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陕西省西安八校2024届高三下学期联考理科数学试题（原卷版+解析版）
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（八校顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列；再行增减校名时“八校联考”名称不变）
2024届高三年级数学（理科）试题
命题：特聘教研员 文德靖
审校：朱景峰
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．
5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知全集，集合，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求集合中函数的值域，得到集合，再由集合交集和补集的定义求.
【详解】函数值域为，则，
又，则有，所以.
故选：D.
2. 是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，，，再结合复数的四则运算求解即可.
【详解】因为复数，
所以，，
所以，
故选：B.
3. 已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【详解】因为的周期是3，
所以，令2x=y，
则，所以的周期为6，
故选：C．
4. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
【详解】由图可得，，，所以，
所以，因为在函数的图像上，
可得，解得，
因为，所以，，
所以
.
故选：B.
5. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，将前项和变形，再结合充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，所以，即，
又是公差为的等差数列，所以；
又时，有，即，即，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
6. 之前7年，我国生活垃圾无害处理量如下表：
通过计算，线性相关系数则（ ）．
A. 与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好
B. 与的线性相关性比较弱，可以用线性回归模型拟合与的关系
C. 与不线性相关，用线性回归模型㧍合与的关系，会有很大误差
D. 与不线性相关，不可以用线性回归模型拟合与的关系
【答案】A
【解析】
【分析】计算出线性相关系数，判断出与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好.
【详解】，
，
，
所以与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好.
故选：A
7. 已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案.
【详解】因为的定义域为0,+∞，
所以，
令f'x>0，解得：或，
令f'x<0，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
所以或，
解得：或.
所以的取值范围为：.
故选：A.
8. 一个正四棱锥的主视图如图所示，，则该四棱锥的表面积为（ ）．
A. B. C. 46D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】依题意由主视图得到直观图，求出底面边长，再由表面积公式计算可得.
【详解】由主视图可得如下直观图，设，则平面，
又，，所以，
则，，
所以该四棱锥的表面积.
故选：D
9. 的展开式的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式的项为或，
令时，，
令时，，
所以展开式的常数项为，
故选：A.
10. 在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
【详解】由题意，
而，
所以.
故选：D
11. 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（ ）．
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点.
【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为，
为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点，
设的内切圆与分别切于，如图所示，
则根据双曲线的定义及圆的性质可知：，
又，得，故为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为时，
为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），
设的内切圆与分别切于，
可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标.
所以此时的内切圆恒过定点.
故选：B.
12. 已知函数，则从大到小顺次为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，确定其单调性，根据，结合单调性求解即可.
【详解】的定义域为，得．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在区间上当时取得最大值．
得，且．
又因为，
所以，．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数为偶函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为偶函数得恒成立，利用两角和与差的正弦公式化简得恒成立，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】函数为偶函数，
所以恒成立，即，
所以，
即恒成立，又不恒成立，
所以恒成立，即，
又，所以，
故答案为：.
14. 已知在平面直角坐标系中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形是平行四边形，利用向量加减法的三角形法则及坐标运算即可求解.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
所以，
，
所以.
故答案为：
15. 公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答）______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果.
【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有种选法，
又将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有种分法，
所以不同分配方案种数为.
故答案为：.
16. 已知函数，则的概率为______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据题意，，令，则，应用线性规划，画出其可行域，根据几何概型的概率公式求解即可.
【详解】
．令，则
满足的关系表示矩形区域的面积；是表示梯形区域．
应用线性规划，矩形面积为，梯形面积为，
得所求概率为．
故答案为：.
三、解答题（共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列满足，．
（1）写出数列的前五项，由此五项，写出数列的一个通项公式（不需要证明）；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求出前五项即可，再根据前五项即可得出数列得通项；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
，，
，
同理，，
数列的前五项顺次为，即，
由数列的前五项，得数列的一个通项公式为；
【小问2详解】
由（1）知，
①，
②，
由①②得
，
.
18. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表：
（1）①完成上面列联表；
②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
（2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望．
附：参考公式和临界值表，其中，．
【答案】（1）①列联表见解析；②
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）①依题意补全列联表；②计算值和临界值比较，得到把握性；
（2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知的可能取值为，再利用古典概型求出相应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
①由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人，
得完整列联表如下表：
②，而．
所以有的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关．
【小问2详解】
由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人，
易知的可能取值为，
，，
，
所以的分布列为
.
19. 如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若，，，是棱上的点，且直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．
【答案】（1）证明见解析
（2）点为上靠近的三等分点
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质，得到，利用直三棱柱的结构特征，可得，再用线面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，利用线面角的向量法，即可求出结果.
