2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区胥江实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区胥江实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB/​/CD，AD=BCB. AB=CD，AD=BC
C. ∠A=∠B，∠C=∠DD. AB=AD，CB=CD
3.在1x、12、x2+12、3xyπ、3x+y、a+1m中分式的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.计算(ab)2ab2的结果为( )
A. bB. aC. 1D. 1b
5.如果分式2−xx的值为0，那么x为( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
6.若把分式xx+y中的x、y都扩大2倍，则分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 不变C. 缩小为原来的2倍D. 缩小为原来的4倍
7.如果ab=2，则a2−ab+b2a2+b2的值等于( )
A. 45B. 1C. 35D. 2
8.若关于x的分式方程m+1x−1=2的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m>−3B. m≥−3
C. m>−3且m≠−1D. m≥−3且m≠−1
9.如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE=( )
A. 100°
B. 80°
C. 60°
D. 40°
10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE/​/CA，DF/​/BA.下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2=( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
12.如图，正方形ABCD的边长为2，点P为BC上任意一点(可与点B或C重合)，分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是( )
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 2 5
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.当x=______时，分式x2−1x+1的值为零．
14.1xy,−y4x3,16xyz的最简公分母是______．
15.若31−x+2mx+1=8x2−1有增根，则这个方程的增根是______．
16.▱ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是______cm．
17.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为______．
18.如图，正方形瓷砖图案中的阴影部分是四个全等且顶角为45°的等腰三角形.已知该瓷砖的面积是1m2，则中间小正方形的面积为______m2．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)x2−1y2÷x+1y；
(2)22x+3+33−2x−2x+159−4x2．
20.(本小题12分)
解方程：
(1)9x=8x−1；
(2)2+x2−x+16x2−4=−1．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：a−33a2−6a÷(a+2−5a−2)，其中a2+3a+2=0．
22.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将△ABE，沿直线AE翻折到△AB′E，延长AB′与直线CD交于点M．

(1)求证：AM=MF；
(2)当点E是边BC的中点时，求CM的长；
(3)当CF=2时，求CM的长．
23.(本小题8分)
如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E−B−C匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ=5，设△PAQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．
(1)图①中AB=______，BC=______，图②中m=______．
(2)点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项正确；
C、是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、AB/​/CD，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、AB=CD，AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形；故本选项正确；
C、∠A=∠B，∠C=∠D，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；故本选项错误．
故选：B．
直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：在1x、12、x2+12、3xyπ、3x+y、a+1m中分式有1x、3x+y、a+1m共3个，
故选：B．
直接根据分式的概念可得答案．
此题考查的是分式的定义，掌握其定义是解决此题关键．
4.【答案】B
【解析】解：(ab)2ab2=a2b2ab2=a，故选B．
将分式分子先去括号，再约分，即可求解．
本题考查幂的运算，涉及到积的乘方，分式的约分，按运算顺序，先做积的乘方，再约分．
5.【答案】D
【解析】解：∵2−xx=0，
∴2−x=0，且x≠0
∴x=2，
故选D．
根据“分式值为0的条件是分子为0且分母不为0”解出x即可得到结果．
本题主要考查的是分式值为零和分式有意义的条件，解题的关键在于熟练掌握分式值为零和分式有意义的条件．
6.【答案】B
【解析】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得
2x2x+2y=2x2(x+y)=xx+y，
可见新分式与原分式的值相等；
故选B．
依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
7.【答案】C
【解析】解：∵ab=2，
∴a=2b，
∴原式=4b2−2b2+b24b2+b2=3b25b2=35，
故选：C．
将ab=2变形为a=2b，再将其直接代入分式计算即可．
本题主要考查分式的值，解决此类题目时，用其中一个字母表示另一个字母是解题的常用方法．
8.【答案】D
【解析】解：去分母得：m+1=2x−2，
解得：x=m+32，
由题意得：m+32≥0且m+32≠1，
解得：m≥−3且m≠−1，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠DAB=180°−∠B=180°−100°=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=12∠DAB=12×80°=40°．
