2023-2024学年山东省青岛大学附中七年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛大学附中七年级（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a4+a5=2a9B. 2a4⋅3a5=6a9C. a3⋅a3⋅a3=3a3D. (−a3)4=a7
2.如图，小颖依据所在城市2020年8月16日连续12个小时的风力变化情况，画出了风力随时间变化的图象，根据图象进行判断，下列说法正确的是( )
A. 8时风力最小B. 在8时至12时，最大风力为5级
C. 在12时至14时，最大风力为7级D. 8时至14时，风力不断增大
3.已知方格纸中线段AB、线段CD和线段BE，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有( )
甲同学：AB/​/CD；
乙同学：∠D和∠DAC互余；
丙同学：线段AB的长为点A到直线BE的距离；
丁同学：线段BE的长为点E到直线AB的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.下列各式中能用完全平方公式计算的是( )
A. (−x+2)(x+2)B. (−3−x)(x+3)
C. (2x−y)(2x+y)D. (−2x−y)(−2x+y)
5.若(x+3)(2x−a)展开后不含x的一次项，则a的值等于( )
A. 6B. −6C. 0D. −2
6.将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是( )
①如果∠2=30°，则有AC/​/DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC/​/AD，则有∠2=45°；
④如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C．
A. ①②③B. ③④C. ①②④D. ①②③④
7.甲、乙两辆汽车在同一条路上匀速行驶，图①和图②表示汽车速度与时间的关系，图③和图④表示汽车路程与时间的关系，小明对4个图中汽车运动的情况进行了描述，其中正确的是( )
A. 图①，乙的速度是甲的3倍，相同时间甲乙的路程相等
B. 图②，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的一半
C. 图③，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的一半
D. 图④，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的2倍
8.将两个边分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，则阴影部分的面积为( )
A. 95
B. 85
C. 90
D. 100
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.(13)−2+(−3)0= ______．
10.∠1和∠2互余，∠1=56°，∠2是______度，∠2的补角是______度．
11.新冠病毒的直径大约为90纳米，纳米是一个长度单位，1纳米=110000000000米，用科学记数法表示病毒的直径为______米．
12.若4x2−kxy+25y2是完全平方式，则k=______．
13.某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验.在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量y(升)与汽车的行驶时间t(小时)之间的关系如表：
则用关系式法表示因变量y(升)与自变量t(小时)之间的关系为：______．
14.若xa=2，xb=3，则x3a−2b= ______．
15.把一张长方形纸片ABCD沿EF翻折后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，EC′交AD于点G，∠C′GA比∠C′EF多15°，则∠C′EF=______度，∠AFE=______度．
16.在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”，如图1.该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列用字母a1、a2、a3…代替，如图2.计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…的值，观察计算结果，总结其规律，可得a99+a100=______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图所示，在一块长方形的木板上，已知线段AB和AB外一点C，请用尺规作图的方法作一条经过点C的线段CD，使CD/​/AB且与木板边缘交于点D．
18.(本小题8分)
计算：
(1)2x3y⋅(−2x2y)2÷(2xy)；
(2)4(12x+1)2−(x+3)(x−3)；
(3)(2021+1)2−2022×2020(请利用公式进行简便运算)；
(4)(1+2a−3b)(1−2a−3b)．
19.(本小题8分)
已知：x2−4x+1=0，求代数式(2x−1)2−(x+2)(x−2)−x(x+4)的值．
20.(本小题8分)
填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2=90°．
求证：∠DEC+∠ACB=180°．
证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1+______=______(垂直定义)．
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴______=∠2(______).
∴DE//BC(______).
∴∠DEC+∠ACB=180°(______).
