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    2024西安五校联考高一上学期期末考试数学含解析

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    这是一份2024西安五校联考高一上学期期末考试数学含解析,共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分.,考试结束后,将答题卡交回.等内容,欢迎下载使用。

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
    2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
    3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.
    4.考试结束后,将答题卡交回.
    第I卷(选择题 共60分)
    一、选择题(12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 设,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
    2. (多选)已知集合,则使的实数的取值范围可以是( )
    A. B.
    C. D.
    3. 设全集集合,集合若,则应该满足的条件是
    A. B. ≥C. D. ≤
    4. 关于的不等式的解集为空集,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    5. 若函数是上的减函数,,则下列不等式一定成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    6. 已知函数是奇函数,在上是减函数,且在区间上值域为,则在区间上( )
    A. 有最大值4B. 有最小值-4C. 有最大值-3D. 有最小值-3
    7. 为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
    A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
    C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
    8. 化简:得( )
    A. B.
    C. D.
    9. 定义在R上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则( )
    A. 的图象关于点成中心对称B. 对任意整数,
    C. 的值域为D. 的实数根个数为7
    10. 函数的图像为( )
    A. B.
    C. D.
    11. 若一些函数的解析式和值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数,与函数,就是“同族函数”.下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是( )
    A. B.
    C D.
    12. 若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是( )
    A. 和B. 1和C. 和D. 和
    第II卷(非选择题 共90分)
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知集合,,若集合A,B中至少有一个非空集合,实数a取值范围_______.
    14. 已知函数(为常数),若时,恒成立,则的取值范围是______.
    15. 若函数在区间上是增函数,则a的取值范围__________.
    16. 已知函数在上的最大值与最小值的和为3,则函数的单调递减区间为 _____.
    三、解答题(本大题共5小题,共70分)
    17 已知集合,,全集.
    (1)当时,求,;
    (2)若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围.
    18. 已知函数.
    (1)判断函数在区间上的单调性;
    (2)用定义证明(1)中结论;
    (3)求该函数在区间上的最大值和最小值.
    19. 若,且
    (1)求的取值范围;
    (2)求的最小值,以及此时对应的的值.
    20. 已知函数.
    (1)若,证明:;
    (2)若是定义在上的奇函数,且当时,.
    (ⅰ)求的解析式;
    (ⅱ)求方程所有根.
    21. 已知函数.
    (1)求函数的最小值,并写出取得最小值时自变量的取值集合;
    (2)若,求函数的单调减区间.高一数学期末检测卷
    注意事项:
    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
    2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
    3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.
    4.考试结束后,将答题卡交回.
    第I卷(选择题 共60分)
    一、选择题(12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1. 设,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】解不等式得到,根据范围大小关系得到答案.
    【详解】,,故“”是“”的必要不充分条件.
    故选:C
    2. (多选)已知集合,则使的实数的取值范围可以是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】,分不为空集、为空集,分别求的范围可得答案.
    【详解】,
    ①若不为空集,则,解得,
    ,且,
    解得,此时;
    ②若为空集,则,解得,符合题意,
    综上实数满足即可,
    故选:ACD.
    3. 设全集集合,集合若,则应该满足的条件是
    A. B. ≥C. D. ≤
    【答案】B
    【解析】
    【详解】由得:,由,得≥,故选B.
    4. 关于的不等式的解集为空集,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据题意,分和,两种情况讨论,结合二次函数的性质,即可求解.
    【详解】由不等式的解集为空集,
    当时,即时,不等式不成立,所以不等式的解集为空集;
    当时,即时,要使得的解集为空集,
    则满足,解得,
    综上可得,实数的取值范围为.
    故选:D.
    5. 若函数是上的减函数,,则下列不等式一定成立的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据函数单调性,以及题中条件,逐项判断,即可得出结果.
    【详解】因为函数是上的减函数,,
    A选项,,当时,,所以;当时,,所以,即B不一定成立;
    B选项,当时,,所以;当时,,所以,即B不一定成立;
    C选项,时,,则,所以C不成立;
    D选项,,则;所以,即D一定成立.
    故选:D.
    6. 已知函数是奇函数,在上是减函数,且在区间上的值域为,则在区间上( )
    A. 有最大值4B. 有最小值-4C. 有最大值-3D. 有最小值-3
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据奇函数的性质,分析在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值.
    【详解】∵是奇函数,在上是减函数,
    ∴在上也是减函数,即在区间上递减.
    又∵在区间上的值域为,

