2022-2023学年辽宁省沈阳市私立联合体八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

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2022-2023学年辽宁省沈阳市私立联合体八年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若2a+6的值是正数，则a的取值范围是(    )
A. a>0 B. a>3 C. a>−3 D. a<−3
2. 已知，△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(    )
A. a2−b2=c2 B. ∠A+∠B=∠C
C. a=1，b= 2，c= 3 D. a=8，b=40，c=41
3. 下列说法中错误的是(    )
A. 若a−3b，则a C. 若a 4. 如图所示，在数轴上表示不等式正确的是(    )


A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
5. 如图，在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是(    )



A. ∠A=∠D，∠B=∠E
B. AC=DF，AB=DE
C. ∠A=∠D，AB=DE
D. AC=DF，CB=FE
6. 下列说法正确的有(    )
①4是x−3>1的解；
②不等式x−2<0的解有无数个；
③x>5是不等式x+2>3的解集；
④x=3是不等式x+2>1的解；
⑤不等式x+2<5有无数个正整数解．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 下列命题的逆命题是假命题的是(    )
A. 直角三角形的两锐角互余
B. 对顶角相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
8. 已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在(    )


A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上
C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上
9. 等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为(    )
A. 80° B. 20° C. 80°或20° D. 80°或50°
10. 如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是(    )
A. 不变
B. 一直变小
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知关于x的不等式(a−1)x>3的解集是x<3a−1，则a的取值范围是______ ．
12. △ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，若∠B=50°，则∠DAC的度数是______ ．
13. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为______．

14. 在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，且AB=4 2，则△ABC的面积为______ ．
15. 某次知识竞赛共有20道题，答对一道题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过100分，她至少要答对______ 道题．
16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，CD=2，AB的垂直平分线分别交AD，AC于点E，F，若BF平分∠EBC，则AF的长为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
解不等式：2x+14−1≤x−13，并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题8.0分)
已知关于x的方程3x−a=4．
(1)若该方程的解满足x>−2，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式x−2(3x−1)≥x+4的最大整数解，求a的值．
19. (本小题8.0分)
下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l及直线l外一点P．
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2，
①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A，B两点；
②连接PA和PB；
③作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q；
④作直线PQ．
∴直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图2(保留作图痕迹)；
(2)写出证明过程和依据．
20. (本小题8.0分)
某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，平分∠BAC，CD⊥AD于点D，过点D作DE//AB交AC于点E.求证：E为AC的中点．

22. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
(2)连接AP，求证：AP平分∠FAN；
(3)设∠FAN=α，其他条件不变时，∠FPN的度数是______ .(用含α的代数式表示)

23. (本小题10.0分)
甲、乙两家商场以相同的价格出售同样的商品，为了促进消费，商场推出不同的优惠方案：
甲商场的优惠方案：购物花费累计超过200元后，超出200元部分按70%付费；
乙商场的优惠方案：购物花费按80%付费．
若某顾客准备购买标价为x(x>200)元的商品．
(1)甲商场购物花费______ 元，乙商场购物花费______ 元(用含x的代数式表示)；
(2)顾客到哪家商场购物花费少？写出说理过程；
(3)乙商场为了吸引顾客，采取了进一步的优惠方案：不超过1000元，仍按80%付费；超过1000元后，超出1000元部分按60%付费.甲商场没有调整优惠方案，请直接写出顾客选择甲商场购物花费少时x(x>200)的取值范围．
24. (本小题12.0分)
(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且DE//AB，求证：△CDE是等边三角形；
(2)如图2，将(1)中△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接BD，AE交于点M．
①求证：BD=AE；
②求∠AMB的度数；
(3)若△ABC为等边三角形，过点B作直线BD，且∠ADB=60°，连接CD，若AB= 2，CD=1，请直接写出点A到直线BD的距离．