21.(本小题8分)
如图，已知直线a/​/b，∠1=70°，∠2=110°，判断直线m，直线n的位置关系并说明理由．
22.(本小题8分)
小张和小李玩猜数游戏，小张说：“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算，①把第一个数乘5；②再加上10；③把所得结果乘以2；④加上第二个数；⑤把所得结果乘以10；⑥加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数．”小李按照以上步骤试了几次，过程如下：
小张介绍了他的计算奥秘：将最后的得数减去200，所得的结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．
探究一：证明小张想法的正确性
小张将最后的得数减去200：100a+10b+c+200−200=100a+10b+c，
所以结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数．小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序，让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算：
①把第一个数乘5，再加上5；
②把第二个数乘20，再加上2；
③将①的运算结果与②的运算结果相乘，再加上第三个数；
④减去第一个数与第二个数乘积的100倍．
小李说：“只要小张告诉我最后的得数，我就能知道小张一开始所想的三个一位数．”
小李是如何知道的呢？请你模仿探究一的证明过程填写下表：
探究二：证明小李想法的正确性
请介绍小李的计算奥秘，描述：你是怎样由最后的得数，识别出最初选定的三个一位数的？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵a4+a5≠2a9，
∴选项A不符合题意；
∵2a4⋅3a5=6a9，
∴选项B符合题意；
∵a3⋅a3⋅a3=a9≠3a3，
∴选项C不符合题意；
∵(−a3)4=a12≠a7，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项法则，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握合并同类项法则，单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
20时风力最小，故选项A不合题意；
在8时至12时，风力最大为4级，故选项B不合题意，
在12时至14时，风力最大为7级，故选项C符合题意；
8时至11时，风力不断增大，11至12时，风力在不断减小，在12至14时，风力不断增大，故选项D不合题意，
故选：C．
根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.【答案】C
【解析】解：由方格纸可知，甲同学：AB/​/CD是正确的；
乙同学：∠D和∠DAC不互余，原来的说法不正确；
丙同学：线段AB的长为点A到直线BE的距离是正确的；
丁同学：线段BE的长为点E到直线AB的距离是正确的．
故选：C．
根据平行线的判定，余角的定义，点到直线的距离的定义即可求解．
本题考查了平行线的判定，余角，点到直线的距离，关键是熟练掌握相关的定义和判定．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】
解：∵(−x+2)(x+2)=−(x−2)(x+2)=−(x2−22)，
∴选项A不符合题意；
∵(−3−x)(x+3=−(x+3)2,
∴选项B符合题意；
∵(2x−y)(2x+y)=(2x)2−y2，
∴选项C不符合题意；
∵(−2x−y)(−2x+y)=(−2x)2−y2，
∴选项D不符合题意；
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：(x+3)(2x−a)
=2x2−ax+6x−3a
=2x2+(6−a)x−3a，
∵展开后不含x的一次项，
∴6−a=0．
解得a=6．
故选：A．
根据多项式乘多项式法则展开算式，然后根据结果不含x的一次项，即可求解a的值．
本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟知多项式乘多项式法则．
6.【答案】D
【解析】解：①∵∠2=30°，∴∠1=60°，∴∠1=∠E，∴AC/​/DE，故①正确；
②∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
③∵BC//AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°−45°=45°，故③正确；
④∵∠CAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠1=∠CAD−∠DAE=150°−90°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC/​/DE，
∴∠4=∠C，故④正确；
故选：D．
根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．
本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、图①：乙的速度是甲的2倍，甲乙的路程不相等，原说法错误，故本选项不合题意；
B、图②，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的两倍，原说法错误，故本选项不合题意；
C、图③，甲的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的一半，原说法错误，故本选项不合题意；
D、图④，乙的速度是甲的2倍，相同时间乙的路程是甲的2倍，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
根据图象的信息进行判断即可．
此题考查图象问题，关键是根据图象的信息，利用数形结合方法进行判断．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，DE=a−b，
∵a+b=15，ab=35，
∴S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形CEFG−S△ADE−S△EFG
=a2+b2−12a(a−b)−12b2
=12(a2+b2+ab)
=12[(a+b)2−ab]
=12(225−35)
=12×190
=95，
故选：A．
由S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形CEFG−S△ADE−S△EFG，进而得到S阴影部分=12(a2+b2+ab)=12[(a+b)2−ab]，代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，将12(a2+b2+ab)化成12[(a+b)2−ab]是正确解答的关键．
9.【答案】10
【解析】解：原式=1(13)2+1
=9+1
=10．
故答案为：10．
负整数指数幂：a−p=(a≠0,p为正整数)，零指数幂：a0=1(a≠0)，由此即可计算．
本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数的加法，关键是掌握负整数指数幂，零指数幂公式．
10.【答案】34 146
【解析】解：∵∠1和∠2互余，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=56°，
