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得的轨迹方程，从而确定正确答案.
【详解】设，以线段的中点为平面直角坐标系原点，为轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则，
设，则，
即，所以的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
故选：B

8. 已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.
【详解】联立，化简并整理得，
由题意，化简得，
解得，
所以过点且与垂直的直线方程为，
在该直线方程中分别令，依次解得，
所以，
即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：

若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点，
若在左支上面，如图所示：

所以，
等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点，
综上所述，点到两点距离之和的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是求出点的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列导数运算正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，B错误；
对C，，C 正确；
对D， ，D正确.
故选：ACD
10. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意，得，所以.
故选：BC.
11. 已知抛物线的准线方程为，焦点为，点是抛物线上的两点，抛物线在两点的切线交于点，则下列结论一定正确的（ ）
A. 抛物线的方程为：
B.
C. 当直线过焦点时，三角形面积的最小值为1
D. 若，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由抛物线准线列方程求出参数即可判断；对于B，由抛物线定义即可判断；对于C，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D，设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得或，进一步由余弦定理基本不等式可得，由此即可判断.
【详解】对于A，抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为：，故A正确；
对于B，因为点在抛物线上，所以由抛物线定义可知，故B正确；
对于C，由题意抛物线焦点坐标为，显然过焦点的直线斜率存在，如图所示：
不妨取直线的方程为，且，
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，，
点到直线的距离为，
所以三角形面积为，等号成立当且仅当，
即三角形面积的最小值为2，故C错误；
对于D，显然直线斜率存在，不妨取直线的方程为，且，如图所示：
联立抛物线方程，得，
所以，
所以，
，
因为，
所以，
解得或，
即或，
而
，
等号成立当且仅当，解得，
此时或，且此时满足，
即，所以最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得，但是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.
12. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（ ）

A. 将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.
B. 将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.
C. 将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.
D. 将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A，利用对称性得球的直径判断B，求解两平行平面的距离判断C，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.
【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，

对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，
由题意，该几何的棱长为，所以正方体的棱长为，正确；
对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，
根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即，解得，
所以包装盒半径最小为，错误；
对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面与平面的距离，证明求解过程如下：如图，

不妨记正方体为，，，
故四边形是平行四边形，所以，
又，分别为，的中点，所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
设对角线分别交平面和平面于点，，
因为平面，平面，所以，
连接，因为分别为的中点，
故，又，平面，，
所以平面，又平面，所以，
同理，又，，平面，所以平面，
又平面平面，所以平面，
故即为平面与平面的距离，
则，由正方体棱长为得，
由题意得，为等边三角形，故，
根据，得，
解得，根据对称性知，
所以，
则平面与平面的距离为，即该玩具的高度为，错误；
对于D，该几何体的体积为.因为玩具的密度为，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.
非选择题部分 （共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 曲线在点处的切线斜率为________．
【答案】4
【解析】
【分析】函数求导后，求得，即为所求.
【详解】因为，
所以，
则，
故答案为：4.
14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（m为正整数），若，则所有可能的取值为________．
【答案】1和8
【解析】
【分析】根据，且，利用递推求解.
【详解】解：因为，且，
所以或（舍去）；
或（舍去）；
或，
故答案为：1和8
15. 如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.
【详解】因为，所以，同理，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故答案为： .
16. 已知椭圆的离心率为为椭圆的一个焦点，若关于直线的对称点恰好在椭圆上，则斜率的取值构成的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，代入椭圆的方程中，整理计算可得参数.
【详解】过点且与直线垂直的直线为，
两直线的交点，从而点.
点在椭圆上，
则，即
则,则，，或.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
（1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？
（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．
【答案】（1）公司：（元）；公司：（元）
（2）从公司得到的报酬较多
【解析】
【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资；
（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.
【小问1详解】
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元,
则他第年的月工资是：（元）；
选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增．
则他第年的月工资（元）．
小问2详解】
若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因为，故从公司得到的报酬较多.
18. 如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥体积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）18
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；
（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.
【小问1详解】
为圆柱的母线，平面，
又平面．①
是下底面圆的直径，．②
①②及平面 , 平面，
平面，又平面平面平面．
【小问2详解】
在中，设，则，
．
当且仅当时，不等式取“=”号．
故的最大值为18．
19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点斜率为的直线与圆相交于两点，
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；
（2）设点是的中点，连接，则，利用勾股定理求得的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.
【小问1详解】
设圆的半径为，
圆与直线相切，
，
所以圆的方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，即，
设点是的中点，连接，则，
则,
又由，得，
解得或
所以直线的方程为或．
20. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．

（1）求证：；
（2）若平面交于点，求的值；
（3）若二面角的大小为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.
（2）利用平面的基本事实证得三点共线，作于，利用平行关系推理计算即得.
（3）作出二面角的平面角，结合（2）的信息计算即得.
【小问1详解】
四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，
所以.
【小问2详解】
由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
则，即三点共线，由平面，平面，则，
如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是，

设，由，得，，，
从而，所以，即．
【小问3详解】
过点作于点，连接，
由平面，平面，则，而平面，
则平面，而平面，于是，
则有为二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，则，
由（2）得，所以.
21. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若数列满足，求证：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解；
（2），利用裂项相消法求解.
（3）由，利用分组求和法求解.
【小问1详解】
当时，．①，
②，
①-②得：，
当时，也符合上式，
所以；
【小问2详解】
，
，
，
．
【小问3详解】
，③
，④
③-④得：，
，
，
，
．
故.
22. 已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．

（1）求拋物线的方程；
（2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线过定点
【解析】
【分析】（1）由题意得，，结合的面积为列方程即可求解；
（2）设， ，联立抛物线方程得，设，则，结合三点共线得，同理，得出关于的表达式即可求解.
【小问1详解】

设准线与轴的交点为，
直线的斜率为，又，
．
故抛物线的方程为：．
【小问2详解】
设，过点的直线方程为：．
则联立，整理得：，
由韦达定理可得：．
又设，
所以直线斜率为，
直线方程为，即的直线方程为：，
由三点共线可得：，即，
所以，
所以，因为，所以化简可得：，
同理，由三点共线可得：，
可得，
，
综上可得的直线方程为：，
变形可得：，所以直线过定点．