25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数y=kx+b与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于点B，与正比例函数y=43x的图象交于点C，点C的横坐标为3．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)点D为x轴正半轴上一点，若△BCD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)点E为直线OC上一点(不与点C重合)，设点E的横坐标为m．
①若S△ABE≤18，请直接写出m的取值范围；
②若∠ABE=45°，请直接写出点E的坐标．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：由题意可得：2a+6>0，
2a>−6，
a>−3，
故选：C．
根据题意列出不等式解答即可．
本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

2.【答案】D 
【解析】解：A、∵a2−b2=c2，∴a2=b2+c2，△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵a2+b2=1+2=3=c2，∴a2+b2=c2，△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵82+402≠412，∴a2+b2≠c2，△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

3.【答案】C 
【解析】解：A.若a>b，则a−1>b−1，正确，故本选项不合题意；
B.若−3a>−3b，则a C.若a D.若ac2 故选：C．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：由题意，得：x<1，
故选：A．
根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

5.【答案】A 
【解析】解：A.添加条件∠A=∠D，∠B=∠E时，没有边的条件，故不能判定△ABC≌△DEF，
B.添加条件AC=DF，AB=DE，根据HL可证明△ABC≌△DEF，
C.添加条件∠A=∠D，AB=DE，根据AAS可证明△ABC≌△DEF，
D.添加条件AC=DF，CB=FE，根据SAS可证明△ABC≌△DEF，
故选：A．
根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6.【答案】B 
【解析】解：①x−3>1，解得：x>4，则4不是不等式的解，本选项错误；
②不等式x−2<0，解得：x<2，则不等式的解有无数个，本选项正确；
③不等式x+2>3，解得x>1，本选项错误；
④不等式x+2>1，解得：x>−1，故x=3是不等式的解，本选项正确；
⑤不等式x+2<5，解得：x<3，正整数解为1，2，本选项错误，
则其中正确的个数为2个．
故选B．
①求出x−3>1的解集，即可做出判断；②求出不等式x−2<0的解集即可做出判断；③求出不等式x+2>3的解集即可做出判断；④求出不等式x+2>1的解集，即可做出判断；⑤求出不等式x+2<5的解集即可做出判断．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握取解集的方法是解本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：A、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
B、原命题的逆命题为：两个相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；
故选：B．
先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可．
本题主要考查了判断命题逆命题的真假，熟知三角形内角和定理，平行线的判定，线段垂直平分线的判定等知识是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
【解答】
解：作射线AM，如图所示：

由题意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
∴点M在∠A的平分线上
故选：A．  
9.【答案】C 
【解析】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，
则它的顶角的度数为：180°−100°=80°；
②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，
则它的底角的度数为：180°−100°=80°；
∴它的顶角为：180°−80°−80°=20°；
∴它的顶角的度数为：80°或20°．
故选：C．
由等腰三角形的一个外角是100°，分别从：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，去分析，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．

10.【答案】D 
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠EBD=∠DCF=120°，
∵DF=AD，
∴∠CAD=∠F，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∠CDF+∠F=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CDF，
∵DE=AD，
∴∠BAD=∠E，
∴∠E=∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
∠EBD=∠DCF∠E=∠CDFDE=FD，
∴△BDE≌△CFD(AAS)，
∴BE=CD，
则△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，
∵在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，
∴在点D从B运动到C的过程中，△CFD周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
先根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，从而可得∠EBD=∠DCF=120°，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得∠BAD=∠E=∠CDF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE=CD，从而可得△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．

11.【答案】a<1 
【解析】解：由题意得：a−1<0，
解得：a<1．
故答案为：a<1．
根据不等式的性质可得a−1<0，解不等式即得答案．
本题考查了不等式的性质，属于基础题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

12.【答案】40° 
【解析】解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=80°，
∴∠DAC=40°．
故答案为：40°．
根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线，再根据三角形内角和定理不难求得顶角的度数，最后根据角平分线的定义即可求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．

