浙江省金华十校2021-2022学年高二数学下学期期末调研试题（Word版附解析）

金华十校2021-2022学年第二学期期末调研考试

高二数学试题卷

本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为集合，

所以.

故选：B.

2. 已知复数z满足，i是虚数单位，则复数　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】解：由，

得．

故选D．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】因为能推出，而不能推出，例如，

不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件,

故选：A

4. 垃圾分类已逐步变为每个人的日常，垃圾分类最终的目的是资源再利用、是变废为宝，是利国利民的大好事．如塑料垃圾，通过分类回收可以再利用，而流入大自然则会对环境造成长期的污染，直至完全分解．已知某塑料垃圾的自然分解率y与时间t（年）满足函数关系式（其中a为非零常数）．若经过10年，这种垃圾的分解率为1%，那么经过50年，这种垃圾的分解率大约是（    ）

A. 80% B. 64% C. 32% D. 16%

【答案】D

【解析】

【分析】根据所给解析式计算即可得解.

【详解】由题意时，，即，

所以当时，，

故选：D

5. 某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

表格中的数据形成图所示的散点图．则在以下函数模型中，描述这个地区未成年男性平均体重y（单位：）与身高x（单位：）的函数关系最合适的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据散点图及函数图象可排除AC，再由特殊值可排除D，即可求解.

【详解】根据所给散点图，结合一次函数、对数函数的图象可知，选项AC不符合；

取时，由可得，当时

由可得，与实际值差距很大，故不适合，故D不符合；

故选：B

6. 已知平面向量满足，向量，则（    ）

A. 的夹角为 B.  C. 的最小值是1 D. 的最大值是2

【答案】C

【解析】

【分析】对于A选项利用夹角公式即可判断，对于B选项利用两向量垂直的充要条件即可判断，对于C选项和D选项可以利用数量积的性质化简判断

【详解】对于A选项，因为，，，所以，所以与的夹角为，故A错误

对于B选项，是否为不确定，故B错误

对于C选项，

故C正确

对于D选项，由C知无最大值，故D错误

故选：C

7. 为了解高中生性别与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

由以上数据，计算得到，根据临界值表：

以下说法正确的是（    ）

A. 没有95%的把握认为性别与数学成绩有关

B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为性别与数学成绩有关

C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与数学成绩无关

D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，结合独立性检验公式及临界值表，逐一分析即可得解.

【详解】解：因为，

所以有95%的把握认为性别与数学成绩有关，故A错误；

在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为性别与数学成绩有关，故B正确；

因为，

所以没有在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与数学成绩有关，故C错误；

若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，

则，

故结论发生改变，故D错误.

故选：B.

8. 已知曲线在点与处的切线互相垂直且相交于点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】利用导数求出切线斜率，再由切线垂直可得，利用切线公共点可得.

【详解】因为曲线在点与处的切线互相垂直，

所以当时，，当时，，

不妨设，因为在点与处切线互相垂直，

则，即，故AB错误；

在点的切线方程为，即，

在点处的切线方程为，即，

因为切线相交于，代入切线方程可得，

即，由化简可得.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知函数，则（    ）

A. 最大值为2 B. 最小值为 C. 是奇函数 D. 是偶函数

【答案】AD

【解析】

【分析】根据余弦函数的值域及奇偶性即可判断.

【详解】因为，所以，故A正确，B错误；

因为，函数为偶函数，故C错误，D正确.

故选：AD

10. 已知函数，以下函数存在最小值的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】分类讨论去掉绝对值可由一次函数单调性分析有无最小值判断AB，根据绝对值的性质判断CD即可.

【详解】对A，，当时，函数有最小值，故A正确；

对B，，函数无最小值，故B错误；

对C，有最小值0，故C正确；

对D，，显然当时，有最小值0，故D正确.

故选：ACD

11. 在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量y（单位：万件）之间的关系时，得到一组样本数据，求得经验回归方程为，且，现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（    ）

A. 变量x与y具有正相关关系

B. 去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为

C. 去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快

D. 去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据回归直线的斜率正负判断A，由在回归直线上判断B，由回归直线斜率的大小判断C，根据残差的概念计算判断D.

【详解】因为回归直线的斜率为正，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确；

由，代入可得，当去掉两个误差较大的样本点后，

，，代入成立，

故B正确；

去除两个误差较大的样本点后，回归直线的斜率由，所以y的估计值增加速度变慢，故C错误；

把代入回归直线方程可得，，

所以相应于样本点的残差为，故D正确.

故选：ABD

12. 在四棱锥中，侧棱底面，底面为菱形，过点A分别作的垂线，垂足分别是E，F，底面对角线的交点为O，过点A作的垂线，垂足为H，则（    ）

A. 平面平面 B. 平面平面

C. 平面平面 D. A，E，F，H四点不可能共面

【答案】ABD

【解析】

【分析】先证明平面，即可判断AB，再由反证法可判断C，由C中结论可判断D.

【详解】如图，

底面，平面，，

由菱形知，，且，平面，,

又，，平面，

又平面，平面，

平面平面，平面平面，故AB正确；

过作于，若平面平面，因为为两面交线，AG在平面AEF中

所以平面，可得，又，所以平面，

同理可得平面，所以，这与相交矛盾，

故平面平面不成立，故C错误；

若A，E，F，H四点共面，则平面，则平面平面，由C知不正确，故A，E，F，H四点不可能共面，故D正确.