∴∠2=34°，
∴∠2的补角是146°；
故答案为：34，146．
根据余角补角的定义计算．
本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角定义的应用是解题关键．
11.【答案】9×10−9
【解析】解：90纳米=90×110000000000米=0.000000009米=9×10−9米．
故答案为：9×10−9．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】±20
【解析】解：∵4x2−kxy+25y2是完全平方式，
∴−kxy=±2×2x×5y，
解得：k=±20，
故答案为：±20．
根据完全平方式得出−kxy=±2×2x×5y，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
13.【答案】y=120−8t
【解析】解：根据表格数据可知：
因变量y(升)与自变量t(小时)之间的关系为：y=120−8t，
本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法．
14.【答案】89
【解析】解：∵xa=2，xb=3，
∴x3a−2b
=x3a÷x2b
=(xa)3÷(xb)2
=23÷32
=89．
故答案为：89．
先把x3a−2b化成(xa)3÷(xb)2，再代值计算即可得出答案．
此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则，把x3a−2b化成(xa)3÷(xb)2是解题的关键．
15.【答案】55 55
【解析】解：根据折叠的性质得到∠C′EF=∠CEF，
∵AD/​/BC，
∴∠C′GA=∠C′EB，
∵∠C′GA比∠C′EF多15°，
∴∠C′GA=∠C′EF+15°，
∴∠C′EB=∠C′EF+15°，
∴∠C′EF+15°+2∠C′EF=180°，
∴∠C′EF=55°，
∴∠CEF=55°，
∵AD/​/BC，
∴∠AFE=∠CEF=55°，
故答案为：55，55．
根据折叠的性质及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
16.【答案】10000
【解析】解：a1=1，
a2=1+2=3，
a3=3+3=6，
a4=6+4=10，
…，
an=an−1+n，
则a99+a100
=2a99+100
=2(a98+99)+100
=2(1+2+3+…+99)+100
=(1+99+2+98+…+99+1)+100
=9900+100
=10000．
故答案为：10000．
根据题意和图形中的数据，可知an=an−1+n，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
17.【答案】解：如图，线段CD即为所求．

【解析】作∠TCD=∠TAB即可．
本题考查作图−应用与设计作图，矩形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)2x3y⋅(−2x2y)2÷(2xy)
=2x3y⋅4x4y2÷(2xy)
=8x7y3÷2xy
=4x6y2；
(2)4(12x+1)2−(x+3)(x−3)
=4(14x2+x+1)−(x+3)(x−3)
=(x2+4x+4)−(x2−9)
=x2+4x+4−x2+9
=4x+13；
(3)(2021+1)2−2022×2020
=20212+4042+1−(2021+1)×(2021−1)
=20212+4042+1−20212+1
=4044；
(4)(1+2a−3b)(1−2a−3b)
=[(1−3b)+2a][(1−3b)−2a]
=(1−3b)2−4a2
=1−6b+9b2−4a2．
【解析】(1)根据积的乘方和单项式乘单项式、单项式乘多项式可以解答本题；
(2)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(3)根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题；
(4)根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
19.【答案】解：(2x−1)2−(x+2)(x−2)−x(x+4)
=4x2−4x+1−x2+4−x2−4x
=2x2−8x+5，
∵x2−4x+1=0，
∴x2−4x=−1，
∴2x2−8x=−2，
∴当2x2−8x=−2时，原式=−2+5
=3．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2−4x+1=0，变形为x2−4x=−1，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】∠EDC；90°；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1+∠EDC=90°(垂直定义)．
∵∠1+∠2=90°(已知)，
∴∠EDC=∠2(同角的余角相等)．
∴DE/​/BC(内错角相等，两直线平行)．
∴∠DEC+∠ACB=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
故答案为：∠EDC；90°；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
由垂线的定义及余角的性质可得∠EDC=∠2，再利用平行线的判定与性质可证明．
本题主要考查平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
21.【答案】解：m//n，理由如下：
如图，

∵a/​/b，
∴∠2=∠3=110°，
∵∠1=70°，
∴∠1+∠3=180°，
∴m/​/n．
【解析】首先根据a/​/b可得∠2=∠3=110°，根据同旁内角互补，两直线平行可得答案．
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．
22.【答案】5x+5 20y+2 100xy+100y+10x+10+z 100y+10x+10+z
【解析】解：按小李的步骤运算并填表如下：
故答案为：5x+5；20y+2；100xy+100y+10x+10+z；100y+10x+10+z；
由上可得小李的计算奥秘：将最后的得数减去10，所得百位数就是第二个数，十位数是第一个数，个位数是第三个数．
按小李的步骤运算并填表，依据第四步的结果可得奥秘为：将最后的得数减去10，所得百位数就是第二个数，十位数是第一个数，个位数是第三个数．
本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并类比解答问题是解题的关键．t(小时)
0
1
2
3
y(升)
120
112
104
96
小李选定了1，2，3
小张选定了5，7，6
①
1×5=5
5×5=25
②
5+10=15
25+10=35
③
15×2=30
35×2=70
④
30+2=32
70+7=77
⑤
32×10=320
77×10=770
⑥
320+3=323
770+6=776
小李选定了a，b，c
①
5a
②
5a+10
③
(5a+10)×2=10a+20
④
10a+20+b
⑤
(10a+20+b)×10=100a+10b+200
⑥
100a+10b+c+200
设小张选定的三个数为x，y，z
①
______
②
______
③
______
④
______
设小张选定的三个数为x，y，z
①
5x+5
②
20y+2
③
100xy+100y+10x+10+z
④
100y+10x+10+z