13.【答案】x≥−1 
【解析】解：观察图象知：当x≥−1时，kx+b≥3，
所以不等式kx+b≥3的解集为x≥−1，
故答案为：x≥−1．
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．

14.【答案】8 
【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，
∴CD=12AC=12AB=12×4 2=2 2，
∴△ABC的面积=12AB⋅CD=12×4 2×2 2=8，
故答案为：8．
先根据题意画出△ABC，作出它的高线CD，根据三角形的外角性质可求得∠CAD=30°，由直角三角形30°角所对边是斜边的一半可求得CD的长度，由此可求△ABC的面积．
本题考查含30°角直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记这些性质并能灵活运用是解题的关键，作出图形更形象直观．

15.【答案】14 
【解析】解：设小华答对x道题，
∵得分要超过100分，
∴10x−5(20−x)>100，
得x>20015=1313，
由x为整数，得x≥14，
故她至少要答对14道题．
故答案为：14．
利用一元一次不等式应用，找到不等关系，列式求解．
本题考查一元一次不等式的应用，需要结合实际进行设元列不等式，在计算中注意实际问题的非负、取整等特性．

16.【答案】3 135 
【解析】解：∵AB的垂直平分线分别交AD，AC于点E，F，
∴AE=BE，AF=BF，
又∵EF=EF，
∴△AEF≌△BEF(SSS)，
∴∠EAF=∠EBF，
∵BF平分∠EBC，
∴∠EBF=∠FBC，
∴∠EAF=∠FBC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BFC，
∴ADBF=CDCF，
∵AD⊥BC于点D，AD=3，CD=2，
∴∠ADC=90°，
由勾股定理得AC= AD2+CD2= 13，
∴3BF=3 13−BF，
解得BF=3 135，
∴AF=3 135，
故答案为：3 135．
利用线段垂直平分线的性质定理可证明△AEF≌△BEF(SSS)，再结合角平分线的意义可证明△ADC∽△BFC，利用相似三角形的性质和勾股定理即可求解．
本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，相似三角形的判定和意义，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

17.【答案】解：2x+14−1≤x−13，
去分母，得：3(2x+1)−12≤4(x−1)，
去括号，得：6x+3−12≤4x−4，
移项及合并同类项，得：2x≤5，
系数化为1，得：x≤52．
其解集在数轴上表示为：
． 
【解析】根据去分母、去括号、移项及合并同类项，系数化为1解不等式，再将不等式的解集在数轴上表示即可．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．

18.【答案】解：(1)解方程3x−a=4，得x=a+43，
∵该方程的解满足x>−2，
∴a+43>−2，
解得a>−10；
(2)解不等式x−2(3x−1)≥x+4，得x≤−13，
∴该不等式的最大的整数解是x=−1．
∵该方程的解是不等式x−2(3x−1)≥x+4的最大整数解，
∴3×(−1)−a=4，
解得a=−7． 
【解析】(1)先求出方程的解，再根据方程的解满足x>−2，得到关于x的不等式，即可求解；
(2)求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式x−2(3x−1)≥x+4的最大整数解，即可求得a的值．
本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．

19.【答案】解：(1)如图即为补全的图2；

(2)证明：∵PA=PB，PQ平分∠APB．
∴PQ⊥AB(三线合一)，
即PQ⊥l． 
【解析】(1)根据作图过程即可补全图2；
(2)根据等腰三角形的性质即可证明．
本题考查了作图——复杂作图，作垂线，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

20.【答案】解：(1)设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得：2x+y=2203x+2y=360，
解得：x=80y=60．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
(2)设甲商品购入a件，则购进乙种商品(70−a)件，
根据题意得：80a+60(70−a)≤4650，
解得：a≤22.5，
∵a为正整数，
∴甲商品最多购入22件． 
【解析】(1)设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即可；
(2)设甲商品购入a件，则购进乙种商品(70−a)件，根据总进价不超过4650元列一元一次不等式求解即可．
本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．