故选：D．
先根据平行四边形的性质得出∠DAB的度数，再由AE平分∠DAB即可得出结论．
本题考查的是平行四边形的性质及角平分线的性质，熟知平行四边形的对边相互平行是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵DE/​/CA，DF/​/BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE/​/CA，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误，
则其中正确的个数有3个．
故选：C．
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE/​/CA，DF/​/BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数．
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
11.【答案】B
【解析】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°=BCAC= 22，即AC= 2BC，同理可得：BC=CE= 2CD，
∴AC= 2BC=2CD，又AD=AC+CD=6，
∴CD=2，
∴EC2=22+22，即EC=2 2；
∴S1的面积为EC2=2 2×2 2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选：B．
由图可得，S2的边长为3，由AC= 2BC，BC=CE= 2CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2 2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中．
12.【答案】B
【解析】解：连接AC，DP，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为2，
∴AB=CD=2，S正方形ABCD=4，
∵S△ADP=12S正方形ABCD=2，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=2，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP=4，
∴12AP⋅BB′+12AP⋅CC′+12AP⋅DD′=12AP⋅(BB′+CC′+DD′)=4，
则BB′+CC′+DD′=8AP，
∵2≤AP≤2 2，
∴当P与C重合时，AP取最大值，BB′+CC′+DD′有最小值，且最小值为82 2=2 2，故B正确．
故选：B．
连接AC，DP，根据S△ADP+S△ABP+S△ACP=4，得出12AP⋅BB′+12AP⋅CC′+12AP⋅DD′=12AP⋅(BB′+CC′+DD′)=4，整理得出BB′+CC′+DD′=8AP，根据2≤AP≤2 2，求出BB′+CC′+DD′的最小值即可．
本题主要考查了正方形的性质，三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是作出辅助线，求出BB′+CC′+DD′=8AP．
13.【答案】1
【解析】解：x2−1=0，解得：x=±1，
当x=−1时，x+1=0，因而应该舍去．
故x=1．
故答案是：1．
分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
14.【答案】12x3yz
【解析】解：1xy,−y4x3,16xyz的最简公分母是12x3yz．
故答案为：12x3yz．
利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．
本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．
15.【答案】x=−1
【解析】解：31−x+2mx+1=8x2−1，
方程两边同乘以(x+1)(x−1)得：−3(x+1)+2m(x−1)=8，
整理得：(2m−3)x=2m+11，
∵31−x+2mx+1=8x2−1有增根，
∴x=1或x=−1，
把x=1代入(2m−3)x=2m+11得：2m−3=2m+11，此方程无解；
把x=−1代入(2m−3)x=2m+11得：−2m+3=2m+11，
解得：m=−2，
∴这个方程的增根为x=−1．
故答案为：x=−1．
方程两边同乘以(x+1)(x−1)，变分式方程为整式方程，根据31−x+2mx+1=8x2−1有增根可知，方程的增根为x=1或x=−1，而把x=1代入(2m−3)x=2m+11，没有合适的m值，把x=−1代入(2m−3)x=2m+11，可以得出m=−2，得出方程的增根为x=−1．
本题主要考查了分式方程的增根问题，解题的关键是根据分母为0时，x=1或x=−1，判断方程的增根．
16.【答案】11
【解析】解：∵AE⊥BD，∠EAD=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AD=2AE=4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，BC=AD=4cm，
∵AC+BD=14cm，
∴BO+CO=7cm，
∴△OBC的周长为：7+4=11(cm)，
故答案为：11．
首先根据AE⊥BD，∠EAD=60°，可得∠ADE=30°，然后再根据直角三角形的性质可得AD=2AE=4cm，再根据四边形ABCD是平行四边形可得AO=CO，BO=DO，BC=AD=4cm，进而求出BO+CO的长，然后可得△OBC的周长．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，两条对角线互相平分．
17.【答案】3 3
【解析】解：连结BD，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴ED= AD2−AE2= 62−32=3 3，
∴EF+BF的最小值为3 3．
故答案为：3 3．
根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF的最小值=ED，然后利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了菱形的性质和轴对称−路线最短问题，关键是判断出DE的长即为EF+BE的最小值．
18.【答案】3−2 2
【解析】解：如图，作大正方形的对角线，作小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，
设小正方形的边长为x m，
则大正方形的边长为12x+ 2x+12x=(1+ 2)x m，
∵瓷砖的面积是1m2，
∴大正方形的边长为1m，
即(1+ 2)x=1，
解得x= 2−1，
∴中间小正方形的面积为( 2−1)2=3−2 2，
故答案为：3−2 2．
作大正方形的对角线，作一条小正方形的对角线并延长交大正方形各边于中点，由图形可知，小正方形的边长加对角线的长度刚好等于大正方形的边长，列方程求解小正方形边长即可求解．
本题主要考查正方形和等腰三角形的性质，根据题意得出小正方形边长和大正方形边长之间的关系是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−1y2÷x+1y
