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2022-2023学年辽宁省沈阳市私立联合体七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市私立联合体七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，直线a，b被直线c所截，则∠5的内错角是( )
A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠4
2.中国药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法可表示为( )
A. 1.5×10−6米B. 1.5×10−5米C. 1.5×106米D. 1.5×105米
3.下列计算结果正确的是( )
A. a12÷a3=a4B. (−a3)2=a6C. a2⋅a5=a10D. (−3a)2=6a2
4.已知∠1=42°，∠2与∠1互余，则∠2的度数为( )
A. 48°B. 58°C. 138°D. 148°
5.如图，点O在直线BD上，OC⊥OA于点O，若∠AOB=20°，则∠COD的度数为( )
A. 20°
B. 70°
C. 110°
D. 120°
6.下列说法中，错误的是( )
A. 同角的余角相等
B. 一个角的补角不一定大于这个角
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
8.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A. (−a−b)(a+b)B. (2x+3y)(2x−3z)
C. (x−y)(−x−y)D. (m−n)(n−m)
9.如图，AB//CD//EF，则下列各式中正确的是( )
A. ∠1+∠2+∠3=180°B. ∠1+∠2=180°+∠3
C. ∠1+∠3=180°+∠2D. ∠2+∠3=180°+∠1
10.一块长为a厘米，宽为b厘米(a>b>3厘米)的长方形纸片，若将这张纸的长增加3厘米，宽减少3厘米，则它的面积( )
A. 变小B. 变大C. 不变D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：|−2|+30−(14)−2= ______．
12.如图，已知∠1+∠2=80°，则∠3= ______．
13.若ax=2，ay=3，则a3x−2y= ．
14.长方形的面积为4a2−6ab+2a，长为2a，则它的周长为______．
15.已知∠ABC=60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP=20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ=______．
16.已知∠ABC=75°，点D为BC边上一点，过点D作DE//AB，若∠EBD=23∠ABC，则∠DEB= ______．
三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
利用乘法公式计算：1004×996−9982．
18.(本小题8分)
计算：
(1)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2；
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：[(a−2b)2+(a−2b)(a+2b)−a(a−6b)]÷(−2a)，其中a=3，b=−2．
20.(本小题8分)
补全下面推理过程：
如图，AB//CD，点E为两平行线间的一点，且BE⊥CE.若∠ECD=35°，求∠ABE的度数．
解：如图，过点E作射线EF//CD．
∴______=∠ECD=35°(______).
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=______°(垂直的定义)．
∴∠BEF=______°.
∵EF//CD，AB//CD，
∴EF//AB(______).
∴∠ABE+∠BEF=______°(______).
∴∠ABE=______°.
21.(本小题8分)
如图，正方形网格中∠AOB，点O，A，B均在格点上，点C也在格点上．
(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F；
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G；
(3)请写出∠ECG与∠AOB的数量关系，并说明理由．
22.(本小题10分)
观察等式，解答下列问题：
第1个：(x−1)(x+1)=x2−1；
第2个：(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
第3个：(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
(1)请写出第5个等式：______；
(2)由此归纳出一般规律：______=xn−1；
(3)根据上述经验，求32022+32021+32020+…+3的值．
23.(本小题10分)
用“⊗”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b=(a−b)2−2a+b．
如：1⊗3=(1−3)2−2×1+3=5，解答下列问题：
(1)若(x+2)⊗x=6，求x的值；
(2)化简：(12x+1)⊗(2x)+x⊗3；
(3)若m=4⊗(3x)，n=(x+1)⊗2−17x，判断m与n的大小关系，并说明理由．
24.(本小题12分)
读材料，解答下列问题：
若(x−1)(5−x)=3，求(x−1)2+(5−x)2的值．
小明的解题方法：
∵(x−1)(5−x)=3，∴5x−x2−5+x=3，∴x2−6x=−8，
∴(x−1)2+(5−x)2=x2−2x+1+25−10x+x2=2x2−12x+26=2(x2−6x)+26=2×(−8)+26=10．
小亮的解题方法：
设x−1=a，5−x=b，则(x−1)(5−x)=ab=3，a+b=x−1+5−x=4，