21.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠BAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴EA=ED．
∵CD⊥AD于点D，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠CDE=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CDE=∠ACD，
∴ED=EC，
∴EA=EC，即E为AC的中点． 
【解析】根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠ADE，然后求出∠EDA=∠CAD，根据等角对等边可得AE=DE，根据等角对等边可得进而即可得到证明．
本题考查了角平分线的定义(从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线)，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．

22.【答案】180°−α2 
【解析】(1)证明：如图，连接PA，PB，PC．

∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴PA=PB，PA=PC，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
(2)证明：由(1)知PB=PC，
∴∠PBF=∠PCN，
∵PE垂直平分AB，
∴PA=PB，FA=FB，
∴∠PAB=∠PBA，∠FAB=∠FBA，
∴∠PAF=∠PBF，
同理∠PAN=∠PCN，
∴∠PAF=∠PAN，即AP平分∠FAN．
(3)解：∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，
∴FA=FB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=90°，
设∠B=x，∠C=y，
∴∠B=x=∠BAF，∠C=y=∠CAN，
在△ABC中，∠B+∠C+∠CAB=180°，∠FAN=α，
∴x+y+x+y+α=180°，即180°−α2=x+y，
在四边形AEPM中，∠AEP+∠AMP+∠EAM+∠FPN=360°，
∴∠FPN=360°−90°−90°−(x+y+α)=180°−(180°−α2+α)=180°−α2，
故答案为：180°−α2．
(1)连接PA，PB，PC，根据线段垂直平分线的性质可得PB=PC，即可判定；
(2)根据等边对等角和线段垂直平分线的性质即可求解；
(3)由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．

23.【答案】(0.7x+60)  0.8x 
【解析】解：(1)在甲商场购买的优惠价=200+70%×(x−200)=(0.7x+60)元，
在乙商场购买的优惠价0.8x元，
故答案为：(0.7x+60)，0.8x；
(2)0.7x+60=0.8x，解得：x=600；
0.7x+60<0.8x，解得：x>600；
∴当x=600时，顾客在甲、乙商场购物花费相等；
当x>600时，顾客在甲商场购物花费少；
当200 (3)当x≥1000时，由题意得0.6(x−1000)+1000×0.8>0.7x+60，
解得x<1400，
由(2)得，当x>600时，顾客在甲商场购物花费少；
∴当600 (1)根据甲乙的促销方案进行解答即可；
(2)根据(1)中表示出在甲乙两商场的花费列出不等式，分情况讨论，即可求解；
(3)当x≥1000时，由题意列出一元一次不等式，即可求解．
本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及分类讨论等知识，解答本题的关键是：(1)正确列出代数式；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式或一元一次方程；(3)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠B，∠CED=∠A，
∴∠CDE=∠CED=∠C=60°，
∴△CDE是等边三角形．
(2)①证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE．
②解：由△BCD≌△ACE知，∠CBD=∠CAE，