    根据奇函数的性质可知且在区间上单调递减,
    ∴在区间上有最大值3,有最小值-4.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.
    7. 为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点( )
    A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
    C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
    【答案】D
    【解析】
    【分析】将函数化为,再进行判断.
    【详解】,
    它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的,所以D正确.
    故选:D.
    8. 化简:得( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据诱导公式以及平方公式可化简为,再结合角是第二象限角,确定正负,即可得结果.
    【详解】解:
    又因为角时第二象限角,所以,所以.
    故选:C.
    9. 定义在R上的函数满足,函数为偶函数,且当时,,则( )
    A. 的图象关于点成中心对称B. 对任意整数,
    C. 的值域为D. 的实数根个数为7
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】利用函数的对称性、周期性以及时,,可作出的完整图象,数形结合求解.
    【详解】由可得函数以4为周期,
    又由函数为偶函数可得,
    所以函数的一条对称轴为,
    又由时,,所以作出函数图象如下,
    所以由图可知,的图象不关于点成中心对称,A错误;
    对任意整数,,B正确;
    的值域为,C正确;
    由可得,令,
    作出如图,
    注意到
    ,,
    所以的图象和的图象共有7个交点,
    即的实数根个数为7,D正确;
    故选:BCD.
    10. 函数的图像为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
    【详解】函数的定义域为,可以排除选项B、C;
    由,
    可知函数为偶函数,其图像应关于y轴轴对称,可以排除选项D.
    故选:A
    11. 若一些函数的解析式和值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数,与函数,就是“同族函数”.下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据“同族函数”的定义可知“同族函数”不会为单调函数,由此判断各选项中函数的单调性,即可判断出答案.
    【详解】对于A,函数,,与函数,,符合“同族函数”定义,A正确;
    对于B,C,函数和在各自定义域上都是单调递增函数,
    当自变量x取值不同时,函数值不同,因此无法用来构造“同族函数”,B,C错误;
    对于D,在上均单调递减,当自变量x取值不同时,函数值不同,
    因此无法用来构造“同族函数”,D错误,
    故选:A
    12. 若函数的两个零点是2和3,则函数的零点是( )
    A. 和B. 1和C. 和D. 和
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据函数的两个零点是2和3,求得a,b,得到求解.
    【详解】函数的两个零点是2和3,
    ,3是方程的两个根,
    则,,
    即,,