∴(x−1)2+(5−x)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=10．
(1)任选材料中一种方法解答：若(10−x)2+(x−8)2=124，求(10−x)(x−8)的值；
(2)如图1，长方形ABCD空地，AB=15米，BC=12米，在中间长方形EFGH上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形EFGH中EF= ______米，FG= ______米(用含x的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，如图2，以长方形EFGH四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形EFGH的面积为30平方米，求种花的面积.(结果保留π)
25.(本小题12分)
如图，MN//PQ，点A在MN上，点B，C为PQ上两点，∠ABC=60°，∠ACB=40°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)求∠DAN的度数；
(2)射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针旋转t秒(t>0)，当BP转动至射线BQ后立即以相同速度回转，当BP第一次与AD互相平行或垂直时，求t的值；
(3)当射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针转动的同时，射线AB绕A点每秒5°的速度逆时针旋转，当AB转动至射线AN时，AB，BP同时停止转动，请直接写出BP与AB互相平行或垂直时t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线a，b被直线c所截，则∠5的内错角是∠3．
故选：C．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000015米=1.5×10−6米．
故选：A．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A.a12÷a3=a9，选项A不符合题意；
B.(−a3)2=a6，选项B符合题意；
C.a2⋅a5=a7，选项C不符合题意；
D.(−3a)2=9a2，选项D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的乘法法则可判断选项C．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠2与∠1互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=42°，
∴∠2=90°−42°=48°，
故选：A．
如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；由此计算即可．
本题考查了余角和补角，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=90°−20°=70°，
∴∠COD=180°−∠BOC=180°−70°=110°．
故选：C．
直接根据垂线和平角的定义即可求解．
本题主要考查垂线的定义和平角的定义，根据题意图正确找出所求角与已知角之间的和差关系是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故C符合题意．
故选：C．
由同位角的定义，余角的性质，补角的定义，垂线的性质，即可判断．
本题考查同位角，余角和补角，垂线，关键是掌握同位角的定义，余角的性质，补角的定义，垂线的性质．
7.【答案】B
【解析】解：因为AB//CD，∠A=30°，
所以∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
因为DA平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠ADC=60°，
所以∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．注意：平方差公式是(a+b)(a−b)=a2−b2．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】
解：A、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、不能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、能用平方差公式，故此选项符合题意；
D、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴∠2+∠BDC=180°，∠3=∠CDE，
又∠BDC=∠CDE−∠1，
∴∠2+∠3−∠1=180°．
故选：D．
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC=180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠CDE，而∠CDE=∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3−∠1=180°．
本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：原长方形纸片的面积为ab，
改变后长方形的面积：(a+3)(b−3)=ab−3a+3b−9，
∵a>b>3，
∴ab−3a+3b−9−ab=−3a+3b−9=−3(a−b)−9<0．
∴面积变小了．
故选：A．
列出变化前后纸片的面积，做差比较即可．
本题考查了列代数式，准确列出变化前后纸片的面积是关键．
11.【答案】−13
【解析】解：|−2|+30−(14)−2
=2+1−16
=−13．
故答案为：−13．
先计算零次幂、负整数指数幂，再计算绝对值，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数幂及绝对值的意义是解决本题的关键．
12.【答案】140°
【解析】解：∵∠1，∠2互为对顶角，∠1+∠2=80°，
∴∠1=∠2=40°，
