江苏省苏州市姑苏区立达中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份江苏省苏州市姑苏区立达中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共4页。试卷主要包含了下列各数中是无理数的是等内容，欢迎下载使用。

1．第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远
C．举重D．武术
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．2，3，4C．4，5，6D．6，8，11
3．下列各数中是无理数的是（ ）
A．B．1.2012001C．D．
4．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9mB．0.7×10﹣9mC．0.7×10﹣8mD．7×10﹣8m
5．已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞cB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
6．等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
8．如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．12
9．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cmB．7cmC．6cmD．8cm
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二.填空题（每题2分，共16分）
11．81的平方根是 ．
12．近似数2.30精确到 位．
13．等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 cm．
14．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为 ．
15．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 ．
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝7cm，DE＝3cm，则BC＝ cm．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三.解答题（共64分）
19．计算：
（1）．
（2）．
20．求出下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0；
（2）3（x﹣1）2﹣12＝0．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形 （涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
22．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
23．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒
（1）出发1秒后，△ABP的周长＝ ；
（2）当t＝ 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
参考答案
一.选择题（每题2分，共20分）
1．第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远
C．举重D．武术
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．2，3，4C．4，5，6D．6，8，11
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
解：A、∵12+12＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵62+82≠112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
3．下列各数中是无理数的是（ ）
A．B．1.2012001C．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A.是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
C.是无理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣9mB．0.7×10﹣9mC．0.7×10﹣8mD．7×10﹣8m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：7nm＝0.000000007m，
则7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞cB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
解：∵3＜4＜5，
∴＜＜，
即＜2＜，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
【分析】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°，底角为（180°﹣80°）＝50°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
∴等腰三角形的底角为50°或80°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝20°+20°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．
8．如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
解：在Rt△AHC中，AC2＝AH2+HC2，AH＝HC，
∴AC2＝2AH2，
∴HC＝AH＝，
同理：CF＝BF＝，BE＝AE＝，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝4，
S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝HC•AH+CF•BF+AE•BE，
＝×（）2+×（）2+（）2＝（AC2+BC2+AB2）
＝（AB2+AB2）
＝×2AB2
＝AB2
＝×42
＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
9．如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．6cmB．7cmC．6cmD．8cm
【分析】过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性质得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得△BCM≌△CDN是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考常考题型．
二.填空题（每题2分，共16分）
11．81的平方根是 ±9 ．
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9；
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．近似数2.30精确到 百分 位．
【分析】根据近似数的精确到求解．
解：近似数2.30精确到百分位．
故答案为百分．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
13．等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 4或6 cm．
【分析】分4cm为腰长或底边长分别求解．
解：当4cm为腰长时，则底边长为14﹣4×2＝6（cm），
∵4+4＞6，
∴符合题意，
当4cm为底边长时，则底边长为4cm，
∵4+5＞5，
∴符合题意，
综上所述，底边长为4cm或6cm．
故答案为：4或6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主意分类求解是解题的关键．
14．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为 ﹣1 ．
【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AC＝，
∵点A表示的数是﹣1，
∴点C表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键．
15．我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 49 ．
【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的面积．
解：根据勾股定理，得AF＝＝＝5．
所以AB＝12﹣5＝7．
所以正方形ABCD的面积为：7×7＝49．
故答案为：49．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是 7 ．
【分析】过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质得到DH＝DE＝5，求出△ABD的面积＝AB•DE＝10，即可得到△ACD的面积＝14，由三角形面积公式求出AC＝7．
解：过D作DH⊥AC于H，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DH＝DE＝5，