故选：ABD

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 展开式中的常数项为__________．

【答案】240

【解析】

【分析】利用通项公式即可得出．

【详解】通项公式

令12﹣3r＝0，解得r＝4．

∴展开式中的常数项．

故答案为:240．

14. 一艘海轮从A地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东方向航行小时后到达海岛B，然后从海岛B出发沿北偏东方向航行一段时间到达海岛C，之后从海岛C出发沿南偏西方向航行回到A地，则从海岛C回到A地所需时间是_____________小时．

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意易得的内角，设船的航行速度为千米每小时，则，再利用正弦定理可求得，从而可得出答案.

【详解】解：由题意可知，，

设船的航行速度为千米每小时，则，

有正弦定理可得，

所以，

所以从海岛C回到A地所需时间是小时.

故答案为：3.

15. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________．

【答案】28

【解析】

【分析】列出乙取到白球且红球已经被取出所包含的基本事件，再求每一个基本事件发生的数量，最后求和即可.

【详解】解：由题意可得满足条件的基本事件有：A=（红，白），B=（红，黑，黑，白），C=（黑，黑，红，白），D=（黑，红，黑，白）.

事件A有；事件B有；事件C有；事件D有.

所以共有4+8+8+8=28种取法.

故答案为：28.

16. 已知函数，直线与的交点分别为，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可化为关于的式子，换元后可利用均值不等式求解即可.

详解】由题意，

，令，当且仅当时，等号成立，

则，当且仅当时，即，时，

的最小值是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已如函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的单调递减区间．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换将函数化简，再根据余弦函数的周期性即可得解；

（2）根据余弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案，注意自变量的范围.

【小问1详解】

解：

，

所以的最小正周期为；

【小问2详解】

解：令，

则，

又因，

所以函数在区间上的单调递减区间为.

18. 在中，，垂足为H．

（1）求的长；

（2）记向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，设，求实数的值．

【答案】（1）;   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求出BC，利用面积等积法求AH；

（2）求出投影向量，根据垂直关系及三点共线列出方程求解即可.

【小问1详解】

由余弦定理，，

所以，

由可得.

【小问2详解】

,,

，

,

，①

又三点共线，所以，②

联立①②可解得.

19. 金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了100名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t，得到下表：

（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于的概率；

（2）估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数；

（3）已知的6人，其平均数和方差分别为5，1.5；的30人，其平均数和方差分别为8，9，计算样本数据中的平均数和方差．

【答案】（1）;   

（2）分钟；   

（3）9.

【解析】

【分析】（1）根据乘客花费时间t小于的频率可估计概率求解；

（2）根据频数分布表求中位数即可；

（3）由平均值及方差的计算公式求解即可.

【小问1详解】

由上表知，乘客花费时间t小于的人数有人，

故在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于的概率.

【小问2详解】

设中位数为，因为花费时间t小于12分钟的频率为，花费时间t小于18分钟的频率为，所以，

故由，解得，

即估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为分钟.

【小问3详解】

由题意，样本数据中的平均数，

方差.

20. 如图，已知三棱锥中，为正三角形，，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若四边形为矩形，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定与性质可证明四边形对边平行即可得证；

（2）利用等体积法求出点到平面的距离为，再由线面角公式求解即可.

【小问1详解】

平面，平面PAC，平面，

平面，

，，

D，E分别为，的中点，，

又平面，平面，平面，

，平面，，

四边形是平行四边形.

【小问2详解】

四边形为矩形，，，

又，，平面，

，，

设，到平面的距离为，

则，，

，，

由可得，

即，

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21. 今年，某著名高校三位一体综合评价招生的报名人数超过了18000名，为节省人力物力，设计了线上测试程序规则如下：第一轮测试，回答5个问题，若答对其中的4题或5题，则审核通过；否则进行第二轮答题，将答错的题替换为新题再次答题，若全部答对则审核通过，否则不通过．设每次答题相互独立，两轮测试互不影响，且答对每题概率均为．

（1）若，求仅需一轮测试的概率；

（2）记A同学的答题个数为X，求随机变量X的分布列，并证明：．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）求出第一轮答对4题或5题的概率，即可得出仅需一轮测试的概率；

（2）X可取，并求出相应概率，列出分布列，结合导数证明即可.

【小问1详解】

仅需一轮测试，即第一轮答对4题或5题

所以仅需一轮测试的概率

【小问2详解】

由题意可知，X可取

设第一轮测试答对题，

则的分布列为

因为，所以，，所以

对求导，

当时，，即当时，单调递减

即

故

22. 已知函数．

（1）当时，求函数的零点个数；

（2）求在上的最大值．

【答案】（1）1个    （2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求导，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得出答案；

（2）求导，再分，，，四种情况讨论，讨论出函数的单调性，再根据函数的单调性即可求出函数的最大值.

【小问1详解】

解：当时，，，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以的极小值为，极大值为，

当时，，即，

所以函数只有1个零点；

【小问2详解】

解：,

当时，在单调递减，在单调递增，

又当时，，，

所以；

当时，当时，，当时，，

所以函数在单调递减，在单调递增，

又因当时，，则，，

所以；

当，即时，

因为，所以，所以，

所以，

令，

则，

所以函数在上递增，

所以，

所以，

即；

当，即时，

或时，，，，

所以函数在和上递增，在上递减，

所以，

当，即时，，

当，即时，，

综上所述，当时，在上的最大值为，

当时，在上的最大值为.

【点睛】本题考查了利用导数求函数函数的单调区间及研究函数的零点问题，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想及数据分析能力.