∴∠3=180°−∠2=180°−40°=140°．
故答案为：140°．
根据∠1，∠2互为对顶角，且∠1+∠2=80°，可求得∠1，∠2的度数，继而根据邻补角的定义求出∠3的度数．
本题考查了对顶角和邻补角的知识，解答本题的关键是掌握对顶角相等以及邻补角互补的性质．
13.【答案】89
【解析】解：a3x−2y=(ax)3÷(ay)2=8÷9=89．
故答案为：89．
根据同底数幂的除法及幂的乘法与积的乘方法则，进行计算即可．
本题考查了同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，属于基础题，掌握运算法则是关键．
14.【答案】8a−6b+2
【解析】解：∵长方形的面积为4a2−6ab+2a，它的长为2a，
∴它的宽为：(4a2−6ab+2a)÷2a
=4a2÷2a−6ab÷2a+2a÷2a
=2a−3b+1，
∴它的周长为：2(2a−3b+1+2a)
=8a−6b+2．
故答案为：8a−6b+2．
直接利用整式的除法运算法则计算进而得出它的宽，再利用整式的混合运算法则计算得出周长．
此题主要考查了整式的除法以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】50°
【解析】解：∵BP为定长，
∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∵∠ABC=60°，∠ABP=20°，
∴∠PBQ=40°，
∴∠BPQ=90°−40°=50°，
故答案为：50°．
当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．
16.【答案】25°或55°
【解析】解：如图1，
∵∠ABC=75°，∠EBD=23∠ABC，
∴∠EBD=23×75°=50°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBD=75°−50°=25°，
∵DE//AB，
∴∠DEB=∠ABE=25°；
如图2，
∵∠ABC=75°，∠EBD=23∠ABC，
∴∠EBD=23×75°=50°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBD=75°+50°=125°，
∵DE//AB，
∴∠DEB+∠ABE=180°，
∴∠DEB=180°−125°=55°；
综上，∠DEB的度数为25°或55°．
如图1，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得出∠DEB=∠ABE=25°；如图2，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠DEB的度数．
本题考查了平行线的性质，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：1004×996−9982
=(1000+4)×(1000−4)−9982
=10002−16−9982
=(1000+998)×(1000−998)−16
=1998×2−16
=3996−16
=3980．
【解析】先把1004×996写成(1000+4)×(1000−4)，然后根据平方差公式计算，得出10002−16，然后再次根据平方差公式计算即可．
本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2
=−8a6b3⋅12b4c÷10a3b2
=−4a6b7c÷10a3b2
=−25a3b5c；
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)
=6x+x2−3(3x2+2x−1)
=x2+6x−9x2−6x+3
=−8x2+3．
【解析】(1)根据积的乘方和单项式乘单项式法则运算即可；
(2)根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则运算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
19.【答案】解：原式=(a2−4ab+4b2+a2−4b2−a2+6ab)÷(−2a)
=(a2+2ab)÷(−2a)
=−12a−b，
当a=3，b=−2时，
原式=−12×3−(−2)
=−32+2
=12．
【解析】先把括号内展开，合并同类项，再算除法，化简后将a，b的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则，把所求式子化简．
20.【答案】∠CEF 两直线平行，内错角相等 ;
90 ;
55 ;
平行于同一直线的两直线平行;
180 ，两直线平行，同旁内角互补 ;
125
【解析】解：如图，过点E作射线EF//CD，
∴∠CEF=∠ECD=35°(两直线平行，内错角相等)，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°(垂直的定义)，
∴∠BEF=55°，
∵EF//CD，AB//CD，
∴EF//AB(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠ABE+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠ABE=125°，
过点E作射线EF//CD，则EF//AB//CD，根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F，如图：
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G，如上图；
(3)∠ECG+∠AOB=90°，理由如下：
∵CE//OA，
∴∠AOB=∠CEG，
∵∠ECG+∠CEG=90°，
∴∠ECG+∠AOB=90°．
【解析】(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F即可；
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G；
(3)由CE//OA，得∠AOB=∠CEG，而∠ECG+∠CEG=90°，故∠ECG+∠AOB=90°．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，画出满足条件的图形．