∵AB＝5，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×5×4＝10，
∵S△ABC＝24，
∴△ACD的面积＝AC•DH＝24﹣10＝14，
∴AC＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到DH＝DE＝5，由三角形面积公式即可求解．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝7cm，DE＝3cm，则BC＝ 10 cm．
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF＝3.5，DG＝1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH＝CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH＝GD＝1.5，最后根据BC＝2BH计算即可．
【解答】解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．
∵EF⊥BC，∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝×7＝3.5，
∵∠BED＝60°，∠BEF＝30°，
∴∠DEG＝30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD＝ED＝×3＝1.5，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH＝CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四边形DGFH是矩形．
∴FH＝GD＝1.5．
∴BC＝2BH＝2×（3.5+1.5）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，利用勾股定理可求出AD的长，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP，，∠ADB＝90°，
由勾股定理，得．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示：
∵，
∴，
即PC+PQ的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积、勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三.解答题（共64分）
19．计算：
（1）．
（2）．
【分析】（1）利用负整数指数幂及绝对值的性质计算即可；
（2）利用算术平方根及立方根的定义计算即可．
解：（1）原式＝2﹣（2﹣）＝2﹣2+＝；
（2）原式＝4﹣3﹣＝1﹣＝﹣．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．求出下列x的值：
（1）﹣27x3+8＝0；
（2）3（x﹣1）2﹣12＝0．
【分析】（1）先移项，再两边都除以﹣27，继而两边开立方即可得；
（2）先移项，再两边都除以3，继而两边开平方，最后解方程即可得．
解：（1）∵﹣27x3+8＝0，
∴﹣27x3＝﹣8，
则x3＝，
解得：x＝；
（2）∵3（x﹣1）2﹣12＝0，
∴3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝±2
解得：x＝3或x＝﹣1．
【点评】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形 （涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】（1）、（2）根据勾股定理画出三角形即可．
解：（1）如图1，即为所求作的图形；
（2）如图2，3即为所作图形．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．
【分析】根据平方根和立方根得出2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝8，求出a、b的值即可．
解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
a＝5，
∵3a+b﹣1的立方根是2，
∴3a+b﹣1＝8，
∴b＝﹣6，
∴2a﹣b＝16，
∴2a﹣b的平方根是±4．
【点评】本题考查了对平方根和立方根定义的应用，关键是能根据题意得出算式2a﹣1＝9和3a+b﹣1＝8．
23．如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【分析】由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD．
解：如图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB的度数为135°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
24．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出AD⊥BC，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，推出∠F＝∠AEF，根据等腰三角形的判定即可得到答案．
解：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG．
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点的应用，能运用等腰三角形的性质（三线合一定理）进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒
（1）出发1秒后，△ABP的周长＝ （7+）cm， ；
（2）当t＝ 1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）由勾股定理得AC＝4cm，有两种情况，①当点P在边AC上时；②当点P在边AB上时；求出点P运动的路程，即可得出结果；．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC＝2t，CQ＝t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ＝t﹣3，BP＝2t﹣9；根据题意得出方程，解方程即可．
解：（1）如图1所示：
由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2cm，∴AP＝2cm，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝7+（cm），
故答案为：（7+）cm，
（2）分两种情况：
①如图2所示：
当点P在边AC上时，CP＝BC＝3cm，3÷2＝1.5（s），
此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
②如图3所示：
当点P在边AB上时，CP＝BC＝3cm，
过C作斜边AB的高CD，则CD＝＝2.4（cm），
在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8（cm），
∴BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4（cm），
则用的时间为5.4÷2＝2.7（s），△BCP为等腰三角形；
综上所述：当t＝1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
故答案为：1.5s或2.7s；
（3）分两种情况：
①如图6所示：
当P点在AC上，Q在BC上，则PC＝2t，CQ＝t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+t＝4﹣2t+3﹣t+5，
解得：t＝2；
②如图7所示：
当P点在BC上，Q在AB上，则BQ＝t﹣3，BP＝2t﹣9
∴AQ＝5﹣（t﹣3）＝8﹣t，CP＝3﹣（2t﹣9）＝12﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴4+8﹣t+12﹣2t＝t﹣3+2t﹣9，
解得：t＝6，
综上所述：当t为2s或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点评】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；此题涉及到了动点，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．
27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
【分析】（1）结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．
解：（1）结论：EF＝BE．
理由：如图1中，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴EF＝EB．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，
，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2＝FJ2，
∴AF2+BE2＝EF2．
（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+22＝（5﹣x）2+12，
∴x＝，
∴AF＝．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+42＝（5﹣x）2+12，
∴x＝1，
∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．