【小问1详解】
因为平面，面，所以，又，所以，
又三棱柱是直三棱柱，所以，
又易知与相交，面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，又，所以，
则，
所以，
设，所以，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，整理得到，
解得或（舍），所以点为上的三等分点，且，
即点为上靠近的三等分点.
20. 在直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大2．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过轴上的点的任意直线，交轨迹于不同两点和；交轴于，且，求的值．
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点满足的条件，列出方程化简即可得解；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，消元后可得根与系数的关系，再由向量的坐标运算化简即可得解.
【小问1详解】
设到轴的距离为．
轨迹即集合．
，化简整理，得①
当时，①即；当时，①即．
点的轨迹的方程为或．
【小问2详解】
由知直线与轨迹的交点，不可能在轴的负半轴（包括原点）上．
所以只需考虑时，轨迹与直线的关系．
由题意，直线斜率存在且不等于零，
设直线的方程为，,如图，
则,
由，消去，得，
恒成立．
则．
．
，
解得．
.
21. 已知函数，的图像在1,f1处的切线过原点．
（1）求的值；
（2）设，，若对，总，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求出结果；
（2）先利用二次函数性质得，再结合上问得，利用导数研究单调性，结合隐零点得最小值，解不等式即可.
【小问1详解】
易知的定义域为，且，
又，所以，
得到的图象在处的切线方程为，
将代入，得.
【小问2详解】
，
当时，取得最小值，，
由（1）知，所以，得，易知的定义域为，
则，易知单调递增，
又，，
即在区间上有唯一解，使，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
在处取得极小值也是最小值，
则，当且仅当，即取等号
又，所以，
所以对，总，使成立，
只需，得，
故实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，根据二次函数求，解不等式即可.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．
[选修4-4 极坐标与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线过点．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）若直线还经过点的极坐标为，求直线的极坐标方程；
（2）若直线与圆有公共点，直线倾斜角为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的极坐标得出直角坐标，与联立得出直线的直角坐标方程，再将代入即可；
（2）由圆的参数方程得出圆的普通方程，分类讨论直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角的取值范围．
【小问1详解】
由点的极坐标为，得点的直角坐标为，
所以直线的直角坐标方程为，即．①
将代入①，得的极坐标方程为．
【小问2详解】
因为圆的参数方程为（为参数），消去参数，得圆的普通方程为，圆心，圆的半径．
当时，直线即为轴，直线与圆有两个交点，符合题意；
当时，设直线的斜率为，则，圆心到直线的距离为，
因为直线与圆有公共点，则，
所以，解得或，
当时，；当时，．
综上所述，直线与圆有公共点时，的取值范围为．
[选修不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）若，设，求的最小值及取最小值时的值；
（2）若关于的方程有三个解，求实数取值范围.
【答案】（1）12，取最小值时或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值求解即可；
（2）设，把原方程有三个解转化为两个函数有三个交点，作出函数图象，数形结合即可求解.
【小问1详解】
.
.
当且仅当，即或时取等号.
当无限趋近于时，无限趋近于0，无限趋近于正无穷大.
取最小值时或.
【小问2详解】
设.
关于的方程有三个解，
即直线与函数Fx的图象有三个交点.
作函数Fx的图象和直线.
结合图象，得.
关于的方程有三个解时，实数的取值范围为0,1.
序号
1
2
3
4
5
6
7
年
1
2
3
4
5
6
7
处理量
满意
不满意
合计
男
40
女
20
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男
40
20
60
女
20
20
40
吕计
60
40
100
（八校顺序以校名全称按汉语拼音方案字母表顺序排列；再行增减校名时“八校联考”名称不变）
2024届高三年级数学（理科）试题
命题：特聘教研员 文德靖
审校：朱景峰
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．
5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 已知全集，集合，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求集合中函数的值域，得到集合，再由集合交集和补集的定义求.
【详解】函数值域为，则，
又，则有，所以.
故选：D.
2. 是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，，，再结合复数的四则运算求解即可.
【详解】因为复数，
所以，，
所以，
故选：B.
3. 已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【详解】因为的周期是3，
所以，令2x=y，
则，所以的周期为6，
故选：C．
4. 已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
【详解】由图可得，，，所以，
所以，因为在函数的图像上，
可得，解得，
因为，所以，，
所以
.
故选：B.
5. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，将前项和变形，再结合充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，所以，即，
又是公差为的等差数列，所以；
又时，有，即，即，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
6. 之前7年，我国生活垃圾无害处理量如下表：
通过计算，线性相关系数则（ ）．
A. 与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好
B. 与的线性相关性比较弱，可以用线性回归模型拟合与的关系
C. 与不线性相关，用线性回归模型㧍合与的关系，会有很大误差
D. 与不线性相关，不可以用线性回归模型拟合与的关系
【答案】A
【解析】
【分析】计算出线性相关系数，判断出与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好.
【详解】，
，
，
所以与的线性相关性很强，用线性回归模型拟合与的关系比较好.
故选：A
7. 已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案.
【详解】因为的定义域为0,+∞，
所以，
令f'x>0，解得：或，
令f'x<0，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
所以或，
解得：或.
所以的取值范围为：.
故选：A.
8. 一个正四棱锥的主视图如图所示，，则该四棱锥的表面积为（ ）．
A. B. C. 46D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】依题意由主视图得到直观图，求出底面边长，再由表面积公式计算可得.
【详解】由主视图可得如下直观图，设，则平面，
又，，所以，
则，，
所以该四棱锥的表面积.
故选：D
9. 的展开式的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的展开式的通项公式，得的展开式的项为或，即可求出结果.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
所以的展开式的项为或，
令时，，
令时，，
所以展开式的常数项为，
故选：A.
10. 在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形，利用直角三角形求解即可.
【详解】由题意，
而，
所以.
故选：D
11. 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（ ）．
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点.
【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为，
为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点，
设的内切圆与分别切于，如图所示，
则根据双曲线的定义及圆的性质可知：，
又，得，故为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为时，
为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），
设的内切圆与分别切于，
可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标.
所以此时的内切圆恒过定点.
故选：B.
12. 已知函数，则从大到小顺次为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数求导，确定其单调性，根据，结合单调性求解即可.
【详解】的定义域为，得．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在区间上当时取得最大值．
得，且．
又因为，
所以，．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数为偶函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为偶函数得恒成立，利用两角和与差的正弦公式化简得恒成立，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】函数为偶函数，
所以恒成立，即，
所以，
即恒成立，又不恒成立，
所以恒成立，即，
又，所以，
故答案为：.
14. 已知在平面直角坐标系中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据四边形是平行四边形，利用向量加减法的三角形法则及坐标运算即可求解.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
所以，
，
所以.
故答案为：
15. 公司的甲部门有3男2女五名职工，乙部门有2男3女五名职工．公司通知每个部门任选2名职工，且所选的4名职工必须是2男2女，公司再将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，则不同的分配方案种数为（用数字作答）______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步计数原理，先求出从甲、乙两部门各选2名职工的选法和将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项的分法，即可求出结果.
【详解】因为从甲、乙两部门各选2名职工，且所选的4名职工是2男2女，有种选法，
又将四个不同新型项目随机分配给每人分管一项，有种分法，
所以不同分配方案种数为.
故答案为：.
16. 已知函数，则的概率为______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据题意，，令，则，应用线性规划，画出其可行域，根据几何概型的概率公式求解即可.
【详解】
．令，则
满足的关系表示矩形区域的面积；是表示梯形区域．
应用线性规划，矩形面积为，梯形面积为，
得所求概率为．
故答案为：.
三、解答题（共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列满足，．
（1）写出数列的前五项，由此五项，写出数列的一个通项公式（不需要证明）；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求出前五项即可，再根据前五项即可得出数列得通项；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
，，
，
同理，，
数列的前五项顺次为，即，
由数列的前五项，得数列的一个通项公式为；
【小问2详解】
由（1）知，
①，
②，
由①②得
，
.
18. “民政送温暖，老人有饭吃”．近年来，各级政府，重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区，创建了“爱心食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．“爱心食堂A”为了更好地服务老人，于3月28日12时，食堂管理层人员对这一时刻用餐的118人，对本食堂推出的15种菜品按性价比“满意”和“不满意”作问卷调查，其中，有13人来食堂用餐不足5次，另有儿童5人，他们对菜品不全了解，不予问卷统计，在被问卷的人员中男性比女性多20人．用餐者对15种菜品的性价比认为“满意”的菜品数记为，当时，认为该用餐者对本食堂的菜品“满意”，否则，认为“不满意”.统计结果部分信息如下表：
（1）①完成上面列联表；
②能有多大（百分比）的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关？
（2）用分层抽样在对菜品的性价比“满意”的人群中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，用表示抽取的3人中的男性人数，求的分布列和期望．
附：参考公式和临界值表，其中，．
【答案】（1）①列联表见解析；②
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）①依题意补全列联表；②计算值和临界值比较，得到把握性；
（2）根据分层抽样，得到男性4人和女性2人，从而可知的可能取值为，再利用古典概型求出相应取值的概率，即可求出分布，再利用期望的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
①由题意，问卷调查人数为（人），其中，男性60人，女性40人，
得完整列联表如下表：
②，而．
所以有的把握认为用餐者对本食堂菜品的性价比是否满意与性别有关．
【小问2详解】
由（1）知，对菜品的性价比“满意”的人群中有40名男性和20名女性，用分层抽样分别抽取男性4人和女性2人，
易知的可能取值为，
，，
，
所以的分布列为
.