22.【答案】(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1 (x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)
【解析】解：(1)第1个：(x−1)(x+1)=x2−1；
第2个：(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
第3个：(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
第4个：(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1；
第5个：(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1；
故答案为：(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1；
(2)由此归纳出一般规律：(x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)=xn−1，
故答案为：(x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)；
(3)32022+32021+32020+…+3
=32022+32021+32020+…+3+1−1
=12×(3−1)×(32022+32021+32020+...+3+1)−1
=12×(32023−1)−1
=320232−12−1
=32023−32．
(1)仿照已知等式写出答案即可；
(2)先总结规律，然后按照规律解答即可；
(3)先利用规律变形，然后利用规律解答即可．
本题考查了平方差公式以及规律问题，弄清题意，发现数字的变化规律是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵(x+2)⊗x=6，
∴[(x+2)−x]2−2(x+2)+x=6，
解得x=−6，
∴x的值为−6；
(2)(12x+1)⊗(2x)+x⊗3
=[(12x+1)−2x]2−2(12x+1)+2x+(x−3)2−2x+3
=94x2−3x+1−x−2+2x+x2−6x+9−2x+3
=134x2−10x+11；
(3)∵m=4⊗(3x)=(4−3x)2−8+3x=9x2−21x+8，n=(x+1)⊗2−17x=(x+1−2)2−2(x+1)+2−17x=x2−21x+1，
∴m−n=9x2−21x+8−(x2−21x+1)=8x2+7>0，
∴m>n．
【解析】(1)由(x+2)⊗x=6，得[(x+2)−x]2−2(x+2)+x=6，可解得x的值为−6；
(2)根据新定义列出算式计算即可；
(3)求出m=4⊗(3x)=(4−3x)2−8+3x=9x2−21x+8，n=(x+1)⊗2−17x=(x+1−2)2−2(x+1)+2−17x=x2−21x+1，可知m−n=9x2−21x+8−(x2−21x+1)=8x2+7>0，故m>n．
本题考查整式混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出相应的算式．
24.【答案】(15−2x) (12−2x)
【解析】解：(1)设m=10−x，n=x−8，则m2+n2=124，m+n=2，
∴2mn=(m+n)2−(m2+n2)=22−124=−120，
∴(10−x)(x−8)=mn=12×(−120)=−60．
(2)EF=AB−2x=(15−2x)(米)，FG=BC−2x=(12−2x)(米)，
故答案为：(15−2x)，(12−2x)．
(3)EF⋅FG=30，由(2)可知，EF−FG=3，
∵EF2+FG2=(EF−FG)2+2EF⋅FG=32+2×30=69，
∴种花的面积为(EF2)2π+(FG2)2π=EF2+FG24π=694π(平方米)．
(1)小亮的解法比较简单，建议选用这种方法；
(2)根据题意直接用含x的代数式表示出EF和FG即可；
(3)根据(2)可求得EF−FG的值，根据长方形EFGH的面积可得EF⋅FG的值，利用完全平方公式可求得EF2+FG2；种花部分的面积是一个以EF为直径的圆和以FG为直径的圆的面积之和，利用圆的面积公式表示出种花部分的面积并将EF2+FG2代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵MN//PQ，
∴∠NAC=∠ACB，
∵∠ACB=40°，
∴∠NAC=40°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=40°，
∠DAN=∠NAC+∠DAC=80°．
(2)当BP′//AD时，
∠P′BA=∠BAD=40°，
∵∠PBA+∠ABC=180°，
∴∠PBA=120°，
∴∠PBP′=∠PBA−∠P′BA=80°，
∴t=80÷15=163
(3)设BP与AB互相平行或垂直时间为t秒，
射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针转动，同时，射线AB绕A点每秒5°的速度逆时针旋转，
第一次BP⊥AB时，如图1，
15t+60+5t=90，
解得：t=1.5
第一次BP//AB时，如图2，
15t=120−5t，
解得：t=6；
第二次BP⊥AB时，如图3，
1220−5t+180−15t=90，
解得：t=10.5；
第二次BP//AB时，如图4，
180−5t−60=15t−180，
解得：t=15，
第三次BP⊥AB时，如图5，
60+5t−90=360−15t，
解得：t=19.5，
故t的值可能是：1.5，6，10.5，15，或19.5．
【解析】(1)由MN//PQ，知∠NAC=∠ACB，再利用∠ACB=40°，∠ABC=60°，即可求解；
(2)当BP′//AD时，可求出∠PBA=120°，既而得出∠PBP′=80°，可求t值；
(3)设BP与AB互相平行或垂直时间为t秒，分情况解答即可．
本题主要考查了平行线的性质和判定，利用了垂直的定义和角平分线的定义，关键在于分情况讨论求值．
1.如图，直线a，b被直线c所截，则∠5的内错角是( )