    由,解得和,
    故函数的零点是1和,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查函数零点的求法,属于基础题.
    第II卷(非选择题 共90分)
    二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13. 已知集合,,若集合A,B中至少有一个非空集合,实数a的取值范围_______.
    【答案】或且
    【解析】
    【分析】先考虑A,B为空集得出a的范围,再利用补集思想求得结果.
    【详解】对于集合A,由,解得;
    对于集合B,由,解得.
    因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,
    所以a的取值范围是或,且
    故答案为:或且
    14. 已知函数(为常数),若时,恒成立,则的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】令,分离常数,由此求得的取值范围.
    【详解】依题意时,恒成立,即,,,在时成立.而在区间上,为单调递增函数,当时有最小值为,故,所以.
    故答案
    【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解,考查指数函数和对数函数的性质,属于基础题.
    15. 若函数在区间上是增函数,则a的取值范围__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用二次函数单调性列出不等式,求解不等式即得.
    【详解】函数图象开口向上,对称轴为,
    由函数在区间上单调递增,得,解得,
    所以a的取值范围是
    故答案为:
    16. 已知函数在上的最大值与最小值的和为3,则函数的单调递减区间为 _____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由指数函数的单调性可得的最值,解方程可得,再由复合函数的单调性,结合对数函数和二次函数的单调性,可得所求减区间.
    【详解】当时,在递增,可得,即;
    当时,在递减,可得,即,舍去;
    所以即,
    设,则.
    因为在递增,
    所以要求函数的单调递减区间,
    只需求的减区间.
    而的减区间为,
    故答案为:.
    三、解答题(本大题共5小题,共70分)
    17. 已知集合,,全集.
    (1)当时,求,;
    (2)若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围.
    【答案】(1)A∩B={x|1≤x≤4},(∁UA)∩(∁UB)={x|x<﹣2或x>7};(2)(﹣∞,﹣4)∪[﹣1,]
    【解析】
    【分析】(1)当时,得到,再计算,得到答案.
    (2)将充分不必要条件转化为A⫋B,再讨论和两种情况,分别计算得到答案.
    【详解】(1)当a=2时,A={x|1≤x≤7},则A∩B={x|1≤x≤4};
    ∁UA={x|x<1或x>7},∁UB={x|x<﹣2或x>4},
    (∁UA)∩(∁RB)={x|x<﹣2或x>7};
    (2)∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,∴A⫋B,
    ①若A=∅,则a﹣1>2a+3,解得a<﹣4;
    ②若A≠∅,由A⫋B,得到,且a﹣1≥﹣2与2a+3≤4不同时取等号
    解得:﹣1≤a,
    综上所述:a的取值范围是(﹣∞,﹣4)∪[﹣1,].
    【点睛】本题考查了集合的运算,根据集合关系求参数,将充分不必要条件转化为A⫋B是解题的关键
    18. 已知函数.
    (1)判断函数在区间上的单调性;
    (2)用定义证明(1)中结论;
    (3)求该函数在区间上最大值和最小值.
    【答案】(1)函数在单调递增
    (2)见解析 (3)最大值为,最小值为
    【解析】
    【分析】(1)将化为,即可判单调性;
    (2)取值,作差,变形,定号;
    (3)根据(2)的结论得出答案.
    【小问1详解】

    因为在单调递减,所以在单调递增.
    【小问2详解】
    任取,设,

    所以,故函数在单调递增.
    【小问3详解】
    由(2)得在区间上的最大值为,
    在区间上的最小值为,
    该函数在区间上的最大值为,最小值为.
    19. 若,且
    (1)求的取值范围;
    (2)求的最小值,以及此时对应的的值.
    【答案】(1);
    (2)时,取最小值为
    【解析】
    【分析】(1)利用基本不等式可得出关于的不等式,即可得出的最小值;
    (2)利用条件等式,得到,进而有,利用基本不等式可得答案.
    【小问1详解】
    ,,,得,解得,明显可得,
    的取值范围为
    【小问2详解】
    由得,,结合得

    当且仅当时,等式成立,解得,,
    即当时,取最小值为
    20. 已知函数.
    (1)若,证明:;
    (2)若是定义在上的奇函数,且当时,.
    (ⅰ)求的解析式;
    (ⅱ)求方程的所有根.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)(ⅰ);(ⅱ),,
    【解析】
    【分析】(1)根据对数函数的性质,基本不等式结合条件即得;
    (2)根据奇函数的性质可得函数的解析式,方程转化成曲线与直线的交点情况,结合函数的图象和性质即得.
    【小问1详解】
    证明:因为,
    所以,,
    由基本不等式,当时,,
    即,
    即;
    【小问2详解】
    (ⅰ)依题意得,当时,,
    因为是定义在上的奇函数,所以,代入上式成立,
    即当时,,
    设,则,所以,
    所以;
    (ⅱ)方程转化成曲线与直线的交点情况,
    当时,与交于点和点,

    由(1)知的图象总是向上凸的,所以除外不会有其它交点,
    同理,当时,根据对称性,两个图象还有一个交点,
    所以方程有三个根,,.
    21. 已知函数.
    (1)求函数的最小值,并写出取得最小值时自变量的取值集合;
    (2)若,求函数的单调减区间.
    【答案】(1)有最小值为0,的取值集合是;
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)应用同角平方关系、二倍角正余弦公式及和角余弦公式可得,根据余弦函数的性质求其最小值,并写出对应的取值即可.
    (2)整体代入法求的减区间,再确定上的减区间.
    【小问1详解】
    ==,
    当,即时,函数有最小值为0,
    ∴取得最小值时自变量的取值集合是.
    【小问2详解】
    由,得:,又,
    ∴,
    故上的单调减区间为.
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