设AC交BD于点O，
∴∠BOC=∠AOM，
∴∠AMB=∠BCA=60°．
(3)解：过点A作AM⊥BD于M，过点C作CN⊥BD于N，如图所示，

∴∠AMB=90°=∠BNC=∠DNC，
∵△ABC为等边三角形，且∠ADB=60°，
∴∠C=∠ADB=60°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADM=60°=∠BDC，
∴∠DCN=30°=∠DAM，
∵AB= 2=BC，CD=1，
∴DN=12，由勾股定理得CN= 32，
在Rt△BCN中，BN= BC2−CN2= 52，
∴BD=DN+BN=12+ 52= 5+12，
设DM=t，则AM= 3t,BM=BD−DM= 5−12−t，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2=AM2+BM2，
∴( 2)2=( 3t)2+( 5−12−t)2，
解得t=12或 5−14，
∴AM= 32或 15− 34，
即点A到直线BD的距离为 32或 15− 34． 
【解析】(1)根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质求解即可；
(2)①根据SAS证明△BCD≌△ACE，再由全等三角形的性质证明即可；
②根据全等三角形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理求解即可；
(3)过点A作AM⊥BD于M，过点C作CN⊥BD于N，由等边三角形的性质和已知条件可得A、B、C、D四点共圆，再根据圆周角定理得出∠ADM=60°=∠BDC，设DM=t，则AM= 3t,BM=BD−DM= 5−12−t，利用直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理进行求解即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，四点共圆，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵点C的横坐标为3，
∴对于y=43x，令x=3，得y=43×3=4，
∴C(3,4)，
把A(0,6)，C(3,4)代入y=kx+b，
得3k+b=4b=6，
解得k=−23b=6，
∴y=−23x+6．
(2)当y=−23x+6=0时，x=9，
∴B(9,0)，
设D(t,0)(t>0)，
∵C(3,4)，
∴BC= (9−3)2+42,CD= (3−t)2+42,BD= (9−t)2，
当BC=BD时，即 (9−3)2+42= (9−t)2，
解得t=9±2 13，
当BC=CD时，即 (9−3)2+42= (3−t)2+42，
解得t=9或−3(舍去)，
当BD=CD时，即 (3−t)2+42= (9−t)2，
解得t=143，
∴点D的坐标为(9+2 13,0)或(9−2 13,0)或(143,0)；
(3)①设直线OC的解析式为y=k1x，
把C(3,4)代入，得4=3k1，
解得k1=43，
∴直线OC的解析式为y=43x，
当x=m时，y=43m，
∴E(m,43m)，
∵A(0,6)，B(9,0)，
∴OA=6，OB=9，
∴S△ABO=12OB⋅OA=12×9×6=27>18，
∴m>0且m≠3，
当S△ABE≤18时，点E有两种情况，讨论如下：
当0 解得m≥1，
∴1≤m<3；
当m>3时，S△ABE=S四边形OAEB−S△AOB=12×(6+43m)×m+12×(9−m)×43m−27=9m−27≤18，
解得m≤5，
∴3 综上，1≤m≤5且m≠3；
②当点E在直线AB上方时，
如图，以线段AB为边在其上方作正方形ABMN，连接BN，交OC于E，过点N作NP⊥y轴于点P，

∴∠BAN=∠AOB=∠APN=90°，AN=AB，
∴∠PAN+∠OAB=90°=∠OAB+∠OBA，
∴∠PAN=∠OBA，
∴△APN≌△BOA(AAS)，
∴PN=OA=6，AP=OB=9，
∴OP=15，即N(6,15)，
设直线BN的解析式为y=k2x+b2，
把点B、N的坐标代入得15=6k2+b20=9k2+b2，
解得k2=−5，b2=45，
∴直线BN的解析式为y=−5x+45，
联立y=−5x+45y=43x，
解得x=13519y=18019，
此时，点E坐标为(13519,18019)；
当点E在直线AB下方时，同理可得N(6,15)，
∴直线BN的解析式为y=15x−95，
联立可得点E坐标为(−2717,−3617)；
综上，点E坐标为(13519,18019)或(−2717,−3617)． 
【解析】(1)先求出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
(2)设D(t,0)(t>0)，分别表示出BC= (9−3)2+42,CD= (3−t)2+42,BD= (9−t)2，分三种情况讨论，建立方程求解即可；
(3)①先利用待定系数法求直线OC的解析式，进而表示出E(m,43m)，计算S△ABO=27>18，可得m>0且m≠3，当S△ABE≤18时，点E有两种情况，分别讨论当03时，S△ABE=S四边形OAEB−S△AOB，进而求解即可；
②分别讨论当点E在直线AB上方和下方两种情况，以线段AB为边在其上方作正方形ABMN，连接BN，交OC于E，过点N作NP⊥y轴于点P，通过证明△APN≌△BOA(AAS)，根据全等三角形的性质得出N(6,15)，再利用待定系数法求出直线BN的解析式，联立y=43x求解即可．
本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．