A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠4
2.中国药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项，已知显微镜下某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法可表示为( )
A. 1.5×10−6米B. 1.5×10−5米C. 1.5×106米D. 1.5×105米
3.下列计算结果正确的是( )
A. a12÷a3=a4B. (−a3)2=a6C. a2⋅a5=a10D. (−3a)2=6a2
4.已知∠1=42°，∠2与∠1互余，则∠2的度数为( )
A. 48°B. 58°C. 138°D. 148°
5.如图，点O在直线BD上，OC⊥OA于点O，若∠AOB=20°，则∠COD的度数为( )
A. 20°
B. 70°
C. 110°
D. 120°
6.下列说法中，错误的是( )
A. 同角的余角相等
B. 一个角的补角不一定大于这个角
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
7.如图，AB//CD，∠A=30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
8.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( )
A. (−a−b)(a+b)B. (2x+3y)(2x−3z)
C. (x−y)(−x−y)D. (m−n)(n−m)
9.如图，AB//CD//EF，则下列各式中正确的是( )
A. ∠1+∠2+∠3=180°B. ∠1+∠2=180°+∠3
C. ∠1+∠3=180°+∠2D. ∠2+∠3=180°+∠1
10.一块长为a厘米，宽为b厘米(a>b>3厘米)的长方形纸片，若将这张纸的长增加3厘米，宽减少3厘米，则它的面积( )
A. 变小B. 变大C. 不变D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：|−2|+30−(14)−2= ______．
12.如图，已知∠1+∠2=80°，则∠3= ______．
13.若ax=2，ay=3，则a3x−2y= ．
14.长方形的面积为4a2−6ab+2a，长为2a，则它的周长为______．
15.已知∠ABC=60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP=20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ=______．
16.已知∠ABC=75°，点D为BC边上一点，过点D作DE//AB，若∠EBD=23∠ABC，则∠DEB= ______．
三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
利用乘法公式计算：1004×996−9982．
18.(本小题8分)
计算：
(1)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2；
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：[(a−2b)2+(a−2b)(a+2b)−a(a−6b)]÷(−2a)，其中a=3，b=−2．
20.(本小题8分)
补全下面推理过程：
如图，AB//CD，点E为两平行线间的一点，且BE⊥CE.若∠ECD=35°，求∠ABE的度数．
解：如图，过点E作射线EF//CD．
∴______=∠ECD=35°(______).
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=______°(垂直的定义)．
∴∠BEF=______°.
∵EF//CD，AB//CD，
∴EF//AB(______).
∴∠ABE+∠BEF=______°(______).
∴∠ABE=______°.
21.(本小题8分)
如图，正方形网格中∠AOB，点O，A，B均在格点上，点C也在格点上．
(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F；
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G；
(3)请写出∠ECG与∠AOB的数量关系，并说明理由．
22.(本小题10分)
观察等式，解答下列问题：
第1个：(x−1)(x+1)=x2−1；
第2个：(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
第3个：(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
(1)请写出第5个等式：______；
(2)由此归纳出一般规律：______=xn−1；
(3)根据上述经验，求32022+32021+32020+…+3的值．
23.(本小题10分)
用“⊗”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b=(a−b)2−2a+b．
如：1⊗3=(1−3)2−2×1+3=5，解答下列问题：
(1)若(x+2)⊗x=6，求x的值；
(2)化简：(12x+1)⊗(2x)+x⊗3；
(3)若m=4⊗(3x)，n=(x+1)⊗2−17x，判断m与n的大小关系，并说明理由．
24.(本小题12分)
读材料，解答下列问题：
若(x−1)(5−x)=3，求(x−1)2+(5−x)2的值．
小明的解题方法：
∵(x−1)(5−x)=3，∴5x−x2−5+x=3，∴x2−6x=−8，
∴(x−1)2+(5−x)2=x2−2x+1+25−10x+x2=2x2−12x+26=2(x2−6x)+26=2×(−8)+26=10．
小亮的解题方法：
设x−1=a，5−x=b，则(x−1)(5−x)=ab=3，a+b=x−1+5−x=4，
∴(x−1)2+(5−x)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=42−2×3=10．
(1)任选材料中一种方法解答：若(10−x)2+(x−8)2=124，求(10−x)(x−8)的值；