19. 如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若，，，是棱上的点，且直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．
【答案】（1）证明见解析
（2）点为上靠近的三等分点
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质，得到，利用直三棱柱的结构特征，可得，再用线面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，利用线面角的向量法，即可求出结果.
【小问1详解】
因为平面，面，所以，又，所以，
又三棱柱是直三棱柱，所以，
又易知与相交，面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，又，所以，
则，
所以，
设，所以，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
所以，整理得到，
解得或（舍），所以点为上的三等分点，且，
即点为上靠近的三等分点.
20. 在直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大2．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过轴上的点的任意直线，交轨迹于不同两点和；交轴于，且，求的值．
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点满足的条件，列出方程化简即可得解；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，消元后可得根与系数的关系，再由向量的坐标运算化简即可得解.
【小问1详解】
设到轴的距离为．
轨迹即集合．
，化简整理，得①
当时，①即；当时，①即．
点的轨迹的方程为或．
【小问2详解】
由知直线与轨迹的交点，不可能在轴的负半轴（包括原点）上．
所以只需考虑时，轨迹与直线的关系．
由题意，直线斜率存在且不等于零，
设直线的方程为，,如图，
则,
由，消去，得，
恒成立．
则．
．
，
解得．
.
21. 已知函数，的图像在1,f1处的切线过原点．
（1）求的值；
（2）设，，若对，总，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求出结果；
（2）先利用二次函数性质得，再结合上问得，利用导数研究单调性，结合隐零点得最小值，解不等式即可.
【小问1详解】
易知的定义域为，且，
又，所以，
得到的图象在处的切线方程为，
将代入，得.
【小问2详解】
，
当时，取得最小值，，
由（1）知，所以，得，易知的定义域为，
则，易知单调递增，
又，，
即在区间上有唯一解，使，则，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
在处取得极小值也是最小值，
则，当且仅当，即取等号
又，所以，
所以对，总，使成立，
只需，得，
故实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，根据二次函数求，解不等式即可.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．
[选修4-4 极坐标与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线过点．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）若直线还经过点的极坐标为，求直线的极坐标方程；
（2）若直线与圆有公共点，直线倾斜角为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由的极坐标得出直角坐标，与联立得出直线的直角坐标方程，再将代入即可；
（2）由圆的参数方程得出圆的普通方程，分类讨论直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角的取值范围．
【小问1详解】
由点的极坐标为，得点的直角坐标为，
所以直线的直角坐标方程为，即．①
将代入①，得的极坐标方程为．
【小问2详解】
因为圆的参数方程为（为参数），消去参数，得圆的普通方程为，圆心，圆的半径．
当时，直线即为轴，直线与圆有两个交点，符合题意；
当时，设直线的斜率为，则，圆心到直线的距离为，
因为直线与圆有公共点，则，
所以，解得或，
当时，；当时，．
综上所述，直线与圆有公共点时，的取值范围为．
[选修不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）若，设，求的最小值及取最小值时的值；
（2）若关于的方程有三个解，求实数取值范围.
【答案】（1）12，取最小值时或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值求解即可；
（2）设，把原方程有三个解转化为两个函数有三个交点，作出函数图象，数形结合即可求解.
【小问1详解】
.
.
当且仅当，即或时取等号.
当无限趋近于时，无限趋近于0，无限趋近于正无穷大.
取最小值时或.
【小问2详解】
设.
关于的方程有三个解，
即直线与函数Fx的图象有三个交点.
作函数Fx的图象和直线.
结合图象，得.
关于的方程有三个解时，实数的取值范围为0,1.
序号
1
2
3
4
5
6
7
年
1
2
3
4
5
6
7
处理量
满意
不满意
合计
男
40
女
20
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
合计
男
40
20
60
女
20
20
40
吕计
60
40
100
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