=(x+1)(x−1)y2⋅yx+1
=x−1y；
(2)22x+3+33−2x−2x+159−4x2
=22x+3−32x−3+2x+154x2−9
=22x+3−32x−3+2x+15(2x+3)(2x−3)
=2(2x−3)(2x+3)(2x−3)−3(2x+3)(2x+3)(2x−3)+2x+15(2x+3)(2x−3)
=4x−6(2x+3)(2x−3)−6x+9(2x+3)(2x−3)+2x+15(2x+3)(2x−3)
=4x−6−6x−9+2x+15(2x+3)(2x−3)
=0．
【解析】(1)根据分式乘除运算法则进行计算即可；
(2)根据分式加减运算法则进行计算即可．
本题主要考查的是分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则．
20.【答案】解：(1)9x=8x−1，
去分母得：9(x−1)=8x，
解得：x=9，
检验：当x=9时，x(x−1)≠0，
∴原方程的解为x=9；
(2)2+x2−x+16x2−4=−1，
去分母得：−(2+x)2+16=−(x2−4)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x2−4=0，
∴原方程的无解．
【解析】(1)先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
(2)先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
21.【答案】解：原式=a−33a(a−2)÷(a+2)(a−2)−5a−2
=a−33a(a−2)⋅a−2(a+3)(a−3)
=13a(a+3)，
由a2+3a+2=0，得到a2+3a=−2，即a(a+3)=−2，
则原式=−16．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把方程变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠可知：∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=MF；
(2)解：∵点E是边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=2，
∵四边形ABCD为矩形，BC=4，
∴AB/​/CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=4，
∴∠F=∠BAF，
又∵∠AEB=∠FEC，
∴△AEB≌△FEC(AAS)，
∴AB=CF=3，
设CM=x，则由(1)知，AM=MF=x+3，DM=3−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+3)2=42+(3−x)2，
解得x=43，
∴CM的长为43；
(3)解：当CF=2时，设CM=x，
第一种情况，点E在线段BC上，如图所示：

则AM=MF=x+2，DM=3−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x+2)2=42+(3−x)2，
解得：x=2110，
∴CM的长为2110；
第二种情况，点E在线段BC的延长线上，如图所示：

则AM=MF=x−2，DM=x−3
∴在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，
∴(x−2)2=42+(x−3)2，
解得：x=212，
∴CM的长为212；
综上可知，当CF=2时，CM的长为2110或212．
【解析】(1)由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
(2)利用矩形的性质证得△AEB≌△FEC(AAS)，根据全等三角形的性质得到AB=CF=3，设CM=x，则由(1)知，AM=MF=x+3，DM=3−x，在Rt△ADM中利用勾股定理即可求解；
(3)当CF=2时，设CM=x，应分两种情况：第一种情况，点E在线段BC上，则AM=MF=x+2，DM=3−x；第二种情况，点E在线段BC的延长线上，则AM=MF=x−2，DM=x−3在Rt△ADM中，利用勾股定理AM2=AD2+DM2即可求解．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键．
23.【答案】解：(1)4；9；5；
(2)分三种情况：①当点P在AB边上，A′落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图1所示：
则QF=AB=4，BF=AQ=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=9，
由折叠的性质得：PA′=PA，A′Q=AQ=5，∠PA′Q=∠A=90°，
∴A′F= A′Q2−QF2=3，
∴A′B=BF−A′F=2，
在Rt△A′BP中，BP=2−t，PA′=AP=4−(2−t)=2+t，
由勾股定理得：22+(2−t)2=(2+t)2，
解得：t=12；
②当点P在BC边上，A′落在BC边上时，连接AA′，如图2所示：
由折叠的性质得：A′P=AP，
∴∠APQ=∠A′PQ，
∵AD/​/BC，
∴∠AQP=∠A′PQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=A′P=5，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=3，
又∵BP=t−2，
∴t−2=3，
解得：t=5；
③当点P在BC边上，A′落在CD边上时，连接AA′、A′P，A′Q，如图3所示：
由折叠的性质可知：A′Q=AQ=5，AP=A′P，
∵DQ=AD−AQ=9−5=4，
∴在Rt△A′DQ中，由勾股定理得，A′D= 52−42=3，
∴A′C=1，
∵BP=t−2，CP=11−t，
在Rt△ABP中，由勾股定理得，AP2=AB2+BP2，
即AP2=42+t−22，
在Rt△A′CP中，由勾股定理得，A′P2=A′C2+CP2，
即AP2=12+11−t2，
∴42+t−22=12+11−t2，
解得t=173，
综上所述，t为12或5或173时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、动点问题函数图象、等腰三角形的判定、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
(1)由图象得：t=2时，点P运动到点B；t=11时，点P运动到点C；当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×5×2=5，即可求解；
(2)分三种情况：点P在AB边上，A′落在BC边上、点P在BC边上，A′落在BC边上、点P在BC边上，A′落在CD边上，分别求解即可．
【解答】
解：(1)∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒1个单位长度，
∴AB=2BE，
由图象得：t=2时，点P运动到点B，
∴BE=2×1=2，
∴AB=2BE=4，AE=BE=2，
t=11时，点P运动到点C，
∴BC=(11−2)×1=9，
当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×5×2=5；
故答案为4；9；5；
(2)见答案．