(2)如图1，长方形ABCD空地，AB=15米，BC=12米，在中间长方形EFGH上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形EFGH中EF= ______米，FG= ______米(用含x的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，如图2，以长方形EFGH四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形EFGH的面积为30平方米，求种花的面积.(结果保留π)
25.(本小题12分)
如图，MN//PQ，点A在MN上，点B，C为PQ上两点，∠ABC=60°，∠ACB=40°，AD平分∠BAC交BC于点D．
(1)求∠DAN的度数；
(2)射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针旋转t秒(t>0)，当BP转动至射线BQ后立即以相同速度回转，当BP第一次与AD互相平行或垂直时，求t的值；
(3)当射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针转动的同时，射线AB绕A点每秒5°的速度逆时针旋转，当AB转动至射线AN时，AB，BP同时停止转动，请直接写出BP与AB互相平行或垂直时t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：直线a，b被直线c所截，则∠5的内错角是∠3．
故选：C．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断．
本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000015米=1.5×10−6米．
故选：A．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】解：A.a12÷a3=a9，选项A不符合题意；
B.(−a3)2=a6，选项B符合题意；
C.a2⋅a5=a7，选项C不符合题意；
D.(−3a)2=9a2，选项D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的除法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的乘法法则可判断选项C．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠2与∠1互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=42°，
∴∠2=90°−42°=48°，
故选：A．
如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角；由此计算即可．
本题考查了余角和补角，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=90°−20°=70°，
∴∠COD=180°−∠BOC=180°−70°=110°．
故选：C．
直接根据垂线和平角的定义即可求解．
本题主要考查垂线的定义和平角的定义，根据题意图正确找出所求角与已知角之间的和差关系是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、B、D中的说法正确，故A、B、D不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故C符合题意．
故选：C．
由同位角的定义，余角的性质，补角的定义，垂线的性质，即可判断．
本题考查同位角，余角和补角，垂线，关键是掌握同位角的定义，余角的性质，补角的定义，垂线的性质．
7.【答案】B
【解析】解：因为AB//CD，∠A=30°，
所以∠ADC=∠A=30°，∠CDE=∠DEB，
因为DA平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠ADC=60°，
所以∠DEB=60°．
故选：B．
由平行线的性质得∠ADC=∠A=30°，再由角平分线得∠CDE=60°，再次利用平行线的性质可得∠DEB=∠CDE=60°．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．注意：平方差公式是(a+b)(a−b)=a2−b2．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】
解：A、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、不能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、能用平方差公式，故此选项符合题意；
D、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴∠2+∠BDC=180°，∠3=∠CDE，
又∠BDC=∠CDE−∠1，
∴∠2+∠3−∠1=180°．
故选：D．
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC=180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠CDE，而∠CDE=∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3−∠1=180°．
本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：原长方形纸片的面积为ab，
改变后长方形的面积：(a+3)(b−3)=ab−3a+3b−9，
∵a>b>3，
∴ab−3a+3b−9−ab=−3a+3b−9=−3(a−b)−9<0．
∴面积变小了．
故选：A．
列出变化前后纸片的面积，做差比较即可．
本题考查了列代数式，准确列出变化前后纸片的面积是关键．
11.【答案】−13
【解析】解：|−2|+30−(14)−2
=2+1−16
=−13．
故答案为：−13．
先计算零次幂、负整数指数幂，再计算绝对值，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数幂及绝对值的意义是解决本题的关键．
12.【答案】140°
【解析】解：∵∠1，∠2互为对顶角，∠1+∠2=80°，
∴∠1=∠2=40°，
∴∠3=180°−∠2=180°−40°=140°．
故答案为：140°．
根据∠1，∠2互为对顶角，且∠1+∠2=80°，可求得∠1，∠2的度数，继而根据邻补角的定义求出∠3的度数．
本题考查了对顶角和邻补角的知识，解答本题的关键是掌握对顶角相等以及邻补角互补的性质．
13.【答案】89
【解析】解：a3x−2y=(ax)3÷(ay)2=8÷9=89．
故答案为：89．
根据同底数幂的除法及幂的乘法与积的乘方法则，进行计算即可．
本题考查了同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，属于基础题，掌握运算法则是关键．
14.【答案】8a−6b+2
【解析】解：∵长方形的面积为4a2−6ab+2a，它的长为2a，
∴它的宽为：(4a2−6ab+2a)÷2a
=4a2÷2a−6ab÷2a+2a÷2a
=2a−3b+1，
∴它的周长为：2(2a−3b+1+2a)
=8a−6b+2．
故答案为：8a−6b+2．
直接利用整式的除法运算法则计算进而得出它的宽，再利用整式的混合运算法则计算得出周长．
此题主要考查了整式的除法以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15.【答案】50°
【解析】解：∵BP为定长，
∴当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∵∠ABC=60°，∠ABP=20°，
∴∠PBQ=40°，
∴∠BPQ=90°−40°=50°，
故答案为：50°．
当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．
16.【答案】25°或55°
【解析】解：如图1，
∵∠ABC=75°，∠EBD=23∠ABC，
∴∠EBD=23×75°=50°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBD=75°−50°=25°，
∵DE//AB，
∴∠DEB=∠ABE=25°；
如图2，
∵∠ABC=75°，∠EBD=23∠ABC，
∴∠EBD=23×75°=50°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBD=75°+50°=125°，
∵DE//AB，
∴∠DEB+∠ABE=180°，
∴∠DEB=180°−125°=55°；
综上，∠DEB的度数为25°或55°．
如图1，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得出∠DEB=∠ABE=25°；如图2，先根据已知条件求出∠EBD的度数，即可求出∠ABE的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠DEB的度数．
本题考查了平行线的性质，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：1004×996−9982
=(1000+4)×(1000−4)−9982
=10002−16−9982
=(1000+998)×(1000−998)−16
=1998×2−16
=3996−16
=3980．
【解析】先把1004×996写成(1000+4)×(1000−4)，然后根据平方差公式计算，得出10002−16，然后再次根据平方差公式计算即可．
本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(−2a2b)3⋅12b4c÷10a3b2
=−8a6b3⋅12b4c÷10a3b2
=−4a6b7c÷10a3b2
=−25a3b5c；
(2)x(6+x)−3(x+1)(3x−1)
=6x+x2−3(3x2+2x−1)
=x2+6x−9x2−6x+3
=−8x2+3．
【解析】(1)根据积的乘方和单项式乘单项式法则运算即可；
(2)根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则运算即可．
本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
19.【答案】解：原式=(a2−4ab+4b2+a2−4b2−a2+6ab)÷(−2a)
=(a2+2ab)÷(−2a)
=−12a−b，
当a=3，b=−2时，
原式=−12×3−(−2)
=−32+2
=12．
【解析】先把括号内展开，合并同类项，再算除法，化简后将a，b的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则，把所求式子化简．
20.【答案】∠CEF 两直线平行，内错角相等 ;
90 ;
55 ;
平行于同一直线的两直线平行;
180 ，两直线平行，同旁内角互补 ;
125
【解析】解：如图，过点E作射线EF//CD，
∴∠CEF=∠ECD=35°(两直线平行，内错角相等)，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°(垂直的定义)，
∴∠BEF=55°，
∵EF//CD，AB//CD，
∴EF//AB(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠ABE+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠ABE=125°，
过点E作射线EF//CD，则EF//AB//CD，根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F，如图：
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G，如上图；
(3)∠ECG+∠AOB=90°，理由如下：
∵CE//OA，
∴∠AOB=∠CEG，
∵∠ECG+∠CEG=90°，
∴∠ECG+∠AOB=90°．
【解析】(1)过点C画边OA，OB的平行线分别交边OB，OA于点E，F即可；
(2)过点C画边OB的垂线，垂足为G；
(3)由CE//OA，得∠AOB=∠CEG，而∠ECG+∠CEG=90°，故∠ECG+∠AOB=90°．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，画出满足条件的图形．
22.【答案】(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1 (x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)
【解析】解：(1)第1个：(x−1)(x+1)=x2−1；
第2个：(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
第3个：(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
第4个：(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1；
第5个：(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1；
故答案为：(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1；
(2)由此归纳出一般规律：(x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)=xn−1，
故答案为：(x−1)(xn−1+xn−2+...+x+1)；
(3)32022+32021+32020+…+3
=32022+32021+32020+…+3+1−1
=12×(3−1)×(32022+32021+32020+...+3+1)−1
=12×(32023−1)−1
=320232−12−1
=32023−32．
(1)仿照已知等式写出答案即可；
(2)先总结规律，然后按照规律解答即可；
(3)先利用规律变形，然后利用规律解答即可．
本题考查了平方差公式以及规律问题，弄清题意，发现数字的变化规律是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵(x+2)⊗x=6，
∴[(x+2)−x]2−2(x+2)+x=6，
解得x=−6，
∴x的值为−6；
(2)(12x+1)⊗(2x)+x⊗3
=[(12x+1)−2x]2−2(12x+1)+2x+(x−3)2−2x+3
=94x2−3x+1−x−2+2x+x2−6x+9−2x+3
=134x2−10x+11；
(3)∵m=4⊗(3x)=(4−3x)2−8+3x=9x2−21x+8，n=(x+1)⊗2−17x=(x+1−2)2−2(x+1)+2−17x=x2−21x+1，
∴m−n=9x2−21x+8−(x2−21x+1)=8x2+7>0，
∴m>n．
【解析】(1)由(x+2)⊗x=6，得[(x+2)−x]2−2(x+2)+x=6，可解得x的值为−6；
(2)根据新定义列出算式计算即可；
(3)求出m=4⊗(3x)=(4−3x)2−8+3x=9x2−21x+8，n=(x+1)⊗2−17x=(x+1−2)2−2(x+1)+2−17x=x2−21x+1，可知m−n=9x2−21x+8−(x2−21x+1)=8x2+7>0，故m>n．
本题考查整式混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出相应的算式．
24.【答案】(15−2x) (12−2x)
【解析】解：(1)设m=10−x，n=x−8，则m2+n2=124，m+n=2，
∴2mn=(m+n)2−(m2+n2)=22−124=−120，
∴(10−x)(x−8)=mn=12×(−120)=−60．
(2)EF=AB−2x=(15−2x)(米)，FG=BC−2x=(12−2x)(米)，
故答案为：(15−2x)，(12−2x)．
(3)EF⋅FG=30，由(2)可知，EF−FG=3，
∵EF2+FG2=(EF−FG)2+2EF⋅FG=32+2×30=69，
∴种花的面积为(EF2)2π+(FG2)2π=EF2+FG24π=694π(平方米)．
(1)小亮的解法比较简单，建议选用这种方法；
(2)根据题意直接用含x的代数式表示出EF和FG即可；
(3)根据(2)可求得EF−FG的值，根据长方形EFGH的面积可得EF⋅FG的值，利用完全平方公式可求得EF2+FG2；种花部分的面积是一个以EF为直径的圆和以FG为直径的圆的面积之和，利用圆的面积公式表示出种花部分的面积并将EF2+FG2代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵MN//PQ，
∴∠NAC=∠ACB，
∵∠ACB=40°，
∴∠NAC=40°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=40°，
∠DAN=∠NAC+∠DAC=80°．
(2)当BP′//AD时，
∠P′BA=∠BAD=40°，
∵∠PBA+∠ABC=180°，
∴∠PBA=120°，
∴∠PBP′=∠PBA−∠P′BA=80°，
∴t=80÷15=163
(3)设BP与AB互相平行或垂直时间为t秒，
射线BP绕B点每秒15°的速度顺时针转动，同时，射线AB绕A点每秒5°的速度逆时针旋转，
第一次BP⊥AB时，如图1，
15t+60+5t=90，
解得：t=1.5
第一次BP//AB时，如图2，
15t=120−5t，
解得：t=6；
第二次BP⊥AB时，如图3，
1220−5t+180−15t=90，
解得：t=10.5；
第二次BP//AB时，如图4，
180−5t−60=15t−180，
解得：t=15，
第三次BP⊥AB时，如图5，
60+5t−90=360−15t，
解得：t=19.5，
故t的值可能是：1.5，6，10.5，15，或19.5．
【解析】(1)由MN//PQ，知∠NAC=∠ACB，再利用∠ACB=40°，∠ABC=60°，即可求解；
(2)当BP′//AD时，可求出∠PBA=120°，既而得出∠PBP′=80°，可求t值；
(3)设BP与AB互相平行或垂直时间为t秒，分情况解答即可．
本题主要考查了平行线的性质和判定，利用了垂直的定义和角平分线的定义，关键在于分情况讨论求值．
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